詹 為，段先華，於躍成

(江蘇科技大學 計算機學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

0 引 言

信息時代帶來了“信息爆炸”，導致了數(shù)據(jù)爆炸性增加。因此，不管數(shù)據(jù)傳輸或數(shù)據(jù)存儲，高效數(shù)據(jù)壓縮是必要的，例如，在遙感技術(shù)領(lǐng)域，各種空間探頭必須使用壓縮技術(shù)將巨大的數(shù)據(jù)信息發(fā)送回地面。然而，隨著現(xiàn)代信息通信在商業(yè)社會中的需求日益增長，圖像通信和通信網(wǎng)絡(luò)的容量之間的矛盾越來越突出，特別是大量的數(shù)字圖像數(shù)據(jù)難以傳輸存儲。并且在獲得和使用圖像信息時也造成了很多困難，成為圖像通信發(fā)展中的“瓶頸”問題。為了解決這些問題，越來越多的學者致力于圖像壓縮的研究。傳統(tǒng)的基于塊的變換，通過塊運動估計和補償技術(shù)來消除多余圖像部分的離散余弦變換(DCT)壓縮方法在低碼率時恢復圖像會出現(xiàn)明顯的方塊效應[1-3]，這將在一定程度上影響圖像的恢復質(zhì)量。針對這一問題，近年來基于小波變換的圖像壓縮方法逐漸成為其研究熱點。

近年來，基于小波的圖像壓縮算法與嵌入式比特流相繼提出，如嵌入式零樹小波壓縮(EZW)算法、集合分層樹(SPIHT)算法、嵌入式塊編碼與優(yōu)化截斷(EBCOT)算法和自適應掃描小波差分減少(ASWDR)等等。其中，EZW[4]是一種簡單有效的圖像壓縮算法，由Shapiro于1993年提出。EZW算法適應不同尺度層在小波域中的幅度相關(guān)性預測和排序，可以消除像素之間的相關(guān)性，同時可以在不同的分辨率下保持精細的結(jié)構(gòu)。所以EZW可以實現(xiàn)一些重要系數(shù)的漸進編碼和有效壓縮。

雖然EZW算法現(xiàn)在被認為對于小波圖像編碼方法更有效，但仍存在不足之處。例如：EZW的編碼思想是通過不斷掃描小波變換后的圖像，以生成更多的零樹來對圖像進行編碼。掃描過程中為了判斷小波系數(shù)是零樹根還是孤零，需要對系數(shù)進行重復掃描；由于EZW算法中的“零樹結(jié)構(gòu)”思想，在實際的編碼過程中，生成的零樹根越多，用以表示圖像的數(shù)據(jù)量便會越少。而多棵零數(shù)根將會導致零樹根大量存在編碼流中；編碼產(chǎn)生的四種符號中，每一種符號出現(xiàn)的機率也是不相等的。出現(xiàn)機率最高的是零樹根，占有的比率達到百分之五十以上，而且它的連續(xù)性也很強。另外三種符號出現(xiàn)的機率不是很高且連續(xù)性也不是很強。

上述問題會導致編碼符號流中存在大量冗余，使得壓縮編碼時間變長，從而降低圖像的編碼效率?；诖耍岢隽艘环N改進算法。首先通過擴充編碼符號改進掃描方式，能夠?qū)崿F(xiàn)零樹結(jié)構(gòu)的快速判斷，然后將改進算法用霍夫曼編碼代替算術(shù)編碼方法使其更簡單。

1 基于小波變換的圖像壓縮

1.1 數(shù)字圖像中的小波變換

在圖像處理中應用的小波變換是二維小波變換,定義為：

(1)

其逆變換如下：

(2)

(3)

