李忠海，宋智欽，王崇瑤

(沈陽航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，遼寧 沈陽 110136)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分可以使圖像的高頻變化特性信息清晰展現(xiàn)的同時，還能非線性地保留具有中、低頻變化特性的信息，這個優(yōu)勢逐漸成為眾多學(xué)者的研究熱點(diǎn)[1-4]。Mekideche等[5]提出了FIM算法，該算法引入了分?jǐn)?shù)階積分掩模，且縮減運(yùn)算時間；甘志鳳等[6]根據(jù)數(shù)字圖像的自相關(guān)性對R-L分?jǐn)?shù)階微分中常數(shù)分?jǐn)?shù)階微分不為0的情況進(jìn)行改進(jìn)；勾榮等[7]在改進(jìn)分?jǐn)?shù)階微分G-L定義的基礎(chǔ)上，提出了5×5的分?jǐn)?shù)階微分算子；何春等[8]利用分?jǐn)?shù)階微分和積分組成的復(fù)合導(dǎo)數(shù)提出了一種基于復(fù)合導(dǎo)數(shù)的邊緣檢測算子；田丹等[9]將分?jǐn)?shù)階微分與Sobel算子結(jié)合起來，構(gòu)建了一個分?jǐn)?shù)階權(quán)矩陣Sobel算子；蔣偉等[10]將分?jǐn)?shù)階微分理論與Sobel算子相結(jié)合，提出了一種基于分?jǐn)?shù)階微分的Sobel算子。雖然分?jǐn)?shù)階微分在圖像處理中的應(yīng)用越來越多，但如何準(zhǔn)確有效的將圖像邊緣的各種細(xì)節(jié)信息充分提取且又清晰展現(xiàn)的研究少之又少。

本文將G-L(Grünwald-Letnikov)分?jǐn)?shù)階微分、泰勒公式和二維整數(shù)階微分相結(jié)合，推出了二維分?jǐn)?shù)階泰勒級數(shù)函數(shù)式；之后推算出分?jǐn)?shù)階微分的方向系數(shù)，并將此與Sobel算子相結(jié)合，從而構(gòu)建二維分?jǐn)?shù)階泰勒級數(shù)Sobel算子。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算子充分利用所檢測像素點(diǎn)的鄰近像素信息，能夠?qū)D像邊緣中豐富的紋理細(xì)節(jié)充分提取，并獲得一定的增強(qiáng)效果。

1 圖像分?jǐn)?shù)階微分特性的信號處理分析

1.1 分?jǐn)?shù)階微分階次的確定

對平方可積信號f(t)∈L2(R)，其任意分?jǐn)?shù)階微分Dαf(r)頻域形式可表示為

(1)

(2)

通過上面分?jǐn)?shù)階從時域向頻域的推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階的作用是對信號的相位進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，由式(1)和式(2)可繪制出分?jǐn)?shù)階微分各階次的幅頻特性曲線，如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階微分對信號的幅頻特性曲線

從圖1中可看出[11]：分?jǐn)?shù)階微分的階次范圍在α∈(0,1)時，對于低頻信號有較大程度的非線性保留，對于中頻信號有較大幅度的增強(qiáng)，對于高頻信號也有較大程度的提升。由此對于邊緣細(xì)節(jié)信息較豐富的圖像在α∈(0,1)內(nèi)的分?jǐn)?shù)階微分階次能夠較大程度地檢測圖像感興趣區(qū)域的邊緣，使感興趣區(qū)域的紋理細(xì)節(jié)信息較大程度的保留。

1.2 二維分?jǐn)?shù)階微分用于圖像邊緣提取的分析

圖像一般被認(rèn)為是信號在圖像域中的另一種體現(xiàn)形式，因此分?jǐn)?shù)階微分算子也能運(yùn)用于圖像領(lǐng)域。邊緣檢測在現(xiàn)實(shí)情況下主要是計(jì)算像素的梯度變化程度。然而，整數(shù)階微分算子檢測邊緣時，極容易受到梯度變化程度的影響[12]：梯度變化程度較大的邊緣用整數(shù)階微分算子檢測就可以獲得較好的效果；若是梯度變化程度小到已經(jīng)無法體現(xiàn)其變化規(guī)律時，則整數(shù)階微分算子往往就無能為力了。然而通過大量的研究發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階微分算子對圖像具有低頻、甚低頻變化特性的信息有非線性增強(qiáng)的效果。不同區(qū)間的分?jǐn)?shù)階微分算子具有不同的作用，就如0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子[13]：由圖1觀察便知：0～1階分?jǐn)?shù)階微分算子在非線性增強(qiáng)信號中具有低頻以及甚低頻變化特性的信息的同時較為完整地保留了信號中的高頻變化特性的信息。

