江蘇省南京市第九中學(xué)

竺寶林 (郵編：210018)

現(xiàn)行高中教材中，導(dǎo)數(shù)已成為研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具.在新課程背景下，不等式的證明已大幅度降低要求，但是不等式證明中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，各類考試特別是高考壓軸題位置依然會出現(xiàn)不等式證明問題，只是用純不等式的方法解決不等式證明已不多見，一般情況都需要利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)，進(jìn)而通過求導(dǎo)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值來解決.在解決這類問題時，往往需要先構(gòu)造函數(shù).因而，函數(shù)的變化與構(gòu)造成為分析與思考此類問題的難點(diǎn).本文通過對實(shí)例的分析，與大家探討此類問題的各種類型與解決策略，不當(dāng)之處，敬請斧正.

策略1直接作差，構(gòu)造函數(shù)

例1求證：lnx≤x-1.

分析考慮直接作差構(gòu)造函數(shù).

當(dāng)00，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.

所以fmax(x)=f(1)=0，f(x)≤f(1)=0，即lnx≤x-1.

評注此不等式是很多復(fù)雜不等式證明的基礎(chǔ)，其幾何意義是函數(shù)y=lnx的圖象在點(diǎn)(1,0)處的切線y=x-1在函數(shù)圖象之上(切點(diǎn)除外).

策略2先等價變形，再作差構(gòu)造函數(shù)

分析可以把不等式作等價變形后再構(gòu)造函數(shù).

解答因x>1，所以lnx>0，只要證lnx

而lnx

令g(x)=xlnx-x+1，則g′(x)=lnx，當(dāng)x>1時，g′(x)>0.

所以g(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，則g(x)>g(1)=0，即x-1

策略3利用齊次式消元，構(gòu)造函數(shù)

則f(t)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，得f(t)

求證：f′(x1)+f′(x2)<0．

兩式相減，得

.

因

評注消元是解決本類問題的主思想，構(gòu)建齊次式是關(guān)鍵，首先把式子化簡成只含有x1、x2，若是關(guān)于x1、x2的齊次式，就能通過此方法達(dá)到構(gòu)造函數(shù)的目的.

策略4利用非齊次式消元，構(gòu)造函數(shù)

評注非齊次式依然可以先消元再構(gòu)造，只是注意其與例3、例4的區(qū)別.

策略5利用結(jié)構(gòu)對稱，構(gòu)造函數(shù)

評注例3、例4、例5側(cè)重于消元，而這兩題更側(cè)重于式子兩邊的形式結(jié)構(gòu)的對稱，利用對稱性構(gòu)造函數(shù).

策略6利用主元思想，構(gòu)造函數(shù)

，

當(dāng)x>a時，g′(x)>0，則g(x)在(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，由0g(a)=0，

策略7先指數(shù)化對數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)

當(dāng)x∈(1,+∞)時，g′(x)>0，則g(x)在(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù).

故g(x)在x=1處取得最小值g(1)=0，所以g(x)≥g(1)=0，即x-1-lnx≥0，所以f′(x)≥0，f(x)在(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，因?yàn)閚>m>1，則f(n)>f(m)，

mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm，

即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn.

則lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn，

評注原式是冪的關(guān)系與乘除運(yùn)算，直接構(gòu)造函數(shù)并不可取，若兩邊同時取對數(shù)將原式轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算，進(jìn)而構(gòu)造相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)會使問題迎刃而解，是一種不錯轉(zhuǎn)化問題的思路.實(shí)際上，當(dāng)初數(shù)學(xué)家引入對數(shù)的目的之一就是為了把復(fù)雜的冪的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算.

策略8利用常見不等式放縮后構(gòu)造

所以g′(t)=2e2t-2tet-2et2et(et-t-1).

設(shè)h(t)=et-t-1，h′(t)=et-1，當(dāng)t>0時，h′(t)=et-1>0恒成立，h(t)遞增，

則h(t)>h(0)=0，則g′(t)>0恒成立，所以g(t)遞增，則g(t)>g(0)=0，

即e2t-2t·et-1>0(t>0)恒成立，所以命題得證.

評注放縮法是高中數(shù)學(xué)中重要的方法之一，主要在不等式中運(yùn)用.隨著不等式在高考中要求降低，放縮法在漸漸失去了原來的地位.但是，高考數(shù)學(xué)歷來重視數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的考查，放縮法在高考中仍有其存在的空間.

在證明不等式時，通常需要根據(jù)不等式的特點(diǎn)，進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從而達(dá)到證明不等式的目的，即把證明不等式轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)解決的函數(shù)問題.此類問題變化多、思路多、方法多，但是核心問題點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，具有一定的創(chuàng)造性和隱蔽性，需要熟悉常見構(gòu)造策略，具體解決時，需要通過對題目中條件的轉(zhuǎn)化、變量的增減、結(jié)構(gòu)的改造進(jìn)行多方位的分析與思考.

1 馬金仙.兩道經(jīng)典不等式的講評歷程[J].數(shù)學(xué)通訊(下半月)，2016(7)

2 程愛文.讓學(xué)生的心靈去旅行——一堂試卷講評課教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通訊(下半月)，2011(8)