程景 單傳家 劉繼兵 黃燕霞 劉堂昆

(湖北師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,黃石 435002)

(2017年12月20日收到;2018年3月14日收到修改稿)

1 引 言

量子糾纏是量子力學(xué)最基本的概念,是一種量子關(guān)聯(lián),也是量子物理與經(jīng)典物理最本質(zhì)的區(qū)別,在量子信息中被廣泛地應(yīng)用,例如量子密鑰分配[1]、量子隱形傳態(tài)[2]、量子糾錯[3]和量子網(wǎng)絡(luò)等.目前人們對Tavis-Cummings(T-C)模型進(jìn)行了更廣泛的研究,Bogoliubov等[4]對加入克爾非線性介質(zhì)的T-C模型進(jìn)行了討論;左戰(zhàn)春和夏云杰[5]對T-C模型中三體糾纏態(tài)糾纏量進(jìn)行了討論;郭亮和梁先庭[6]研究了T-C模型中光場和原子以及原子與原子之間的糾纏演化;張國鋒和卜晶晶[7]研究了共振和非共振情況下非簡并雙光子T-C模型中原子與原子之間的糾纏演化.但是,實驗上和理論上證實了量子糾纏不包含所有的量子關(guān)聯(lián).為更加全面地描述量子關(guān)聯(lián),Ollivier和Zurek[8]提出了量子失協(xié)(quantum discord,QD);胡要花等[9]研究了強(qiáng)度相關(guān)耦合雙Jaynes-Cummings(J-C)模型中的糾纏和QD;賀志和李龍武[10]研究了兩能級原子在共同環(huán)境下的量子關(guān)聯(lián)動力學(xué);Ali等[11]發(fā)現(xiàn)糾纏與QD并沒有直接的大小關(guān)系.量子糾纏不完全等同于非經(jīng)典關(guān)聯(lián),有的系統(tǒng)即使量子糾纏等于0,但是仍然存在量子失協(xié),所以QD引起了人們濃厚的興趣.但是僅對于一些特殊的態(tài),才能得到QD的精確解析.為了克服這個問題,Dakic等[12]提出了幾何量子失協(xié)(geometric measure of quantum discord,GQD)的方法,用此方法解析兩體問題相對于QD要簡單很多.樊開明和張國鋒[13]研究了阻尼J-C模型中兩原子的量子關(guān)聯(lián)動力學(xué).對GQD的研究更為廣泛[14?20].單傳家和夏云杰[21]研究了T-C模型中兩原子的糾纏特性,但并未研究該模型中的GQD特性.

在本文中,我們考慮兩個原子初始時刻處于糾纏態(tài),并不忽略原子之間的偶極相互作用,研究GQD的演化規(guī)律及其受初始原子態(tài)、光場數(shù)和偶極-偶極相互作用強(qiáng)度的影響.

2 理論模型

考慮兩個兩能級原子與單模光場的相互作用,其原子間的偶極-偶極相互作用也被考慮在內(nèi).此情況下的系統(tǒng)哈密頓量H為(設(shè)～=1)

其中ω1和ω2為原子的本征躍遷頻率,ω為腔場頻率;a和a+分別是光子的湮滅和產(chǎn)生算符;g為原子與光場間的耦合系數(shù);?為原子間偶極-偶極相互作用強(qiáng)度;σ,σ±1,σ±2為原子的自旋算符.

若|g?和|e?分別是原子的基態(tài)和激發(fā)態(tài),則原子A的贗自旋算符為

原子B的贗自旋算符為

在相互作用繪景中,考慮共振條件(ω=ω1=ω2),(1)式可變?yōu)?/p>

考慮共振情況且g1=g2,假設(shè)初始兩原子處于糾纏態(tài),光場處于粒子數(shù)態(tài),則系統(tǒng)初始狀態(tài)為

所以在任何時刻的態(tài)矢可表示為

將(4),(5)和(6)式代入相互作用繪景的薛定諤方程

通過計算可以得到

式中a=(?? ? ?)/2,b=(?? +?)/2,? =

(6)式對光場求跡, 在原子基|ee?,|eg?,|ge?,|gg?下,約化密度矩陣ρAB(t)為

3 數(shù)值計算和討論

Dakic等[12]提出了GQD,任何一個2 bit的量子態(tài)ρab都有如(10)式所示的Bloch表示:

式中xi=trρ(σi? Ib),yi=trρ(Ia? σi),tij=trρ(σi? σj),x=(x1,x2,x3)T,y=(y1,y2,y3)T是邊緣態(tài)ρa和ρb的Bloch矢量,而T={tij}是兩體量子態(tài)的關(guān)聯(lián)矩陣.ρAB的GQD為

式中Kmax是矩陣K=x xT+TTT的最大本征值,上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置.利用(11)式進(jìn)行數(shù)值計算,通過圖1—圖3展示GQD的演化規(guī)律.