2 二維分?jǐn)?shù)階微分泰勒級數(shù)函數(shù)式提出

2.1 二維函數(shù)的泰勒公式

文獻(xiàn)[14]推導(dǎo)出二元泰勒級數(shù)展開式，而本文在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推出二元函數(shù)的泰勒公式，推導(dǎo)過程如下：

令函數(shù)f在鄰域U(P)內(nèi)有連續(xù)的k+1階偏導(dǎo)，則

(3)

并且，n=1,2,…，k,k+1。令x=lcosα，y=lsinα，α是l與x軸正方向的夾角；則函數(shù)f的泰勒公式可以表示為

(4)

其中，η是在x0與x之間,ξ在y0與y之間。式(4)就是函數(shù)z在l方向的二維函數(shù)泰勒公式的展開式。

2.2 二維分?jǐn)?shù)階微分泰勒級數(shù)函數(shù)式

由文獻(xiàn)[15]可知Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微分可定義

(5)

將Grünwald-Letnikov定義數(shù)值離散化可得到

(6)

(7)

由式(7)和分?jǐn)?shù)階微分的定義可構(gòu)造出分?jǐn)?shù)階微分公式，所構(gòu)造公式如下

(8)

其中，η是在x0與x之間,ξ在y0與y之間。

3 二維分?jǐn)?shù)階方向系數(shù)的構(gòu)建

由于數(shù)字圖像處理領(lǐng)域中的圖像是由一系列離散的像素點(diǎn)所組成，那么在本文中分別令Δx=1,Δy=1。以第一象限為例，則4個偏微分分別表示為

則由式(8)可以推得

(9)

通過對式(9)的計(jì)算可以分別算得0°、90°、180°、270°方向系數(shù)，如下

(10)

(11)

(12)

(13)

4 新Sobel算子的提出

根據(jù)上面所算各方向系數(shù)定義新的Sobel算子模板梯度如下

由此得到灰度圖像U(x,y)在位置(x,y)處的分?jǐn)?shù)階梯度為

其中，×表示乘積，*表示卷積。

分別將Sobel算子水平方向和垂直方向梯度算子和方向系數(shù)W做乘積運(yùn)算，形成一個全新的分?jǐn)?shù)階Sobel算子模板。這種Sobel算子即具有分?jǐn)?shù)階微分全局性的幾何特征又具有整數(shù)階Sobel算子計(jì)算簡單且分割速度快的特點(diǎn)，使圖像強(qiáng)化了感興趣區(qū)域的邊緣特征，能夠更多地提取圖像的細(xì)節(jié)信息。

5 算法流程

對于灰度圖像U(x,y)，利用構(gòu)造的0～1階二維分?jǐn)?shù)階泰勒級數(shù)權(quán)向量濾波的Sobel算子對圖像進(jìn)行邊緣檢測的算法流程如下：

步驟1 構(gòu)建二維分?jǐn)?shù)階微分泰勒級數(shù)函數(shù)式；

步驟3 推出二維分?jǐn)?shù)階方向系數(shù)W1、W2、W3、W4；

步驟6 計(jì)算分?jǐn)?shù)階梯度幅值

(14)

而

(15)

步驟7 選取分割閾值T：閾值T的選取基于梯度設(shè)定邊緣點(diǎn)檢測的閾值。設(shè)灰度圖像U(x,y)的圖像大小為M×N，則二值化的邊緣圖像u(x,y)為

(16)

閾值T為

(17)

這里，ξ≥1是一個敏感因子，則當(dāng)DαU>T時，像素點(diǎn)被標(biāo)記為邊緣點(diǎn)。

由算法流程可知，在利用本算法進(jìn)行邊緣檢測時，分?jǐn)?shù)階微分階次α和敏感因子ξ的取值決定了邊緣檢測的效果。因此，要根據(jù)具體的待檢測圖像合理選取分?jǐn)?shù)階微分階次α和敏感因子ξ。實(shí)驗(yàn)中可以先對分?jǐn)?shù)階微分階次α和敏感因子ξ賦予一個適當(dāng)?shù)闹?，觀察所得結(jié)果是否滿意，若不滿意則可將分?jǐn)?shù)階微分階次α和敏感因子ξ作適當(dāng)修改，直到邊緣檢測效果最佳時為止。

