張茜 周浩 張金鵬 曹有亮

摘要： 針對推力矢量控制的空空導彈敏捷轉彎問題， 根據(jù)推力矢量控制的特點， 建立推力矢量控制力學模型； 由于敏捷轉彎姿態(tài)角變化范圍大， 為避免歐拉角導致的奇異問題， 用四元數(shù)法建立導彈的六自由度運動方程。 以轉彎時間最短為指標， 以推力角為控制量， 以導彈姿態(tài)和速度方向均達到指定角度為終端約束條件， 建立敏捷轉彎最優(yōu)控制問題模型。 以某使用推力矢量控制的空空導彈敏捷轉彎為例， 用偽譜法求解其最短時間內完成轉彎所需的推力矢量控制， 得到滿足約束要求的最優(yōu)彈道和推力角變化規(guī)律。

關鍵詞： 空空導彈； 敏捷轉彎； 推力矢量控制； 六自由度； 偽譜法； 彈道優(yōu)化

中圖分類號： TJ765.3文獻標識碼： A文章編號： 1673-5048（2018）02-0016-05

0引言

在近距格斗中， 導彈可通過越肩發(fā)射技術實現(xiàn)對后方目標的攻擊， 該技術已成為空空導彈的關鍵技術之一。 [1]越肩發(fā)射的導彈首先需要完成敏捷轉彎的過程， 在這一過程中， 導彈會經(jīng)歷大攻角階段， 無法僅依靠氣動力實現(xiàn)轉彎， 一般通過推力矢量控制或反作用噴氣控制產(chǎn)生導彈所需的動力， 使導彈能夠在短時間內轉彎[2]。 其中推力矢量控制已廣泛應用于戰(zhàn)術導彈， 在近距格斗中具有明顯優(yōu)勢[3]， 本文以推力矢量控制的空空導彈為對象， 研究其敏捷轉彎過程的制導與控制問題。

國內外對該問題已有諸多研究， 文獻[4-6]給出了導彈轉彎的最優(yōu)推力矢量控制規(guī)律， 但均是基于三自由度模型進行仿真。 文獻[7]中求解彈道導彈的推力矢量控制律， 用歐拉角表示姿態(tài)動力學方程， 由于歐拉角的奇異問題， 使得該方法只能在有限姿態(tài)變化范圍內應用。 文獻[8]設計了導彈敏捷轉彎的自動駕駛儀， 但未給出最優(yōu)推力矢量控制律。 本文以導彈六自由度模型為基礎， 用偽譜法求解推力矢量控制下的敏捷轉彎最優(yōu)控制， 得到的結果在實際應用中適用性更強。

1推力矢量控制

推力矢量控制（TVC）是一種可以為飛行器提供推力， 同時提供使飛行器轉動的力矩的控制技術， 主要通過控制發(fā)動機主推力與彈體縱軸的夾角來產(chǎn)生控制力矩[9]。 實現(xiàn)推力矢量的機構有許多種， 如可轉動噴管、 燃氣/液體側向噴射、 燃氣片、 燃氣舵等[10]。 其中， 燃氣舵的控制系統(tǒng)結構簡單、 重量尺寸較小， 且技術成熟、 擺動速率高， 相比其他類型的機構， 更適用于空空導彈。

推力矢量控制所產(chǎn)生的力和力矩可以由推力和推力角來表示， 見圖1。 推力可表示為在彈體坐標系下的三個分量（式）， 相應的力矩為

收稿日期： 2017-10-10

基金項目： 航空科學基金項目（20150151002）

作者簡介： 張茜（1993-）， 女， 吉林四平人， 碩士研究生， 研究方向是彈道優(yōu)化設計、 導彈制導與控制。

引用格式： 張茜， 周浩， 張金鵬， 等. 推力矢量控制空空導彈敏捷轉彎彈道優(yōu)化[ J]. 航空兵器， 2018（ 2）： 16-20.

