王 坤,吳錦武，趙國揚(yáng)，李志寬

（南昌航空大學(xué)飛行器工程學(xué)院，南昌330063）

0 引言

振動(dòng)是影響航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪葉片壽命的重要因素，采取有效措施減小其振動(dòng)，是航空發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。由于干摩擦阻尼器（緣板、凸肩、葉冠等）具有減振效果好、對(duì)葉片氣動(dòng)性能影響小等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)葉片結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[1]。Griffin[2]在1980年提出用接觸剛度和開始滑動(dòng)時(shí)的摩擦力參數(shù)來描述摩擦阻尼器，并研究每個(gè)參數(shù)對(duì)帶阻尼器渦輪葉片共振響應(yīng)的影響；Menq和Petrov[3-4]使用法向接觸剛度、切向接觸剛度和摩擦系數(shù)3個(gè)參數(shù)來描述接觸模型的特性；單穎春等[5]總結(jié)前人研究的基礎(chǔ)上，細(xì)致考慮接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，提出了幾種典型的接觸運(yùn)動(dòng)模型；漆文凱等[6]以帶緣板阻尼塊渦輪葉片為對(duì)象，分別采用2維整體—局部統(tǒng)一滑動(dòng)模型，對(duì)其減振特性進(jìn)行研究,得出阻尼塊對(duì)葉片能起到調(diào)頻作用；陳香等[7]通過試驗(yàn)得出接觸緊度、阻尼塊的接觸面積、材料以及外部激振力共同影響渦輪葉片的減振效果；李迪等[8]對(duì)帶冠渦輪葉片進(jìn)行了系統(tǒng)試驗(yàn)，得出存在1個(gè)最優(yōu)的接觸緊度使得該帶冠渦輪葉片的減振效果最佳。

接觸模型依據(jù)阻尼結(jié)構(gòu)來確定，不同的阻尼結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)不同形式的接觸模型。在渦輪葉片中一般存在著阻尼銷、凸肩和葉冠等阻尼結(jié)構(gòu)，其中阻尼銷為圓柱體，與葉盤接觸面積很小，近似為1條線，可假設(shè)接觸面為“圓柱-平板”接觸[9]；而凸肩和葉冠，接觸面積較大，可以假設(shè)接觸面為“平板-平板”接觸。

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)工作過程中，渦輪緣板阻尼結(jié)構(gòu)從接觸到完全擠壓，接觸面往往受到很大的接觸壓力，產(chǎn)生很小的相對(duì)位移，葉片與阻尼塊摩擦接觸時(shí)，切向力和切向相對(duì)位移的遲滯曲線對(duì)準(zhǔn)確描述葉片振動(dòng)特性至關(guān)重要。將帶有圓角的平?jīng)_頭壓在平板上，得到帶圓角的平板接觸模型，從幾何模型出發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)計(jì)算推導(dǎo)對(duì)渦輪緣板阻尼塊摩擦接觸的特性進(jìn)行研究，利用該接觸模型推導(dǎo)接觸面間的法向正壓力和切向力的分布規(guī)律，并進(jìn)一步研究模型幾何參數(shù)的影響，得出模型參數(shù)對(duì)遲滯曲線、切向剛度和能量耗散的影響規(guī)律，為渦輪葉片阻尼器的設(shè)計(jì)提供參考。

1 研究對(duì)象及模型建立

1.1 研究對(duì)象

以常見帶緣板阻尼塊的渦輪葉片為研究對(duì)象，如圖1所示。

圖1 帶緣板阻尼塊的渦輪葉片

1.2 模型假設(shè)

各接觸體為各向同性彈性材料；接觸形成的矩形面具有較大的縱橫比——d/b；忽略有限長平板的邊緣效應(yīng)，接觸面上的正壓力和剪切力沿Y方向（軸向）均勻分布。

1.3 模型參數(shù)

將帶有圓角的平?jīng)_頭壓在平板上來描述渦輪葉片的接觸狀態(tài)，建立渦輪緣板阻尼接觸模型，如圖2所示。其中d為葉片的縱向?qū)挾?；R為圓角半徑；b為施加法向壓力后沿X向的接觸長度；Fn為壓頭所受的法向力；Tτ為壓頭所受的切向力。

圖2 渦輪緣板阻尼塊3維接觸模型

2 模型計(jì)算

2.1 2維模型中法向力和切向力的分布

根據(jù)圖2接觸模型，沿Y向取1個(gè)單位長度平板進(jìn)行力學(xué)分析，2維接觸模型如圖3所示。

圖3 2維接觸模型

圖中：T和F對(duì)應(yīng)著單位長度的切向載荷和法向載荷；e為模型施加切向載荷后接觸面沿X向的黏滯長度。接觸面的法向力F（x）沿X向的分布可寫為[10]

b/a=sinβ0，根據(jù)公式應(yīng)用Matlab進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，將縱坐標(biāo)以（F/a）進(jìn)行歸一化，橫坐標(biāo)以接觸長度a進(jìn)行歸一化，得到不同幾何參數(shù)b/a下法向力沿X向的分布，如圖4所示。