6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證權(quán)矩陣濾波的Sobel邊緣檢測算子性能，分別設(shè)計(jì)了3個實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)一確定敏感因子ξ與分?jǐn)?shù)階微分階次α的最佳值；實(shí)驗(yàn)二是檢驗(yàn)通過邊緣檢測后的圖片的抗噪能力；實(shí)驗(yàn)三通過本文算法(參數(shù)處于最佳值狀態(tài))對目標(biāo)圖像進(jìn)行處理，與Sobel、文獻(xiàn)[8,10,13]邊緣檢測算子進(jìn)行對比。

本文實(shí)驗(yàn)的操作平臺系統(tǒng)為Windows 7.0，程序編寫使用Matlab R2012a。

6.1 算法最佳參數(shù)的選取

實(shí)驗(yàn)一主要通過本文所提出的邊緣檢測算子對目標(biāo)圖像(cameraman圖)進(jìn)行處理，并分為兩個小實(shí)驗(yàn)逐次進(jìn)行，第一個實(shí)驗(yàn)任意選取參數(shù)ξ，選取分?jǐn)?shù)階微分不同的階次α對圖像進(jìn)行邊緣檢測，根據(jù)圖像邊緣信息的結(jié)果確定最佳的分?jǐn)?shù)階微分階次α；另一組實(shí)驗(yàn)利用確定的最佳分?jǐn)?shù)階微分階次α，選取不同的敏感因子ξ對圖像進(jìn)行邊緣檢測，根據(jù)圖像邊緣信息的結(jié)果確定最佳的敏感因子ξ。

第一組實(shí)驗(yàn)選定敏感因子ξ=2，通過選用不同的分?jǐn)?shù)階微分階次α(0<α<1)對cameraman圖進(jìn)行邊緣檢測，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 取定敏感因子ξ=1時本文算法(分?jǐn)?shù)階階數(shù)為不同數(shù)值)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

目標(biāo)圖像紋理信息豐富，由實(shí)驗(yàn)結(jié)果(即圖2)便知：當(dāng)選用的分?jǐn)?shù)階微分階次在α∈(0,1)之間時，所獲得感興趣區(qū)域的全局輪廓基本上能以完整的幾何邊界展現(xiàn)出來；同時本文算法不僅能保留邊緣的豐富的紋理信息，還能較為清晰的展現(xiàn)。由此在分?jǐn)?shù)階微分階次α∈(0,1)之間任取一值α=0.9作為分?jǐn)?shù)階微分階次的最佳值。

第二組實(shí)驗(yàn)選定分?jǐn)?shù)階微分階次α=0.9，通過選用不同的敏感因子ξ(ξ≥1)對cameraman圖進(jìn)行邊緣檢測，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3 微分階次α=0.9時不同預(yù)設(shè)參數(shù)的邊緣檢測結(jié)果

從圖3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：當(dāng)1≤ξ≤1.8時，隨著參數(shù)ξ值的依次增大，邊緣紋理細(xì)節(jié)信息越來越豐富，且噪聲對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響程度逐漸減弱；當(dāng)ξ≥1.8時，實(shí)驗(yàn)效果隨著敏感因子ξ的增加而逐漸變差，雖然說濾波效果得到了更好的體現(xiàn)，但是感興趣區(qū)域信息也隨之出現(xiàn)缺失。由此便知：ξ=1.8能使目標(biāo)圖像的實(shí)驗(yàn)效果達(dá)到最好狀態(tài)，可定為最佳參數(shù)。

由實(shí)驗(yàn)一可知：本文算法不僅能檢測出更豐富的圖像邊緣紋理細(xì)節(jié)信息，還能在極大程度上削弱噪聲的影響。此外還發(fā)現(xiàn)，不同數(shù)值的參數(shù)ξ所獲取的實(shí)驗(yàn)結(jié)果差異程度非常大；因此，構(gòu)造本文算法的模板時需選取合適數(shù)值的參數(shù)ξ。