Zhang Qian， Zhou Hao， Zhang Jinpeng， et al. Agile Turn Trajectory Optimization of AirtoAir Missile with Thrust Vector Control [ J]. Aero Weaponry， 2018（ 2）： 16-20.（ in Chinese）

Pxt=Pcosαpcos βp

Pyt=Psinαp

Pzt=Pcosαpsin βp （1）

MP， yt=PcosαpsinαpL

MP， zt=-PsinαpL （2）

式中： αp， βp分別為推力傾角和推力偏角； L為推力作用點到導彈質心的距離； P為主發(fā)動機推力。 需要指出的是， 由于燃料的消耗， 導彈質心的位置會發(fā)生變化， 因此L是隨時間變化的。 在導彈飛行過程中， P大小不變， 方向變化用αp， βp表示。

圖1推力矢量控制

Fig.1Thrust vector control

2導彈六自由度運動方程

六自由度模型需要考慮姿態(tài)角變化， 空空導彈在敏捷轉彎的過程中， 姿態(tài)角變化范圍大， 若用歐拉角表示姿態(tài)運動， 可能會出現(xiàn)奇異現(xiàn)象， 因此須使用四元數(shù)來描述姿態(tài)變化。

2.1質心動力學方程

建立在彈體坐標系的質心動力學方程[11]：

V·xt

V·yt

V·zt=Pxt

Pyt

Pzt+Atq-X

Y

Z+Atd0

-G

0·1m+

ω×Vt （3）

式中： Vxt， Vyt， Vzt， Pxt， Pyt， Pzt為速度和推力在彈體坐標系下的分量； X， Y， Z為氣動力； 氣動力系數(shù)通過文獻[2]中給出的經(jīng)驗公式以及datcom的計算結果求得； Atd為用四元數(shù)表示的地面坐標系到彈體坐標系的轉換矩陣； Atq為用攻角和側滑角表示的氣流坐標系到彈體坐標系的轉換矩陣， 限制攻角和側滑角在轉彎過程中不大于90°， 因此可由下列公式直接求得：

α=-arctanVytVxt （4）

β=arctanVztV （5）

2.2質心運動學方程

質心運動學方程建立在地面坐標系， 因此需要給出速度在地面坐標系下的分量， 通過一次坐標轉換可得：

x·d

y·d

z·d=Vxd

Vyd

Vzd=AdtVxt

Vyt

Vzt （6）

式中： Adt為用四元數(shù)表示的彈體坐標系到地面坐標系的轉換矩陣， 與Atd有如下關系：

Adt=AtTd（7）

2.3姿態(tài)運動方程

航空兵器2018年第2期張茜， 等： 推力矢量控制空空導彈敏捷轉彎彈道優(yōu)化導彈的姿態(tài)動力學方程為

ω·x

ω·y

ω·z=[Mx-（Jz-Jy）ωyωz]/Jx

[My-（Jx-Jz）ωzωx]/Jy

[Mz-（Jy-Jx）ωxωy]/Jz （8）

姿態(tài)運動學方程用四元數(shù)表示：

q·0

q·1

q·2

q·3=120-ωx-ωy-ωz

ωx0ωz-ωy

ωy-ωz0ωx

ωzωy-ωx0q0

q1

q2

q3 （9）

式（9）中積分初值可由四元數(shù)與歐拉角之間的轉換關系確定， 設俯仰角、 偏航角、 滾轉角初始值分別為0， ψ0， γ0， 則四元數(shù)初始值為[12]

q00=cosψ02cos02cosγ02-sinψ02sin02sinγ02

q10=cosψ02cos02sinγ02+sinψ02sin02cosγ02

q20=sinψ02cos02cosγ02+cosψ02sin02sinγ02

q30=cosψ02sin02cosγ02-sinψ02cos02sinγ02 （10）

3基于TVC的敏捷轉彎最優(yōu)控制問題

3.1最優(yōu)控制問題建模

導彈通過轉彎實現(xiàn)對后方目標的攻擊， 為避免目標機動而導致的目標丟失， 導彈須盡快完成敏捷轉彎過程， 因此敏捷轉彎最優(yōu)控制問題就是求得使導彈在最短時間內實現(xiàn)轉彎的推力角變化規(guī)律。

由導彈的六自由度運動方程可知， 敏捷轉彎最優(yōu)控制問題的狀態(tài)量如下： q0， q1， q2， q3； ωx， ωy， ωz； Vxt， Vyt， Vzt； xd， yd， zd。 這13個狀態(tài)量的微分方程可由式（3）、 式（6）、 式（8）和式（10）表示。