其中，ψ(w1,w2)是ψ(x,y)的二維Fourier變換。

數(shù)字圖像中采用的是二維離散小波變換。在選擇小波基的基礎(chǔ)上，將圖像分解成許多不同的尺度、方向，小波變換后空間域子帶圖像發(fā)生變化，二維小波變換可以看成行和列兩個方向的一維小波變換。對于一幅原始圖像,先對其行作小波變換,行變換結(jié)束后,再對其進行列小波變換。根據(jù)這個算法，在小波變換后分解為四個子系統(tǒng)的圖像：LL表示特征的原始圖像，包含原始圖像的基本內(nèi)容；LH、HL和HH是垂直、水平和高頻特性的對角分量向右傾斜，分別包含邊緣、紋理和輪廓等垂直、水平和對角線方向的圖像數(shù)據(jù)。這里LL子帶包含圖像的大多數(shù)數(shù)據(jù)，然后對小波變換的一級低頻子帶重復以上變換，直到達到所需要的分辨率為止[5-6]。一級分解后繼續(xù)分解的過程叫做多分辨率分析，即多級小波分解的概念，形成小波的多級變換。

1.2 小波變換圖像壓縮步驟

基于小波變換的圖像壓縮編解碼框圖如圖1所示。其中，整幅圖像首先通過小波變換，然后實際編碼應用于完整的小波系數(shù)。小波是有損壓縮技術(shù)之一，一般有三個過程：

(1)變換：將變換后的數(shù)據(jù)變換為小波系數(shù)矩陣。

(2)量化：小波系數(shù)被量化為有限的字母表，這一步不是可逆的。

(3)編碼：量化之后得到的符號被進一步壓縮為最小化比特率。

圖1 圖像編碼框圖

1.3 基于小波變換的圖像壓縮編碼

相比較離散余弦變換，基于小波變換的圖像壓縮能夠更好地實現(xiàn)較高的壓縮比和較理想的圖像恢復質(zhì)量。而嵌入零樹小波圖像編碼、分層小波樹集分割算法和優(yōu)化截斷點嵌入塊編碼算法則是目前比較經(jīng)典的小波圖像編碼算法[7]。文中將圍繞EZW算法展開。

1.4 嵌入式零樹小波編碼算法

一般來說，在小波圖像壓縮過程中量化是其中最關(guān)鍵的部分，它將圖像小波系數(shù)很好地組織起來實現(xiàn)有效壓縮。小波零樹編碼主要采用小波特征系數(shù)，很好地實現(xiàn)了嵌入式圖像編碼。其編碼思想是不斷掃描變換圖像，生成更多的零樹到圖像代碼[8]。其算法步驟可執(zhí)行如下：

(1)確定初始閾值T0。

T0=2?log2(MAX(|Xi|))」

(4)

其中，Xi表示小波變換分解到第i級時的系數(shù)，之后每掃描一次，閾值減少一半。

(2)主掃描。

第n(n=1,2,…,L)次掃描時，算法按照順序?qū)⑿〔ǚ纸庀禂?shù)與閾值Ti-1依次進行比較，已處理的系數(shù)由以下輸出符號表示：

零樹根(T)，孤立零(Z)，正重要系數(shù)(P)和負重要系數(shù)(N)。其表示分別為P：當前系數(shù)為正且絕對值大于閾值；N：當前系數(shù)為負且絕對值大于閾值；T：當前系數(shù)絕對值小于0為不重要系數(shù)且所有子孫系數(shù)都為不重要系數(shù)；Z：當前系數(shù)值不重要，但是至少有一個兒子系數(shù)重要。通過四個符號，掃描小波系數(shù)，并判斷小波系數(shù)，并將相應的符號放入符號表中。也就是說在掃描過程中，用一個主掃描表記錄這些輸出符號。為防止下次主掃描時重復編碼，在第n次掃描結(jié)束后，將輸出符號為P或N的系數(shù)的位置加標記或?qū)⑦@些系數(shù)置0。

(3)輔掃描。

對于主掃描后的重要系數(shù)做細化編碼。對主掃描表進行順序掃描，對其中輸出符號為P或N的小波系數(shù)進行量化。在量化系數(shù)之前要構(gòu)造量化器。量化器的輸入間隔為[Tn-1，2Tn-1)，將其等分為兩個量化區(qū)間[Tn-1，1.5Tn-1)，[1.5Tn-1，2Tn-1)，若小波系數(shù)屬于前一區(qū)間，則輸出量化符號“0”，重構(gòu)值為1.25Tn-1，否則輸出量化符號為“1”，重構(gòu)值為1.75Tn-1。輸出的符號“0”、“1”由一個輔掃描表記錄。

