浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學

沈岳夫 (郵編：312050)

縱觀2017年各地的中考試卷，筆者發(fā)現架構在二次函數下的函數幾何型的存在性問題考查比較頻繁，尤其如等腰三角形的存在性問題，相似三角形的存在性問題，平行四邊形的存在性問題等比比皆是．這類問題在考查時往往把存在性問題置身于函數圖象這一背景下，考查的知識點相對多而分散，綜合性強，對學生數形結合、分類討論、方程與函數等數學思想方法的運用能力要求較高，從而導致這類題型得分率并不高，且漏解現象也很嚴重．為此，筆者特遴選一道中考試題，對其解法進行探究，愿與大家共同分享．

1 真題示例

圖1

(1)求點B的坐標和拋物線的解析式；

(2)M(m，0)為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P、N．

①點M在線段OA上運動，若以B、P、N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標；

②點M在x軸上自由運動，若三個點M、P、N中恰有一點是其它兩點所連線段的中點(三點重合除外)，則稱M、P、N三點為“共諧點”．請直接寫出使得M、P、N三點成為“共諧點”的m的值．

當M在點A的左側時，分三種情形畫出滿足題意的圖形：

圖2

圖3

圖4

若M為線段PN的中點(如圖3)，由PM=MN，同理，可解得m=-1或m=3(舍去)；

評注這是一道以運動為表象，融幾何與坐標為一體的壓軸題，綜合性強，難度較大．運動類問題大都是以動點、動線或者幾何圖形整體運動為載體的，在分析問題時，需要弄清楚運動的相關要素，如運動的對象、方向、速度等，并將這些要素以某種形式呈現出來，使動態(tài)的問題轉化為靜態(tài)的幾何圖形問題．就本題第(2)小題第②問，從形的角度，點M既可以在點A的左側，也可以在點A的右側進行分類，并想方設法畫出符合題意的圖形，但通過數的計算，點M在點A右側的情形不存在的，本題正是數形結合思想中“以數解形”的典例；從數的角度，通過設元，利用函數圖象上的點的坐標特點，抓住“鉛垂線段=y上-y下”建立方程；從動態(tài)的角度，我們要用變化的眼光去觀察和研究圖形，在理解“共諧點”的前提下，以靜制動，最終捕捉、定格出符合條件的圖形，再結合圖形探求，然后各個擊破求得M點的橫坐標．

2 題組生長

數學思維的發(fā)展僅僅依賴一道例題的講解是遠遠不夠的，還需要重視變通思維能力的培養(yǎng)，即恰當變更問題情境或改變思維角度，培養(yǎng)學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法．因此，課堂教學要常新善變，采用一題多變，通過對原題 “生長”、挖掘改造、拓展延伸，能有效提高教學效率，幫助學生實現知識的整合、方法的遷移，進一步感悟、理解問題的本質，數學思想方法，提升分析、思考、研究問題的思維能力．

問題1若連接BM，BN，當滿足S△BPM∶S△BPN=1∶4，求m的值．

問題2若連接BN，當△BPN為直角三角形時，求m的值．

問題3若連接BN，當以O、B、N、P為頂點的四邊形是平行四邊形時，求m的值．

問題4若連接BN，當∠PBN=45°時，求m的值．

問題5若以PN為直徑作⊙R，當⊙R與y軸相切時，求m的值．

鞏固題如圖5，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與直線y=x+1相交于A(-1，0)，B(4，m)兩點，且拋物線經過點C(5，0)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是拋物線上的一個動點(不與點A、點B重合)，過點P作直線PD⊥x軸于點D，交直線AB于點E．

①當PE=2ED時，求P點坐標；

②是否存在點P使△BEC為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

圖5

評注該題組是在原題的框架下，不斷“生長”出新問題，如拋物線與面積、特殊三角形、特殊四邊形、特殊角、圓的相切等．在解決問題的過程中，教師逐漸增加條件、變化圖形，讓學生主動尋求解決問題的方法并產生新的問題，使問題和思維層次逐漸深入．最后，將問題像“鏈條”一樣串聯起來，多題歸一，環(huán)環(huán)緊扣，層層遞進，深化思維，激發(fā)學生思維發(fā)展的內驅力．教學中隨著對圖形的不斷“聯想”，學生能夠懂其原理，知其方法，通其變化．最后再設置一道鞏固題，讓學生在解題和思維的碰撞中提升思維能力，活化所學知識，讓學生在探究中既掌握所學知識和技能，又感悟知識的本質，積累思維和實踐的經驗，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)，助力培養(yǎng)學生的高階思維，讓不同思維層次的學生更上一個思維臺階．