對于推力矢量控制的空空導彈， 由于發(fā)動機推力大小不變， 敏捷轉彎的過程通過改變推力角αp， βp實現(xiàn)。 受推力矢量燃氣舵的結構限制， 其產(chǎn)生的推力角不大于9°。 由于推力角較小， 推力在彈體軸向會有較大的分量， 若在初始時刻即開啟發(fā)動機， 在推力作用下， 導彈速度會增大， 不利于減速轉彎。 因此， 考慮將轉彎過程分為兩段： 第一段， 發(fā)動機未開啟， 導彈處于無控狀態(tài)， 在空氣阻力作用下減速； 第二段， 發(fā)動機開啟， 導彈在推力矢量作用下完成轉彎。 設第一段結束時間為t1f， 則控制量αp， βp取值范圍為

αp（t）=0， βp（t）=0， 0≤t

αp（t）≤9°， βp（t）≤9°， t≥t1f （11）

敏捷轉彎的性能指標為轉彎時間最短， 此外， 為使得到的推力角變化平滑， 在性能指標中以推力角變化率的平方和為積分項， 可得性能泛函如下：

J[u（t）]=tf+∫tf0α·2p（t） +β·2p（t）dt （12）

轉彎完成的標志為導彈彈頭指向與速度方向一致， 并均達到指定角度， 即偏航角和俯仰角達到指定角度ψf， f， 攻角和側滑角均達到0°。 姿態(tài)角的終值可由四元數(shù)表示， 攻角和側滑角為0°這一條件可由Vyt， Vzt表示， 由此可得終端約束條件為

2（q1fq2f+q0fq3f）=sinf

-2（q1fq3f-q0fq2f）q20f+q21f-q22f-q23f=tanψf

Vzt（tf）=0 （13）

基于六自由度模型的空空導彈敏捷轉彎最優(yōu)控制問題十分復雜， 用傳統(tǒng)的數(shù)值算法難以求解。 近年來， 偽譜法逐漸發(fā)展成熟， 該方法求解最優(yōu)控制問題精度高、 效率高， 適用于求解復雜的非線性動態(tài)最優(yōu)控制問題[13]。 本文用基于Radau偽譜法的GPOPSⅡ進行仿真計算， Radau偽譜法的配點為LegendreGaussRadau（LGR）點， 在配點處離散得到的非線性規(guī)劃問題的KKT條件與原最優(yōu)控制問題的一階必要條件的離散形式一致， 且Radau偽譜法結構比Gauss偽譜簡單， 收斂速度更快， 在仿真計算中有明顯的優(yōu)勢[14]。

GPOPSⅡ一般包含以下三個函數(shù)： main函數(shù)、 continuous函數(shù)以及endpoint函數(shù)， 根據(jù)推力矢量控制的空空導彈敏捷轉彎最優(yōu)控制問題的數(shù)學模型， 用GPOPSⅡ求解該最優(yōu)控制問題需要輸入以下幾個部分：

（1） 每一段的初始時間和終止時間的上下限；

（2） 各個狀態(tài)量、 控制量在各段的初值、 過程中的值以及終值的上下限；

（3） 導彈敏捷轉彎的運動方程；

（4） 性能指標；

（5） 用狀態(tài)量表示的終端約束條件；

（6） 為保證兩段之間狀態(tài)量是連續(xù)的， 還應給出段與段之間的約束條件， 即第一段狀態(tài)量終值與第二段狀態(tài)量初值之差為0。

其中（1）～（2）在main函數(shù)中給出， （3）在continuous函數(shù)中給出， （4）～（6）在endpoint函數(shù)中給出。

3.2仿真結果

以某使用推力矢量控制的空空導彈為例， 其主要參數(shù)如表1所示[15]。

表1導彈主要參數(shù)

Table 1Main parameters of the missile參數(shù)數(shù)值初始質量/kg75 總長度/m3.02彈徑/m0.127發(fā)動機推力/kN10.98推進劑流量/（kg/s ）4.9 發(fā)動機總工作時間/s4.9