(4)重新排序，其目的為與設(shè)置第n+1次掃描所用的量化間隔，以提高解碼精度。

(5)輸出編碼信息。

(6)重復上述步驟，直到滿足所需的比特率編碼停止為止。

2 嵌入式零數(shù)小波圖像壓縮編碼算法改進方案

2.1 EZW算法存在的不足

EZW的編碼思想是通過不斷掃描小波系數(shù)，以生成更多的零樹來對圖像實現(xiàn)編碼，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)該算法存在下列問題[9-15]：

(1)存在重復掃描，不僅浪費了時間和空間，而且影響了效率。

(2)逐次逼近量化過程中，產(chǎn)生了多棵零樹，不僅增加了編碼的比特數(shù)，同時也增加了編碼工作計算量。

(3)編碼產(chǎn)生的四種符號中，每一種符號出現(xiàn)的機率也是不相等的。出現(xiàn)機率最高的是零樹根，占有的比率達到百分之五十以上，而且它的連續(xù)性很強。另外三種符號出現(xiàn)的機率不高，連續(xù)性也不強，這將會出現(xiàn)大量連續(xù)的零數(shù)根。因此不僅浪費了時間，同時也影響了圖像的編碼效率和壓縮比率。若采用原EZW算法的掃描方式和編碼方法，算法的復雜度會增加且會產(chǎn)生編碼冗余。

2.2 改進的算法思想

針對其不足，提出了以下改進方案。

(1)采用擴充編碼符號的方法進行改進，用6個標志位代替EZW算法中的4個標志位對小波系數(shù)進行量化，以實現(xiàn)零樹結(jié)構(gòu)的快速判斷。由于在圖像的分解過程中，會產(chǎn)生大量的能量，其中大部分會聚集在低頻子帶中。這就導致了低頻子帶的系數(shù)遠遠大于其余的子帶，因此會產(chǎn)生更多的零樹。而且在編碼時重要系數(shù)的后面依舊會產(chǎn)生很多零樹根，因此在掃描低頻子帶LL時，若一個系數(shù)為正重要系數(shù)，則繼續(xù)對其子孫系數(shù)進行判斷，若子孫中至少含有一個重要系數(shù)則標記為Pn，若不含重要系數(shù)則標記為P；若一個系數(shù)為負重要系數(shù)，則繼續(xù)對其子孫系數(shù)進行掃描判斷，若子孫中至少含有一個重要系數(shù)則標記為Nn，若不含重要系數(shù)則標記為N，并對子孫系數(shù)進行標記，在該閾值下跳過不掃描。通過這種方式，減少了對重要系數(shù)的掃描，提高了效率。

(2)改進后，用霍夫曼編碼代替原來的算數(shù)編碼。算術(shù)編碼采用不同的概率分布模型進行編碼，相比較霍夫曼編碼，大大增加了算法的復雜度。上述提到EZW編碼算中會出現(xiàn)大量的零數(shù)根，各個符號出現(xiàn)的機率不同，而霍夫曼編碼會統(tǒng)計每個頻率符號，按照大小的頻率和二叉樹的重新形成排序，并獲得所有的符號代碼。因為霍夫曼代碼是不等長的編碼，短碼表示高概率，而長碼表示低概率，從而實現(xiàn)壓縮的目的。此外，霍夫曼編碼是一個無損編碼方法，理論上不影響圖像恢復。主掃描編碼后標志位符號的這種特點正好符合霍夫曼編碼的特點。采用霍夫曼編碼不但可以減少編碼所需要的比特數(shù)，而且還可以降低算法的復雜度。

2.3 改進的圖像編碼流程

改進編碼算法就是根據(jù)其EZW算法特性，通過擴充編碼符號改變掃描順序，并根據(jù)霍夫曼編碼特性，結(jié)合霍夫曼編碼來提高圖像的壓縮性能。改進算法的具體實現(xiàn)步驟可以總結(jié)如下：輸入一幅原始圖像，先對其進行小波變換，然后主掃描，產(chǎn)生用以記錄重要系數(shù)位置信息的小波系數(shù)符號表；其次是副掃描，產(chǎn)生記錄重要系數(shù)量化情況的小波系數(shù)量化表。每掃描完一次，都會將主掃描形成的主表與副掃描表中的量化值先后分別進行霍夫曼無損編碼，形成的碼流就是某個量化步長下的零樹方式的編碼碼流，通過解碼這個碼流就可以得到輸入圖像的重構(gòu)恢復圖像。每完成一次編碼，閾值就會減半，然后進行重復掃描，熵編碼，直到達到設(shè)定的比特率或其所需要的精度。改進的嵌入式零樹小波變換編碼流程如圖2所示。

