陳愛臣

(常熟外國語學(xué)校 江蘇 蘇州 215500)

1 問題的提出

從最近幾年的江蘇物理高考卷來看，每年基本都會出現(xiàn)關(guān)于點(diǎn)電荷或者帶電小球電場強(qiáng)度、電勢能、電勢等電場方面的問題，其意在考查學(xué)生對電場方面相關(guān)知識點(diǎn)的理解是否到位，以及能否靈活地運(yùn)用到具體題目當(dāng)中.前幾年(2016年、2015年、2013年)的考題都是直接給出帶電體的電場線分布圖，然后讓學(xué)生根據(jù)電場線分布判斷下列說法哪些是正確的.基于此，學(xué)生可以運(yùn)用以下3個(gè)知識點(diǎn)來解答此類問題：

(1)根據(jù)電場線的疏密程度來判斷電場強(qiáng)度的大小.

(2)沿著電場線方向，電勢逐漸降低.

(3)根據(jù)電場力做功情況來判斷電勢能變化的情況.

但是，2017年高考江蘇物理卷有一道關(guān)于電場的試題卻考出了新的高度，其給出兩個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電勢φ在x軸上的分布情況，然后讓學(xué)生根據(jù)電勢分布判斷出兩個(gè)點(diǎn)電荷所帶電荷量的正負(fù)情況，以及一些關(guān)于電場強(qiáng)度、電勢能和電場力做功的問題.高中階段的學(xué)生大多數(shù)能夠掌握點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度的計(jì)算公式

(1)

但是對于電勢是如何分布的則相對比較模糊，只有一些定性的了解，如：一般規(guī)定無窮遠(yuǎn)處電勢為零，而且沿著電場線方向，電勢逐漸降低，那么正電荷附近的電勢均為正的，負(fù)電荷附近的電勢均為負(fù)的.所以學(xué)生想做對這道題不是很容易，盡管有的學(xué)生分析能力比較強(qiáng)，也可以得出此題的正確答案，但對于到底是怎樣的兩個(gè)點(diǎn)電荷以及它們?nèi)绾畏胖貌拍苄纬深}中所給出的電勢分布情況，仍然不是很清楚.所以筆者覺得此題有必要繼續(xù)分析下去，這樣有助于加強(qiáng)學(xué)生對于點(diǎn)電荷電勢問題的進(jìn)一步理解.

2 原題及解析

【題目】(2017年高考江蘇物理卷第8題)在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)電荷q1，q2，其靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖1所示.下列說法正確的有( )

A.q1和q2帶有異種電荷

B.x1處的電場強(qiáng)度為零

C.負(fù)電荷從x1移到x2，電勢能減小

D.負(fù)電荷從x1移到x2，受到的電場力增大

圖1 原題題圖

解析：關(guān)于點(diǎn)電荷，學(xué)生們并不陌生，他們頭腦中立刻可以想到如圖2所示的模型，一般規(guī)定無窮遠(yuǎn)處電勢為零，且沿著電場線方向，電勢逐漸降低，那么正電荷附近的電勢為正的，負(fù)電荷附近的電勢為負(fù)的，從題目圖中可以看出，電勢有正有負(fù)，所以q1和q2帶有異種電荷，A正確.至于電場強(qiáng)度和電勢之間的具體關(guān)系，高中并未涉及，學(xué)生能想到勻強(qiáng)電場中的電場強(qiáng)度和電勢存在U=Ed的關(guān)系，然后兩邊取微小變化量ΔU=EΔd(當(dāng)Δd很小時(shí)，在這一段距離內(nèi)電場也可以看成是勻強(qiáng)電場)，所以電勢曲線斜率的大小代表電場強(qiáng)度的大小，故B和D可以判斷出來都是錯(cuò)誤.選項(xiàng)，可用電場力做功來判斷W=-q(φx1-φx2)，因?yàn)棣誼1-φx2<0，故W>0，即電場力做正功，電勢能減小，C正確.

圖2 點(diǎn)電荷的電場

到此，題目已經(jīng)解答完畢，但對于到底是怎樣的兩個(gè)點(diǎn)電荷以及它們?nèi)绾畏胖貌拍苄纬深}中所給出的電勢分布情況，仍然不是很清楚，帶著這些疑問，筆者又進(jìn)行了以下分析.