導彈的初始速度為272 m/s， 初始高度為3 000 m， 初始姿態(tài)角均為0°， 導彈需要在最短時間內轉彎至俯仰角/彈道傾角為35°、 偏航角/彈道偏角為-150°。 此外， 要求導彈完成轉彎時的速度不小于204 m/s， 由于約束Vyt和Vzt 的終值為0， 因此在GPOPSⅡ中， 可在main函數(shù)中限制狀態(tài)量Vxt的終值下限為204 m/s。

用偽譜法求得的結果見圖2～9。 導彈在1.10 s時開啟發(fā)動機， 總轉彎時間為3.24 s。 圖2為彈道軌跡； 圖3為導彈速度變化曲線， 導彈在轉彎過程中， 經(jīng)歷了大幅減速的過程， 在2.94 s內， 速度由最初的272 m/s減小到181 m/s， 有利于速度方向的改變， 導彈轉彎結束時速度為204 m/s， 達到了約束要求； 圖4～6分別為俯仰角和彈道傾角、 偏航角和彈道偏角、 攻角和側滑角的變化曲線， 可見， 導彈在轉彎過程中， 導彈姿態(tài)變化比速度方向變化快， 在轉彎后期， 逐漸將姿態(tài)調整至速度方向（即攻角、 側滑角最終為0°）， 導彈在轉彎過程中， 最大攻角約為55°； 圖7為過載變化曲線， 導彈在轉彎過程中， 承受的最大法向過載達到28 g， 可見導彈在轉彎過程中須承受很大過載， 對導彈的結構要求很高。 圖8～9為推力角變化曲線。圖2彈道軌跡

Fig.2Trajectory圖3速度曲線

Fig.3Speed profile圖4俯仰角和彈道傾角曲線

Fig.4Pitch angle profile and trajectory tilt

angle profile 圖5偏航角和彈道偏角曲線

Fig.5Yaw angle profile and trajectory

deflection angle profile圖6攻角和側滑角曲線

Fig.6Angle of attack profile and sideslip

angle profile圖7過載曲線

Fig.7Overload profile圖8推力傾角曲線

Fig.8Thrust tilt angle profile圖9推力偏角曲線

Fig.9Thrust deflection angle profile由仿真結果可見， 導彈在最短時間內完成轉彎， 姿態(tài)和速度方向達到了指定的角度， 求得的推力角的變化平滑， 易于實現(xiàn)。

4結論

本文研究了基于推力矢量控制的空空導彈敏捷轉彎問題， 給出了一種推力矢量控制的力學模型， 并建立了空空導彈的六自由度運動方程。 分析了敏捷轉彎最優(yōu)推力矢量控制問題， 建立最優(yōu)控制模型， 用偽譜法求解導彈在最短時間內轉彎至指定角度的推力角變化規(guī)律。 以導彈轉彎至俯仰角/彈道傾角為35°、 偏航角/彈道偏角為-150°為例進行仿真計算， 仿真結果表明， 基于上述方法建立的模型可以用偽譜法有效求解空空導彈敏捷轉彎最優(yōu)控制問題， 得到滿足要求的最優(yōu)彈道和最優(yōu)推力矢量控制。

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Agile Turn Trajectory Optimization of AirtoAir Missile

with Thrust Vector Control

Zhang Qian1， Zhou Hao1， Zhang Jinpeng2， 3， Cao Youliang2

（1. School of Astronautics， Beihang University， Beijing 100083， China；

2.China Airborne Missile Academy， Luoyang 471009， China；

3.Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Airborne Guided Weapons， Luoyang 471009， China）

Abstract： Aiming at the agile turn of airtoair missile with thrust vector control （TVC）， according to the features of TVC， a mechanical model of TVC is founded. The attitude angles vary in a wide range during agile turn， therefore it is required to establish six degree of freedom dynamics model by quaternion in order to avoid singularity caused by Euler angles. Taking the timeminimal as performance index， the thrust angles as control variables， and the attitude angles and the orientation of the missile velocity as terminal constraints， the model of optimal control problem of agile turn is established. Pseudospectral method is applied to solve the optimal control for agile turn of a missile with TVC， and the optimal trajectory and the changing rule of the thrust angles meeting requirements are obtained.

Key words： airtoair missile； agile turn； thrust vector control（TVC）； six degree of freedom； pseudospectral method； trajectory optimization1Polarization； interference rejection； phased array radar