浙江省寧波中學(xué)

傅 婷 (郵編：638400)

筆者有幸參加寧波教研室組織的高中數(shù)學(xué)說(shuō)題比賽.在參加比賽之前，筆者的學(xué)生問(wèn)了這樣一個(gè)問(wèn)題：已知一個(gè)拋物線(xiàn)型的酒杯，杯口寬4cm,杯深4cm,若將一個(gè)玻璃球放進(jìn)酒杯中，當(dāng)玻璃球的半徑在什么范圍內(nèi)，玻璃球一定會(huì)觸及酒杯底部？筆者在給學(xué)生解答的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)這個(gè)酒杯中的數(shù)學(xué)與2016年浙江高考理科數(shù)學(xué)試卷第19題其實(shí)是同一類(lèi)型的問(wèn)題.遂選擇了這個(gè)題目進(jìn)行說(shuō)題，題目如下：

(I)求直線(xiàn)y=kx+1被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)(用a、k表示)；

(II)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

1 解法分析

考點(diǎn)弦長(zhǎng)公式;圓與橢圓的位置關(guān)系;橢圓的離心率

幾何條件含參圓與橢圓至多有三個(gè)交點(diǎn);離心率范圍

目標(biāo)動(dòng)態(tài)圓錐曲線(xiàn)交點(diǎn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化

.

第(II)題：考查的是雙二次曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，本題中有動(dòng)態(tài)和恒成立兩個(gè)難點(diǎn)，故問(wèn)題的解決關(guān)鍵在于交點(diǎn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.

視角一代數(shù)視角

由于圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題，便有解法1.

解法1方程在區(qū)間上根的分布問(wèn)題

(a2-1)y2+2y+r2-1-a2=0

(*)

先考慮有四個(gè)交點(diǎn)情況，則需要方程(*)在(-1,1)上有兩不同根，由

知識(shí)圓與橢圓的對(duì)稱(chēng)性、根的分布問(wèn)題

策略正難則反

思想方程思想

方程的有解問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，故有解法2.

解法2函數(shù)在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

(1-a2)y2-2y+1+a2=r2.

當(dāng)a2>2時(shí)，圓與橢圓有4個(gè)不同的公共點(diǎn).

思想函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想

視角二幾何視角

橢圓具有對(duì)稱(chēng)性，要保證圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，則圓與橢圓y軸單側(cè)不可能有2個(gè)公共點(diǎn)，即弦長(zhǎng)在y軸單側(cè)處處不相等.將兩條動(dòng)態(tài)曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)問(wèn)題,再代數(shù)解決.

解法1弦長(zhǎng)相等(浙江省考試院提供的參考答案)

假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q，滿(mǎn)足AP=AQ,記直線(xiàn)AP、AQ的斜率分別為k1,k2,且k1,k2>0，k1≠k2．

①

因此，以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1

知識(shí)圓與橢圓的對(duì)稱(chēng)性、弦長(zhǎng)公式

思想函數(shù)與方程思想

在解法1的基礎(chǔ)上，若AP=AQ,則三角形APQ為等腰三角形，連接PQ，取其中點(diǎn)M，連接AM，如圖所示，則AM垂直P(pán)Q.涉及中點(diǎn)、垂直的位置關(guān)系，可以考慮用點(diǎn)差法，將弦長(zhǎng)相等的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何的位置關(guān)系.

解法2點(diǎn)差法

即(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0，得

②

由AP=AQ，得AM⊥PQ,即

知識(shí)圓與橢圓的對(duì)稱(chēng)性、點(diǎn)差法

思想設(shè)而不求思想、函數(shù)思想

視角三函數(shù)視角

圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，即當(dāng)點(diǎn)P從上定點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到下定點(diǎn)時(shí),PA處處不相等，即弦長(zhǎng)在y軸左側(cè)單調(diào).可以考慮構(gòu)造函數(shù)，將交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性.

解法1弦長(zhǎng)在y軸單側(cè)單調(diào)遞增

知識(shí)弦長(zhǎng)公式、單調(diào)性

思想函數(shù)思想

在解法1的基礎(chǔ)上，弦長(zhǎng)單調(diào)遞增，即意味著弦長(zhǎng)是具有最大值的.反思解法1，利用弦長(zhǎng)公式構(gòu)造出的函數(shù)，較為復(fù)雜，不便于研究.點(diǎn)P為橢圓上的任意動(dòng)點(diǎn)，可以利用橢圓的方程進(jìn)行三角換元來(lái)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，則PA為P、A兩點(diǎn)間的距離公式.

