高成

摘要：本文闡述一種基于matlab的GMRES實(shí)現(xiàn)方法，主要針對于大規(guī)?？鐓^(qū)域電力系統(tǒng)分析中潮流計(jì)算的修正方程，在求解這個(gè)高維數(shù)超稀疏的線性方程組中避免了采用直接法進(jìn)行求解，滿足大型電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的需要。該方法采用基于Krylov子空間的Arnoldi過程生成單位正交化基 和系數(shù)矩陣 ，然后采用基于Given變換的回代法求解最小二乘問題求解 向量，結(jié)合重啟動技術(shù)，極大地提高計(jì)算的效率和收斂性。該方法具有算法穩(wěn)定、簡單及通用性強(qiáng)等特點(diǎn)，能夠?yàn)楹罄m(xù)電力工作者應(yīng)用于潮流計(jì)算和電力系統(tǒng)分析中進(jìn)一步擴(kuò)展應(yīng)用。算例結(jié)果驗(yàn)證文中實(shí)現(xiàn)的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞：Matlab GMRES方法 潮流計(jì)算 修正方程 大型稀疏線性方程組

引言

所謂電力系統(tǒng)潮流，是指系統(tǒng)中所有運(yùn)行參數(shù)的總體，包括各個(gè)母線電壓的大小和相位、各個(gè)發(fā)電機(jī)和負(fù)荷的功率及電流，以及各個(gè)變壓器和線路等元件所通過的功率、電流和其損耗。潮流問題是電力系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)和核心。隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，電力工業(yè)發(fā)展很快，而且向著大電網(wǎng)、智能化的方向發(fā)展，根據(jù)我國制定“西電東送、南北互供、全國聯(lián)網(wǎng)”的戰(zhàn)略構(gòu)想，已基本上實(shí)現(xiàn)除西藏、新疆、海南、臺灣外全國聯(lián)網(wǎng)。

Krylov子空間法是二十世紀(jì)十大算法之一，具有存儲量少，計(jì)算量小且易于并行等優(yōu)點(diǎn)，非常適合并行求解高維稀疏線性方程組。根據(jù)不同的極小化方法Krylov子空間法主要有CG（Conjugate Gradient）法、MINRES（Minimal Residual）法、GMRES 法（Generalised Minimal Residual）、BiCG 法（Bi-Conjugate Gradient）、CGS法（Conjugate Gradient Squared）。其中，GMRES適合于求解大型非對稱線性方程組，結(jié)合預(yù)條件處理技術(shù)的GMRES法具有良好的收斂特性和較高的數(shù)值穩(wěn)定性，同時(shí)采用重啟動技術(shù)可以有效的降低對內(nèi)存占有的需求。

本文基于matlab對GMRES方法進(jìn)行研究實(shí)現(xiàn)，并將其應(yīng)用在牛頓拉夫遜法潮流計(jì)算的修正方程中，對于求解修正方程的要求可以歸納如下：①計(jì)算方法的可靠性和收斂性；②計(jì)算結(jié)果的精度；③對計(jì)算機(jī)內(nèi)存量的要求。該方法采用基于Krylov子空間的Arnoldi過程生成單位正交基 和系數(shù)矩陣 ，然后采用基于Given變換的回代法求解最小二乘問題求得 向量，結(jié)合重啟動技術(shù)，極大地提高計(jì)算的效率和收斂性。

1 GMRES原理

GMRES是求解高維稀疏線性代數(shù)方程組有效的迭代方法，早在上世紀(jì)五、六十年代提出，但是當(dāng)時(shí)及以后的一段時(shí)間卻很少運(yùn)用于實(shí)際工程計(jì)算中，近年來才引起學(xué)者和工程師們的廣泛關(guān)注和研究。

1.1 基于Krylov子空間的GMRES（m）

對于電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的修正方程可以寫成公式1的形式，其中 的階數(shù)是 ，當(dāng)電力系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)數(shù) 很大時(shí)，公式1將是一個(gè)高階稀疏線性代數(shù)方程組。

公式1

設(shè)初值為 ，則初始?xì)埩繛?，根據(jù)其投影原理可以尋找 使殘量 最小，通過Arnoldi過程構(gòu)造Krylov子空間 ，生成單位正交化基 和系數(shù)矩陣 ，求解步驟如下：

其中，由于GMRES迭代次數(shù)太多，會占用大量的存儲空間，往往需要加入重啟動過程，超過最大迭代次數(shù)m，則進(jìn)行重啟動過程，進(jìn)入算法步驟14重新計(jì)算。

1.2 最小二乘問題

其第i行、i+1行和第i列、i+1列的4個(gè)元素為旋轉(zhuǎn)因子，定義為：

2 GMRES實(shí)現(xiàn)方法

2 數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文GMRES算法的有效性，采用IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行潮流計(jì)算驗(yàn)證，通過實(shí)例運(yùn)行和MATLAB軟件中的gmres軟件包進(jìn)行比較，并進(jìn)行多次運(yùn)算，其中，仿真中取容許誤差為 ，重啟動 ，為了方便對比，計(jì)算機(jī)和潮流計(jì)算程序的其他參數(shù)是一樣的，本實(shí)驗(yàn)采用Intel i5-2320處理器3.00GHz主頻，2.91GB，2.99Hz的內(nèi)存，采用牛頓拉夫遜法進(jìn)行潮流計(jì)算，結(jié)果證明本文算法更加適用于電力系統(tǒng)的潮流計(jì)算。

3 總結(jié)

本文從大規(guī)模跨區(qū)域電力系統(tǒng)分析中潮流計(jì)算中修正方程求解的實(shí)際問題出發(fā)，針對在求解這個(gè)高維數(shù)超稀疏的線性方程組中傳統(tǒng)方法比較困難，對計(jì)算機(jī)配置要求較高，闡述一種基于matlab的GMRES實(shí)現(xiàn)方法，該方法采用基于Krylov子空間的Arnoldi過程生成單位正交化基 和系數(shù)矩陣 ，然后采用基于Given變換的回代法求解最小二乘問題求解 向量，結(jié)合重啟動技術(shù)，極大地提高計(jì)算的效率和收斂性。結(jié)合IEEE118節(jié)點(diǎn)算例驗(yàn)證，

該方法具有算法穩(wěn)定、簡單及通用性強(qiáng)等特點(diǎn)，能夠?yàn)楹罄m(xù)電力工作者直接應(yīng)用于潮流計(jì)算和電力系統(tǒng)分析中。

參考文獻(xiàn)

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作者簡介：高 成（1988-），男，通信作者，四川樂山人，碩士，主要從事電力系統(tǒng)分析研究。

（作者單位：國網(wǎng)樂山供電公司）