高靈敏

動(dòng)態(tài)問(wèn)題顧名思義就要有動(dòng)的元素.可以是某一元素或兩元素，它們的運(yùn)動(dòng)變化導(dǎo)致問(wèn)題的結(jié)論改變或者保持不變，這揭示了“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”，“一般”與“特殊”的內(nèi)在聯(lián)系.

解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是分清幾何元素運(yùn)動(dòng)的方向和路徑，注意在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中哪些是變量，哪些是不變量，并且正確分析變量與其他量之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立它們之間的關(guān)系，有時(shí)還要根據(jù)幾何元素所處的不同位置加以分類討論.這類試題還往往要綜合運(yùn)用勾股定理、相似三角形、方程、函數(shù)等知識(shí)來(lái)解決.

例1 （2017·徐州）如圖1①，菱形ABCD中，AB=5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC—CD—DA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度相同.設(shè)點(diǎn)P出發(fā)xs時(shí)，△BPQ的面積為ycm2.已知y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖1②所示，其中OM，MN為線段，曲線NK為拋物線的一部分，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，解答下列問(wèn)題：

圖1

（1）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，△BPQ的面積（填“變”或“不變”）；

（2）分別求出線段OM，曲線NK所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△BPQ的面積是5cm2？

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像即可得到結(jié)論；（2）設(shè)線段OM的函數(shù)表達(dá)式為y=kx，把M（1，10）代入即可得到線段OM的函數(shù)表達(dá)式；設(shè)曲線NK所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-3）2，把（2，10）代入得到曲線NK所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）把y=5分別代入y=10x和y=10（x-3）2即可得到答案.

解：（1）由函數(shù)圖像知，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，△BPQ的面積始終等于10，所以當(dāng)1＜x＜2時(shí)，△BPQ的面積不變.

（2）設(shè)線段OM的函數(shù)表達(dá)式為y=kx，

∵圖像過(guò)M（1，10），∴10=k，

∴線段OM的函數(shù)表達(dá)式為y=10x；

∵點(diǎn)P作勻速運(yùn)動(dòng)，且菱形的各邊相等，故P在三邊上運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間相同.

∴K（3，0），∴設(shè)曲線NK所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-3）2，

∵圖像過(guò)（2，10），

∴10=a（2-3）2，解得a=10，

∴曲線NK所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：

y=10（x-3）2.

【點(diǎn)評(píng)】這類題的一般做法是：弄清兩圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即弄清點(diǎn)P、Q如何運(yùn)動(dòng)可得到右圖對(duì)應(yīng)的圖像，但該題只要重點(diǎn)看右圖即可解決.本題有個(gè)小“陷阱”，只說(shuō)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，沒(méi)說(shuō)運(yùn)動(dòng)起始時(shí)刻是否相同，若你有P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)的思維定式，可能會(huì)繞不出來(lái).

例2 （2017·無(wú)錫）操作：“如圖2，P是平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)（x軸上的點(diǎn)除外），過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q.”我們將此由點(diǎn)P得到點(diǎn)Q的操作稱為點(diǎn)的T變換.

圖2

（1）點(diǎn)P（a，b）經(jīng)過(guò)T變換后得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ；若點(diǎn)M經(jīng)過(guò)T變換后得到點(diǎn)N（6，-3），則點(diǎn)M的坐標(biāo) .

（2）A是函數(shù)y=3x圖像上異于原點(diǎn)O 2的任意一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)T變換后得到點(diǎn)B.

①求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、點(diǎn)B的直線的函數(shù)表達(dá)式；

②如圖3，直線AB交y軸于點(diǎn)D，求△OAB的面積與△OAD的面積之比.

圖3

【分析】（1）連接CQ，可知△PCQ為等邊三角形，過(guò)Q作QD⊥PC，利用等邊三角形的性質(zhì)可求得CD和QD的長(zhǎng)，則可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用P、Q坐標(biāo)之間的關(guān)系可得到點(diǎn)M坐標(biāo)的方程，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo).

（2）①可取A（2， 3），利用T變換可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線OB的函數(shù)表達(dá)式；②用同底的兩個(gè)三角形面積之比等于高的比，可求得△OBD的面積與△OAD的面積之比，進(jìn)而求出△OAB的面積與△OAD的面積之比.

解：（1）如圖4，連接CQ，過(guò)Q作QD⊥PC于點(diǎn)D，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，∴△PCQ為等邊三角形，

圖4

【點(diǎn)評(píng)】該題首先要弄懂T變換；其次一般表示點(diǎn)A會(huì)含有字母，我們這里直接取定點(diǎn)A（2， 3），用了以“特殊”代替“一般”的思想.