解法2弦長(zhǎng)的最大值

圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，即當(dāng)點(diǎn)P從上頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)半圈到下頂點(diǎn)時(shí),PA單調(diào)遞增，即當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P(acosθ,sinθ)為下頂點(diǎn)B(0,-1)時(shí)，PAmax=2.

PA2=a2cos2θ+(sinθ-1)2=(1-a2)sin2θ-2sinθ+1+a2,(-1≤sinθ≤1)

因?yàn)镻A的最大值當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=-1時(shí)取到，且1-a2<0,

知識(shí)距離公式、二次函數(shù)最值

思想函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想

對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，若直接處理起來(lái)比較困難，有時(shí)候可以考慮特殊位置.

視角四特殊視角

若需滿(mǎn)足題目條件，只需當(dāng)臨界情況，即半徑r=2時(shí)，橢圓完整在圓內(nèi)，否則只需半徑再大一點(diǎn)就會(huì)有4個(gè)交點(diǎn).

策略考慮臨界位置

思想函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想

解法小結(jié)對(duì)于本題，解法眾多，但筆者認(rèn)為最理想的解法是轉(zhuǎn)化為距離(弦長(zhǎng))的最值.

2 背景分析

2.1 本質(zhì)研究

本題所涉及的動(dòng)態(tài)圓與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，其本質(zhì)是y軸上的定點(diǎn)A到圓錐曲線(xiàn)橢圓上動(dòng)點(diǎn)P的距離PA的最值問(wèn)題.解決步驟如下：(1)兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)距離公式;(3)構(gòu)造函數(shù)；(4)函數(shù)最值.深入研究本問(wèn)題，還是得到一些其他的結(jié)論：在y軸單側(cè)，PA單調(diào)遞增時(shí)，圓與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2或1或0個(gè)；在y軸單側(cè)，PA不單調(diào)時(shí)，圓與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4或3個(gè).

2.2 問(wèn)題鏈接

以下兩個(gè)問(wèn)題也是定點(diǎn)到圓錐曲線(xiàn)(橢圓、拋物線(xiàn))上動(dòng)點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題.

有一種酒杯的軸截面近似一條拋物線(xiàn)，杯口寬4米，深8米，稱(chēng)之為拋物線(xiàn)酒杯，當(dāng)玻璃球的半徑為多大時(shí)，玻璃球一定會(huì)觸及到酒杯底部.

3 拓展變式

對(duì)于2016年浙江高考理科數(shù)學(xué)試卷第19題，定點(diǎn)A在y軸上的位置比較特殊，恰為橢圓的上頂點(diǎn)，故對(duì)這個(gè)問(wèn)題還可以進(jìn)行拓展.

變式1點(diǎn)A在y軸上，橢圓外

變式2點(diǎn)A在在y軸上，橢圓內(nèi)

變式3點(diǎn)A在y軸正方向上運(yùn)動(dòng)

解設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)為P(acosθ,bsinθ),則

PA2=a2cos2θ+(bsinθ-tb)2=(b2-a2)sin2θ-2b2tsinθ+t2b2+a2,(-1≤sinθ≤1),

變式5點(diǎn)A在x軸正方向上運(yùn)動(dòng)

解設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)為P(acosθ,bsinθ),則

PA2=(acosθ-t)2+b2sin2θ=(a2-b2)·cos2θ-2atcosθ+t2+b2(-1≤cosθ≤1),

一般結(jié)論：

變式6圓與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題

設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2=2py(p>0),若任意以點(diǎn)A(0,t)(t>0)為圓心的圓與拋物線(xiàn)至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求t、p需滿(mǎn)足的條件.

變式7點(diǎn)A為平面上任意一點(diǎn)

4 教學(xué)啟示

通過(guò)對(duì)這道高考試題的研究，筆者得到了一些啟發(fā).任何一個(gè)復(fù)雜解析幾何問(wèn)題的解決，都需要用到基本知識(shí)，因此在教學(xué)的過(guò)程中應(yīng)該注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的夯實(shí)；引導(dǎo)學(xué)生從不同視角下進(jìn)行研究，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)；關(guān)注解析幾何問(wèn)題(比如交點(diǎn)問(wèn)題)轉(zhuǎn)化中的通性通法，方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等思想的應(yīng)用.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的變換、推廣和轉(zhuǎn)化，可以有效培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.