浙江省湖州市雙林中學

李建潮 (郵編：313012)

問題268(《數(shù)學通訊》2016年第9期問題268)已知a、b、c≥0,bc+ca+ab+abc=1，求證：

①

初涉數(shù)學，人們是學數(shù)學；到了一定的階段，便開始“玩”數(shù)學了，因為數(shù)學好玩．人們在“玩”數(shù)學中，去更好地理解數(shù)學、認知數(shù)學和領(lǐng)悟數(shù)學．今以問題268為例淺淡“玩”數(shù)學．

1 “玩”(問題268之)證明

證法1作為自然證法莫過于等價轉(zhuǎn)換法，①式等價于：

b4c4+c4a4+a4b4+2a4b4c4≤1

②

由題設(shè)易見：0≤bc、ca、ab、abc≤1，故而b4c4≤b2c2，c4a4≤c2a2，a4b4≤a2b2，a4b4c4≤a2b2c2．所以，欲證②式成立，只需證：

b2c2+c2a2+a2b2+2a2b2c2≤1

③

事實上，由題設(shè)兩邊平方，便有

1=(bc+ca+ab+abc)2≥(bc+ca+ab)2(因abc≥0)

=b2c2+c2a2+a2b2+2abc(a+b+c)

≥b2c2+c2a2+a2b2+2abc·a

≥b2c2+c2a2+a2b2+2abc·abc

這就證明了③式，從而問題268獲證．

評注1從證法1看，問題268宜改進為：已知a、b、c≥0,bc+ca+ab≤1，求證：

①′

評注2從①式與②式的等價性看，發(fā)現(xiàn)一組代數(shù)等價式：

bc+ca+ab+2abc=1

④

⑤

⑥

(其中實數(shù)a、b、c均不為-1)本文的“后勁”亦在于此．

證法2本法給出條件yz+zx+xy≤1的一種“玩”法.

由題設(shè)，易得b2c2+c2a2+a2b2≤1．對此技術(shù)處理如下：

a2(b2+c2)≤1-b2c2

?a4(b2+c2)2≤(1-b2c2)2

?a4(b2+c2)2+(b2+c2)2≤(1-b2c2)2+(b2+c2)2

?(1+a4)(b2+c2)2≤(1+b4)(1+c4)

于是

=2.

2 “玩”(問題268之)引申

首先，“玩”問題268的一般情形．事實上，由以上兩種證法看到，我們已經(jīng)“玩”出：

已知a、b、c≥0,bc+ca+ab≤1,2≤α∈R，則

⑦

但注意到兩種證法皆有一定的可塑性．于是，大膽再“玩”起：

⑧

分析欲證⑧式，(看到)即證：

同問題268的證法1，須只需證：

⑨

“玩”數(shù)學發(fā)現(xiàn)，事實上，只要將題設(shè)兩邊立方，并注意到代數(shù)恒等式：

(x+y+z)3=x3+y3+z3+3[yz(y+z)+zx(z+x)+xy(x+y)]+6xyz

及

x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)=yz(y+z)+zx(z+x)+xy(x+y)

便有

1≥(bc+ca+ab)3=b3c3+c3a3+a3b3+3[ca·ab(ca+ab)+ab·bc(ab+bc)+bc·ca(bc+ca)]+6bc·ca·ab

=b3c3+c3a3+a3b3+[ca·ab(ca+ab)+ab·bc(ab+bc)+bc·ca(bc+ca)] +2abc[a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)]+6a2b2c2

=b3c3+c3a3+a3b3+[ca·ab(ca+ab)+ab·bc(ab+bc)+bc·ca(bc+ca)] +2abc[bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)]+6a2b2c2

由此可知⑨式正確，引申1獲證．

評注3據(jù)上分析，引申1的一般性、精準性是顯而易見的，值得欣慰．

其次，考慮“玩”問題268的“反向”情形．適當改進問題268的條件，且條件參照“評注2”(并注意到④、⑤二式的等價性)．于是，又大膽設(shè)想下述“反向”情形：

引申2已知a、b、c≥0,bc+ca+ab+2abc=1，1≤α∈R，則

⑩

也很難奏效．不得已又“玩”起了問題268的證法1(分析法)來……

證明用分析法知，所證⑩等價于：

3≤(2α-2)(aα+bα+cα)+(2α+1-1)(bαcα+cαaα+aαbα)+3(2abc)α

?3≤(2α-2)[(aα+bα+cα)+2(bαcα+cαaα+aαbα)]+3[(bαcα+cαaα+aαbα)+(2abc)α] (α≥1)

其三，再用Jensen不等式，并注意到題設(shè)，有

(bc)α+(ca)α+(ab)α+(2abc)α

⑩

3 “玩”出經(jīng)典

前面評注2指出：等式④、⑤、⑥是一組代數(shù)等價式．下面向讀者推薦我們由此“玩”出的幾個經(jīng)典不等式(或組)．

一“玩”條件式⑤：

證明題設(shè)兩邊同乘以bc(1+a)+ca(1+b)+ab(1+c)，并應(yīng)用三維柯西(Cauchy)不等式，立得

注意到題設(shè)⑤的等價式④：bc+ca+ab+2abc=1，知上式即為

再“玩”條件式⑥：

a+b+c≥2(bc+ca+ab)

證明題設(shè)兩邊同乘以a(1+a)+b(1+b)+c(1+c)，并應(yīng)用三維Cauchy不等式，立得

a(1+a)+b(1+b)+c(1+c)≥(a+b+c)2

即a+b+c≥2(bc+ca+ab)

經(jīng)典2獲證．

三“玩”條件式④：

經(jīng)典3已知a、b、c≥0,bc+ca+ab+2abc=1

④

證明由④得

1-bc=ca+ab+2abc

同理

以上三式相加，并注意到題設(shè)④，得

移項，經(jīng)典3獲證．

評注5經(jīng)典1的式與經(jīng)典3的內(nèi)涵是：

(其中a、b、c≥0,bc+ca+ab+2abc=1)

三角形經(jīng)典1在銳角△ABC中，有

(cosA+cosB+cosC)2≤2+2cosAcosBcosC

?(cosA+cosB+cosC)2≤sin2A+sin2B+sin2C

?(cosB+cosC)2+(cosC+cosA)2+(cosA+cosB)2≤3

三角形經(jīng)典2在銳角△ABC中，有

≥2(cos2A+cos2B+cos2C)

三角形經(jīng)典3在銳角△ABC中，有

cosA+cosB+cosC≥1+4cosAcosBcosC

本文的確立當歸功于①式與②式等價的思維模式，通過思維的不斷完善、升華與發(fā)散讓一個原本名不見經(jīng)傳的問題枝繁葉茂.

數(shù)學好玩！