圖4 法向力F（x）沿X向的分布

從圖中可見，當(dāng)b/a=0時(shí)，未施加法向載荷時(shí)的初始接觸長度a=0，此時(shí)帶有圓角的平板接觸為圓柱面線接觸。隨著b/a的增大，接觸面兩側(cè)的法向力峰值 max[F（x）]增大，接觸長度中心的法向力 min[F（x）]減小。當(dāng)增大到b/a=1時(shí)，平板在X向的接觸長度不隨法向載荷F的改變而改變，此時(shí)平板的圓角半徑R=0，接觸轉(zhuǎn)化為理想平板接觸。對(duì)于給定法向載荷F，在不同切向載荷T作用下,將縱坐標(biāo)以μF/a進(jìn)行歸一化，其中μ為常數(shù)，橫坐標(biāo)以a進(jìn)行歸一化，得到切向力T（x）沿X向的分布，如圖5所示。

圖5 切向力T（x）沿X向的分布

從圖中可見，切向力分布與法向力分布類似，接觸邊緣切向力較大，接觸中心切向力最小。并且隨著切向載荷T的增大，接觸邊緣和接觸中心的切向力T（x）同時(shí)增大，直至發(fā)生宏滑。這是因?yàn)楫?dāng)T/μF＜1時(shí)，滑動(dòng)最先在接觸邊緣發(fā)生，e為接觸區(qū)域在X向的黏滯長度。此時(shí)對(duì)于e≤|x|≤a的點(diǎn)，接觸狀態(tài)為滑動(dòng)狀態(tài)，對(duì)于|x|≤e的點(diǎn)，接觸狀態(tài)為黏滯狀態(tài)；而當(dāng)接觸物體作用有切向載荷時(shí)，在接觸邊緣處 T（x）/F（x）將趨向于無窮大，因此滑動(dòng)總是首先發(fā)生在接觸邊緣。

2.2 接觸面切向力與切向相對(duì)位移

在上述分析2維接觸模型法向力和切向力分布的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究切向力與切向相對(duì)位移的關(guān)系，半空間局部受到切向力分布力tx作用，如圖6所示。

圖6 半空間局部受載

利用D.A.Hills[11]方法可獲得切向力和切向相對(duì)位移的關(guān)系，計(jì)算得出遲滯曲線，則位移為

式中：r2=（x-n）2+（y-m2）+z2；（n,m,f）為受力 點(diǎn)的坐標(biāo)；r為受力點(diǎn)到接觸中心的距離。

沿x方向令x=y=z，得到接觸中心的位移sx

由于接觸面法向力和切向力的分布是關(guān)于接觸中心線對(duì)稱可得

考慮到 d?a和 -a≤n≤a，有 d?n，將式（4）進(jìn)一步簡化為

將式（5）代入式（3）得

由式（6）可知，局部半空間受到切向分布力作用后，接觸中心的切向相對(duì)位移可表示為

式中：E*=2（1-f2）/E，E 為每循環(huán)能量耗散量。

由式（7）得到切向接觸剛度kd。法向接觸剛度kn可由Mindlin[12]球接觸中切向和法向接觸剛度關(guān)系得到，即

3 數(shù)值分析

3.1 遲滯曲線

阻尼系統(tǒng)的能量耗散取決于遲滯曲線圍成的面積，切向載荷T代入式（7）得到和相對(duì)切向位移δ的單調(diào)曲線，根據(jù)Masing理論[13-14]獲得微滑動(dòng)時(shí)的完整遲滯環(huán)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：δs為卸載時(shí)的切向位移；δn為加載時(shí)的切向位移。

Masing理論的初始加載曲線包含遲滯環(huán)的所有特性，在宏滑動(dòng)區(qū)域的遲滯曲線通過水平延長宏滑動(dòng)初始時(shí)的點(diǎn)獲得，得到歸一化后切向力和相對(duì)位移曲線如圖7所示。

圖7 不同相對(duì)位移時(shí)的遲滯曲線

在帶圓角的平板3維接觸模型條件下，進(jìn)一步研究不同幾何參數(shù)對(duì)遲滯曲線的影響規(guī)律。從式（7）獲得的遲滯曲線主要依賴于以下2個(gè)參數(shù)：b/a和d/a。給定d/a時(shí)，計(jì)算繪制得到不同b/a條件下的遲滯曲線，如圖8所示。曲線a/b=0.1，趨于圓柱面線接觸；曲線a/b=0.9，趨于理想平板接觸。在微滑動(dòng)的條件下，遲滯曲線所圍的面積隨著a/b的減小而增加。因此，對(duì)于1個(gè)給定位移幅值、法向加載和材料屬性的接觸模型，最大的耗散能量通過圓柱面線接觸獲得，即a/b=0。