3 復習建議

中考復習時間緊、任務重，我們既要系統(tǒng)地復習主干知識和核心知識，又要關注中考的熱點和試題特征，準確把握復習方向；既要注重學生解題的數量和質量，又要注重揭示解題的思維過程，發(fā)現學生思維上的漏洞，及時加以彌補；既要關注習題的選擇，又要防止單純地就題論題，注重解題后的反思，以積累解題經驗、形成能力為落腳點；既要重視知識的綜合、聯系，又要關注數學思想方法、策略、學科能力的訓練和培養(yǎng)，把復習工作真正落到實處．

3.1 以形助數，有效構圖

縱觀各地的中考試卷，以二次函數圖象為載體來探究滿足某種條件的特殊圖形(如等腰三角形，平行四邊形等)是否存在，是近年來中考的熱點．解答時要挖掘特殊圖形的性質，通過圖形的直觀性構建關鍵“點”及“線”之間的位置與數量關系，從而達到以形助數的目的．如本文在探求第(2)小題第②問時，應先根據動線MN，分類畫出符合要求的圖形(最好是分離后的簡化圖形，如圖2～4)，這樣既有助于理清題目條件尤其是隱含條件，又有助于構造數與形的之間“等量”關系．可見，有效構圖，能使條件整合，能給予解題導向，能為不同水平的學生各盡所能提供展示的平臺．

3.2 注重變式，啟迪思維

著名的數學家希爾伯特說過：“一個問題的解決意味著一系列新的問題的誕生．當我們解題成功時，不要忘記提出新的問題，因為還有許多寶藏尚未開發(fā)出來．”由此可見，無論是平時的復習課教學，還是中考復習階段的教學，不能就題論題，要善于挖掘，讓問題走得更遠．如本文所說的“題組生長”式教學是一種比較有效的方法，設計的問題是各個引例(例題)、習題之間具有一定的內在聯系(或條件(圖形)相似、或結論一致，或方法相同)，能加深學生對諸多知識和方法的理解，給學生營造一個“再發(fā)現”“再創(chuàng)造”的探究氛圍，變式教學給學生一種新鮮、生動的感覺，能喚起學生的好奇心和求知欲，能產生主動參與學習的動力，保持對學習活動的興趣和熱情．

3.3 滲透思想，生長智慧

復習教學中，教師在講授動點、動線存在性問題時應努力揭示問題的本質，揭示問題中蘊含的數學思想．因為數學思想是數學教學的核心和精髓，只有讓學生體會和感悟數學思想，才能提高學生的數學素養(yǎng)．教師要不斷引導學生對解題過程進行反思、聯想、總結，教會學生提煉解決動態(tài)性存在問題的策略和方法，掌握基本解題技能．在解決問題過程中，尤其要注重對數學思想方法(方程與函數思想、數形結合思想、分類思想、化歸思想、類比思想等)的滲透．在平時的教學中，要將數學方法用于解題，通過不斷的講解、提煉、歸納和總結，發(fā)展學生的數學思維能力．

總而言之，解題是數學教學中一個基本形式，一般學生都比較重視，但學生對題目往往不加選擇，拿來就做，而不善于探索解題思路，不善于總結解題規(guī)律．為此，作為一線教師一定要精心備課，在選擇例題或習題時，要發(fā)現試題間的內在聯系，精心選擇，合理安排．做到“在知識生長點處引入，在知識結合點處展開；在知識關鍵點處引伸，在能力提高點處設疑；在有價值處思考討論，在困難處點撥與分析” ．因此，復習過程中要突出方法的提煉與歸納，秉持“題不在難，有思想方法就靈；量不在多，典題變式就行”，做到“解一題、得一法、通一片” ．

1 沈岳夫．對一道期末考試題的研究與拓展[J]．中學數學(初中版)，2017(3)：68-71

2 沈岳夫．細研解題思路 提煉解題模型[J]．數學數學，2017(1)：22-24

3 沈岳夫．對一道“新定義”型探究題的解法探析與拓展[J]．中學數學(初中版)，2016(2)：74-75

4 沈岳夫．抓住特殊角度 探求一題多解[J]．數學數學，2017(2)：23-26