6.2 本文算法抗干擾能力的檢測

為了充分說明本文所構(gòu)建模板能極大地削弱噪聲的影響，將本文算法(參數(shù)處于最佳狀態(tài)，即α=0.9，ξ=1.8)對噪聲污染程度不同的目標(biāo)圖像進(jìn)行處理，并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果差異性進(jìn)行著重分析。實(shí)驗(yàn)中目標(biāo)圖像噪聲污染程度的不同是通過對高斯白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ的賦值所體現(xiàn)的。實(shí)驗(yàn)對象是flower圖。不同噪聲水平的圖像邊緣檢測實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 含噪聲目標(biāo)圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

由前文分析便知，本文算子對高頻信號具有一定的壓縮功能；高頻信息一般在圖像中以噪聲的形式展示。因此，本文算子能削弱噪聲對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。同時對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析研究可知：隨著σ的增大，噪聲對原圖像的影響越來越大，但本文算子所得的邊緣依然清晰可見。

為了充分說明本文算子的抗噪能力優(yōu)于傳統(tǒng)微分算子，本文選用Sobel算子、Canny算子、傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階微分算子、本文算子對flower圖(噪聲σ=0.05)進(jìn)行邊緣檢測，并計(jì)算檢測結(jié)果的psnr值，從表1中可以明確地發(fā)現(xiàn)，本文算子較其它算子在提取噪聲圖像邊緣的同時能保持比較高的psnr值。故本文算子由于二維分?jǐn)?shù)階微分算子對整數(shù)階Sobel算子的濾波，在一定程度上消除噪聲對圖像邊緣的影響。

表1 噪聲圖像邊緣檢測的psnr值

6.3 與現(xiàn)有的邊緣檢測算子的比較

為了充分說明本文算法優(yōu)異的性能，即目標(biāo)圖像經(jīng)本文模板處理能獲得豐富的紋理細(xì)節(jié)。目標(biāo)圖像為house圖，分別將Sobel、文獻(xiàn)[8,10,13]邊緣檢測算子和本文算子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，使用最佳閾值處理。本文算子實(shí)驗(yàn)參數(shù)選用實(shí)驗(yàn)1的最佳參數(shù)，結(jié)果如圖5所示。

圖5 本文算子與常用算子的對比

由圖5的分析可知，Sobel算子所檢測的邊緣不清晰明亮，且出現(xiàn)了一定的斷點(diǎn)、信息泄露等情況。分?jǐn)?shù)階微分算子能夠非線性的保留中、低頻變化特性的邊緣細(xì)節(jié)，這就導(dǎo)致圖中出現(xiàn)大量的噪聲；然而當(dāng)目標(biāo)物與背景之間的像素梯度變化非常微小的時候，傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分算子也會無能為力，為此才會導(dǎo)致邊緣出現(xiàn)些微的斷點(diǎn)等現(xiàn)象；就如文獻(xiàn)[8,10,13]所獲得最佳實(shí)驗(yàn)結(jié)果。并且分?jǐn)?shù)階模板對圖像中低頻信息具有一定加強(qiáng)作用，會保留豐富的紋理細(xì)節(jié)；就如獻(xiàn)[8,10,13]的微分算子所檢測的邊緣出現(xiàn)了許多噪聲點(diǎn)。而本文算子能充分的檢測圖像中低頻變化特性細(xì)節(jié)，還由于與Sobel算子的結(jié)合還能平滑噪聲。

為了充分說明本文算子復(fù)雜度較其它算子低，本文利用flower圖和house圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，將本文算子與檢測精度較好的Sobel算子、文獻(xiàn)[8,10,13]的算子進(jìn)行比較。同時，各算子均采用最優(yōu)參數(shù)，然后分別計(jì)算各算法在最優(yōu)參數(shù)下對兩個目標(biāo)圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)所需的時間。并將100次不間斷實(shí)驗(yàn)所得的總時間除以100獲得的數(shù)據(jù)便是上文的所需時間。見表2。

表2 邊緣提取的耗時對比

7 結(jié)束語

根據(jù)分?jǐn)?shù)階微分Grunwald-Letnikov定義理論，本文所提出改進(jìn)后的Sobel算子能在一定程度上加強(qiáng)圖像中的低頻信息的同時還能較為完整的保存圖像的中頻信息。并通過本文所做的實(shí)驗(yàn)分析可知：①本文算法能在極大程度上削弱噪聲對圖像的影響；②本文算法所獲得的邊緣紋理豐富；③本文算法運(yùn)行時間大大縮短。

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