圖8 給定d/a，不同b/a時(shí)的遲滯曲線

研究不同d/a對(duì)遲滯曲線的影響，給定b/a，得到不同d/a條件下的遲滯曲線如圖9所示。從圖中可見，d/a僅僅影響遲滯環(huán)的的斜率，并不影響遲滯環(huán)所圍的面積和單位長度的能量耗散。

圖9 給定b/a，不同d/a時(shí)的遲滯曲線

3.2 接觸剛度

遲滯曲線描述了該接觸模型的動(dòng)態(tài)特性，而摩擦阻尼的接觸剛度能直接影響到葉片的振型模態(tài)，進(jìn)一步研究幾何參數(shù)b/R對(duì)接觸剛度的影響，通過計(jì)算得到接觸剛度與正壓力的關(guān)系曲線（如圖10所示）能用來提取切向接觸剛度的準(zhǔn)確值，接觸剛度與正壓力的關(guān)系曲線由式（8）得出，當(dāng)法向加載不變時(shí)，隨著b/R的增大，切向接觸剛度增大。當(dāng)b/R不變時(shí)，隨著法向力的增大，切向接觸剛度逐漸變大。這是因?yàn)榉ㄏ蛄υ龃?，接觸面積變大，所以切向接觸剛度增大。

圖10 接觸剛度-法向力關(guān)系曲線

3.3 能量耗散

摩擦阻尼裝置是通過接觸面上的摩擦力在振動(dòng)過程中不斷耗散能量，來達(dá)到減振的目的，可用單個(gè)振動(dòng)循環(huán)中耗散的能量來評(píng)價(jià)阻尼器的減振效果[15]。Mindlin[16]分析在1個(gè)循環(huán)加載過程中切向力與耗散能的比例，試驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了這個(gè)關(guān)系[17-18]。能量耗散與切向力的關(guān)系曲線能得到摩擦阻尼能量耗散的情況，阻尼器耗散的能量等于遲滯曲線圍成的面積，每個(gè)循環(huán)的耗散能量等于4倍的從零加載到最大所耗散的能量，即

因?yàn)?Tt=μF（x），所以式（10）可以寫為

式中：F（x）為法向分力。

兩接觸物體材料屬性相同，在接觸時(shí)的相對(duì)滑動(dòng)位移為

當(dāng) |x|≤e 時(shí)，s（x）=0，可求得常數(shù)項(xiàng) C1。

對(duì)于初始加載曲線，已知切向力分布T（x）和接觸面的相對(duì)滑動(dòng)幅值s（x），根據(jù)2維接觸模型得到給定d/a條件下，渦輪緣板阻尼結(jié)構(gòu)的能耗曲線，如圖11所示。從圖中可見，當(dāng)d/a一定時(shí)，b/a=0為面線接觸最大能耗曲線，且存在最大能耗點(diǎn)。在文獻(xiàn)[18]給出的不同加載力下，阻尼結(jié)構(gòu)每周期的能耗曲線，將坐標(biāo)歸一化后，如圖12所示。

文獻(xiàn) [18]的能耗曲線基于試驗(yàn)參數(shù)測(cè)定計(jì)算得出，試驗(yàn)接觸為弧面頂輥滑塊與平面滑塊的接觸，平板滑塊夾持于上下弧面頂輥滑塊，法向力與切向力分別加載于弧面頂輥滑塊和平面滑塊，符合驗(yàn)證本文接觸模型能量耗散規(guī)律的試驗(yàn)條件。試驗(yàn)中法向力加載的存在導(dǎo)致接觸幾何參數(shù)的改變，等效為模型參數(shù)b/a的變化，對(duì)比2個(gè)圖可見，二者能耗曲線變化規(guī)律一致。因此該接觸模型能較準(zhǔn)確描述渦輪阻尼塊的摩擦接觸能耗規(guī)律，考慮到具體接觸參數(shù)的差異，僅能從定性角度對(duì)比二者能耗曲線的變化規(guī)律相符，定量研究需進(jìn)一步完善。

圖11 能量耗散曲線

圖12 每周期能量耗散曲線[18]

4 結(jié)論

（1）渦輪緣板阻尼塊接觸面法向力和切向力沿滑移方向面分布規(guī)律相同，最小值和最大值分別出現(xiàn)在接觸中心和滑移邊緣，且接觸滑移總是首先出現(xiàn)在接觸邊緣。

（2）當(dāng)法向加載不變時(shí)，隨著b/R的增大，切向接觸剛度增大。當(dāng)b/R不變時(shí)，隨著法向力的增大，切向接觸剛度逐漸變大。

（3）利用本文接觸模型推導(dǎo)出幾何參數(shù)對(duì)遲滯曲線的影響。當(dāng)b/a=0時(shí)存在最大能耗曲線和對(duì)應(yīng)的最大能耗點(diǎn)，并且隨著b/a的增大，接觸模型逐漸從圓柱面線接觸轉(zhuǎn)化為理想平板接觸，遲滯曲線所圍面積逐漸變小，耗散能量逐漸減小。能耗曲線與相關(guān)文獻(xiàn)能耗曲線變化規(guī)律相符。

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