圖2 改進的嵌入式零樹小波變換編碼流程

具體仿真過程如下：

(1)讀取原始圖像的信息，通過函數(shù)X=imread('cameraman.bmp')讀取圖像。

(2)使用哈爾小波變換二維矩陣，de_x=haardec(X)。

(3)得到變換后的矩陣，使用改進的EZW對轉(zhuǎn)換后的矩陣進行編碼，由ezw_encode(de_x,10)函數(shù)實現(xiàn)。

(4)將改進的EZW與霍夫曼編碼相結(jié)合，該實現(xiàn)功能由函數(shù)huffman(DD)實現(xiàn)。

(5)由函數(shù)ihuffman(encode_x,h,sortindex)來實現(xiàn)解碼。

(6)通過函數(shù)ezw_decode實現(xiàn)符號解碼，解碼成之前矩陣中對應的像素值，將矩陣轉(zhuǎn)換為圖像。

3 實驗結(jié)果及分析

為了驗證改進后的嵌入式零數(shù)小波算法的有效性，利用MATLAB仿真軟件進行實驗，并與原EZW算法進行對比，以證明該算法的可行性。

3.1 圖像質(zhì)量評估測度

在圖像編碼系統(tǒng)中，常用峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)來衡量其性能。

(6)

3.2 EZW與改進的EZW的對比

選用大小為256*256的3幅灰度圖像Cameraman、Lena、Pepper作為測試對象進行實驗。對原始圖像進行3級分解。在閾值為32時，與傳統(tǒng)的EZW算法進行對比,如圖3所示。表1與表2為性能分析實驗數(shù)據(jù)對比。

圖3 改進的EZW與EZW算法重構(gòu)對照比較

圖像EZW算法(位)改進的EZW算法(位)節(jié)省(位)Cameraman239 9421 8282 166Lena24 00121 8212 180Pepper23 98321 7992 184

從表1可以看出，用改進的編碼方式進行編碼后，減少了傳輸或存儲所需的編碼符號流所需的位數(shù)，避免了符號冗余，可有效提高圖像的壓縮比和編碼效率，降低算法復雜度。

表2 不同比特率下PSNR比較

從表2看到，在相同比特率下，改進算法的峰值信噪比略高，也即重構(gòu)圖像的質(zhì)量有了相應提高。圖4為其在不同比特率下的峰值信噪比折線圖。通過對改進EZW算法與原EZW算法進行仿真實驗，將實驗得到的數(shù)據(jù)、圖像進行比較，可以看出無論是在峰值信噪比、編碼所需位數(shù)還是人眼的主觀評價上，改進算法都較原始EZW算法略有提高，有效可行。

圖4 不同比特率下峰值信噪比對比

4 結(jié)束語

針對EZW算法的不足，給出了具體的改進措施：擴充編碼符號；將改進的EZW編碼與霍夫曼組合來提高圖像編碼效率。實驗結(jié)果表明，改進算法與原算法相比較，不僅其圖像的峰值信噪比有所提高，而且避免了產(chǎn)生大量冗余比特流，提高了圖像編碼效率。改進算法在主觀視覺和客觀數(shù)據(jù)方面均優(yōu)于EZW。因此，該算法是有效可行的。文中研究處理的只是灰度圖像，而未考慮彩色圖像和視頻圖像，因此對彩色圖像與視頻進行高效的壓縮是今后研究的主要方向。同時,由于小波分析中小波基的多樣性和靈活性,使其在不同應用領(lǐng)域的特殊性研究具有實用性。此外，文中只是在軟件上實現(xiàn),即利用Matlab仿真軟件在PC機上實現(xiàn),這樣對系統(tǒng)執(zhí)行的速度有一定的限制，制約了整個系統(tǒng)的編碼速度,可以考慮在硬件如DSP上實現(xiàn),這樣能夠提高整個系統(tǒng)的性能。

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