圖1描述的是改變兩原子的初始狀態(tài)時,GQD的演化規(guī)律.當(dāng)θ=π/4,π/2時,GQD隨時間周期性振蕩,但可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)初態(tài)為最大糾纏態(tài)時,初始的GQD最大并隨著時間減小到零后再回復(fù)至最大值;而初態(tài)為分離態(tài)時,GQD從零開始增大,減小到某個值時再增大后繼續(xù)減小到零,但不能達(dá)到最大值.當(dāng)θ=3π/8,5π/8時,初始時刻的GQD是一樣的,但隨著時間推移,圖1(b)中曲線的GQD先減小到零之后恢復(fù)到初始值,而圖1(d)中曲線一直處于失協(xié)狀態(tài)并且GQD的值不會低于初始值.

圖1 當(dāng)g=1,? =1,n=0時GQD隨時間t的演化 (a)θ=π/4;(b)θ=3π/8;(c)θ=π/2;(d)θ=5π/8Fig.1.Geometric quantum discord of two atoms as a function of the time for diff erent initial state(parameters:g=1,? =1,n=0):(a)θ= π/4;(b)θ=3π/8;(c)θ= π/2;(d)θ=5π/8.

圖2 當(dāng)g=1,? =1,n=1時GQD隨時間t的演化 (a)θ=π/4;(b)θ=3π/8;(c)θ=π/2;(d)θ=5π/8Fig.2.Geometric quantum discord of two atoms as a function of the time for diff erent initial state(parameters:g=1,? =1,n=1):(a)θ= π/4;(b)θ=3π/8;(c)θ= π/2;(d)θ=5π/8.

圖2描述的是改變腔場中的光子數(shù),GQD的演化規(guī)律.從圖中我們可以看到改變腔場的光子數(shù)量子GQD也是周期性演化.通過圖1與圖2的對比發(fā)現(xiàn)增加光子數(shù)后,使振蕩周期變大并且長時間處于失協(xié)狀態(tài)[如圖1(c)和圖2(c)所示],也會增強(qiáng)GQD強(qiáng)度,使失協(xié)強(qiáng)度更接近0.5[如圖1(b)和圖2(b)所示].當(dāng)θ=π/4時,增加腔內(nèi)光子數(shù)卻加快了失協(xié)振蕩頻率[如圖1(a)和圖2(a)所示].

圖3 當(dāng)g=1,? =5時GQD隨時間t的演化規(guī)律 (a)n=1,θ= π/4;(b)n=1,θ=3π/8;(c)n=0,θ= π/2;(d)n=0,θ=5π/8Fig.3.Geometric quantum discord of two atoms as a function of the time for diff erent initial state and diff erent Fock state of the fi eld(parameters:g=1,? =5):(a)n=1,θ= π/4;(b)n=1,θ=3π/8;(c)n=0,θ= π/2;(d)n=0,θ=5π/8.

圖3 描述的是改變原子間偶極-偶極相互作用強(qiáng)度,腔中兩原子的GQD的演化規(guī)律.對比圖3與圖2可以發(fā)現(xiàn),增強(qiáng)偶極-偶極相互作用強(qiáng)度,GQD也是周期性振蕩并使兩原子一直處于失協(xié)狀態(tài)[如圖3(a)和圖2(a)所示].當(dāng)初態(tài)不為最大糾纏態(tài)時,增大偶極-偶極相互作用的強(qiáng)度,可以增大GQD并且可以增大振蕩周期[如圖3(b)和圖2(b),圖3(d)和圖1(d)所示].并且發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象是,當(dāng)θ=3π/8時,增大偶極-偶極相互作用強(qiáng)度,進(jìn)入腔后,GQD的值先增大,再減小,這與增加腔內(nèi)光子數(shù)的情況有所不同.

4 結(jié) 論

通過改變兩原子初始狀態(tài)、腔內(nèi)光子數(shù)和偶極-偶極相互作用強(qiáng)度,研究了T-C模型中的GQD特性.結(jié)果表明:選取適當(dāng)?shù)某鯌B(tài)可以使兩原子一直處于失協(xié)狀態(tài),同時發(fā)現(xiàn)適當(dāng)?shù)卦鰪?qiáng)偶極-偶極相互作用強(qiáng)度可以使兩原子一直處于失協(xié)狀態(tài).增加腔內(nèi)光子數(shù)或增強(qiáng)偶極-偶極相互作用強(qiáng)度都可以使GQD有略微的增大.本文的研究結(jié)果對量子糾纏態(tài)制備、QD的操控有一定的指導(dǎo)意義.

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