3 對原題電勢分布的分析與討論

根據(jù)人教版教材《物理·選修3-1》上對電勢的定義為：電荷在電場中某一點(diǎn)的電勢能與它的電荷量的比值，叫做這一點(diǎn)的電勢[1]

(2)

即圖3(c)陰影部分的面積.這也是積分中無限分割再求和的思想，高中階段學(xué)生學(xué)過的微元法其實(shí)就是積分的思想，這里不過多講解如何積分，直接給出結(jié)果，即

解得

正點(diǎn)電荷Q+在x軸r處的電勢為

(3)

圖3 點(diǎn)電荷的電勢及電場力做功

同理，負(fù)電荷的電勢也可以得出，其表達(dá)式為

(4)

從式(3)和式(4)可以看出點(diǎn)電荷在x軸上的電勢與距離成反比例函數(shù)的關(guān)系，如圖4所示.

圖4 點(diǎn)電荷的電勢分布

從2017年高考江蘇物理卷多選題第8題所給的電勢分布圖可以判斷出負(fù)電荷一定處于x軸原點(diǎn)或原點(diǎn)附近，因?yàn)橹挥性跓o限靠近負(fù)電荷時(shí)電勢才會趨于負(fù)無窮.為了方便，這里假設(shè)其處于x軸原點(diǎn)處.由于這里只考慮q1和q2兩個(gè)點(diǎn)電荷在x軸上的電勢分布，那么正電荷只能處于負(fù)電荷的左右兩端.首先，我們假設(shè)正電荷在距離負(fù)電荷右端d處，由于電勢是標(biāo)量，可以直接相加減[2]，x軸上總的電勢表達(dá)式可以寫成

(5)

由此，就會發(fā)現(xiàn)φ總是關(guān)于x的函數(shù)，同時(shí)還與正負(fù)電荷所帶的電荷量有關(guān).這里對其進(jìn)行分類討論，并運(yùn)用Mathematica編程軟件大致描繪出φ總在x軸上的分布.

(1)當(dāng)|Q-|≥|Q+|時(shí)，其φ總大致曲線如圖5所示.

圖5 |Q-|≥|Q+|時(shí)φ總的分布曲線

(2)當(dāng)|Q-|<|Q+|時(shí)，其φ總大致曲線如圖6所示.

圖6 |Q-|<|Q+|時(shí)φ總的分布曲線

同理，當(dāng)正電荷在距離負(fù)電荷左端d處，x軸上總的電勢表達(dá)式可以寫成

(6)

(3)當(dāng)|Q-|≥|Q+|時(shí)，其φ總大致曲線如圖7所示.

圖7 |Q-|≥|Q+|時(shí)φ總的分布曲線

(4)當(dāng)|Q-|<|Q+|時(shí)，其φ總大致曲線如圖8所示.

圖8 |Q-|<|Q+|時(shí)φ總的分布曲線

至此，發(fā)現(xiàn)只有圖8中x軸正半軸的電勢曲線與2017年高考江蘇物理卷多選題第8題所給的電勢分布圖相似.由此可以判斷出，高考題中負(fù)電荷大致處于原點(diǎn)處，而正電荷處于其左端，且正電荷所帶的電荷量大于負(fù)電荷，即|Q-|<|Q+|.更進(jìn)一步，甚至可以求出題中x1和x2的具體坐標(biāo)，只看式(6)中x>0部分，令

可以解得

求出φ總對于x的導(dǎo)數(shù)并令其等于零可以解得x2的具體坐標(biāo)，即

總結(jié)：到這里，這道關(guān)于點(diǎn)電荷電勢的高考題顯得更加地清晰，電荷位置如何擺放，帶電荷量的多少都可以判斷出來.如果學(xué)生能夠掌握文中點(diǎn)電荷電勢分布的表達(dá)式，并且靈活地運(yùn)用到具體題目中，相信對于電勢這一高考熱點(diǎn)問題會有更加深刻的理解.

參 考 文 獻(xiàn)

1 人民教育出版社.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理選修3-1.北京：人民教育出版社，2004.17～18

2 趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)(第2版).北京：高等教育出版社，2002.76～89