郭海峰，魯寧波

(沈陽理工大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，沈陽 110159)

由于移動(dòng)機(jī)器人在深空探測、安全與搜救、采礦、農(nóng)業(yè)、林業(yè)、物流以及軍事等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景，近年來已經(jīng)發(fā)展成為研究的熱點(diǎn)[1-7]。在移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤的理論研究中，一般假設(shè)輪子與地面間只發(fā)生純滾動(dòng)無側(cè)向和縱向滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)，這種理想假設(shè)使輪式移動(dòng)機(jī)器人成為一種典型的多輸入多輸出的非完整約束動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。另外在工程實(shí)踐中，移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制問題存在大量的不確定性，如由于負(fù)載變化導(dǎo)致機(jī)器人平臺(tái)的質(zhì)量及慣性參數(shù)的不確定、因磨損等導(dǎo)致機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定以及外部干擾的不確定性等，這使得非完整機(jī)器人系統(tǒng)是一類高度非線性、強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)、時(shí)變的動(dòng)力學(xué)不確定系統(tǒng)，難以找到一種通用的、效果較好的控制方法實(shí)現(xiàn)其運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤控制。目前的研究主要有自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能控制方法[1-7]，雖然在特定情況下取得較好的控制效果，但各種方法都有其局限性，如自適應(yīng)控制具有固定的結(jié)構(gòu)和可變的參數(shù)，對(duì)結(jié)構(gòu)不確定性有較好的適應(yīng)能力,但卻無法解決非結(jié)構(gòu)不確定性問題[1]。處理這種具有外部干擾條件和內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)的復(fù)雜不確定非線性的非完整機(jī)器人系統(tǒng)，魯棒H∞控制理論具有一定的優(yōu)勢。而非線性系統(tǒng)的控制問題很多時(shí)候可以轉(zhuǎn)化為變增益控制問題，這種方法在航空航天領(lǐng)域已經(jīng)得到應(yīng)用[8-9]。此方法首先設(shè)計(jì)局部控制器,然后在已有局部控制器的基礎(chǔ)上綜合得到全局控制器。近年來，由于魯棒控制的不斷發(fā)展，變增益控制也得到一定的發(fā)展，其中線性變參數(shù)(Linear parameter varying,LPV)方法已經(jīng)得到實(shí)際應(yīng)用[9]。

本文針對(duì)非完整機(jī)器人非線性動(dòng)力學(xué)模型，在外部擾動(dòng)和內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)情況下進(jìn)行魯棒H∞控制設(shè)計(jì)，使得機(jī)器人軌跡跟隨理想軌跡。本文的主要工作：1)根據(jù)Euler- Lagrange方程建立非完整移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型；2) 確定非完整機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)范圍，利用變增益LPV凸分解技術(shù)，將這一動(dòng)態(tài)模型轉(zhuǎn)化為具有凸多面體結(jié)構(gòu)的LPV模型；3) 根據(jù)魯棒控制理論和線性矩陣不等式理論，在凸多面體的各個(gè)頂點(diǎn)設(shè)計(jì)變增益控制器，然后利用各個(gè)頂點(diǎn)控制器綜合得到全局變增益控制器； 4) 最后給出一個(gè)仿真算例。結(jié)果表明,對(duì)于非完整機(jī)器人軌跡跟蹤問題，這種算法得到的控制器具有較好的跟蹤性能。

1 非完整移動(dòng)機(jī)器人的模型

圖1為非完整機(jī)器人結(jié)構(gòu)。

圖1 非完整移動(dòng)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)

圖1所示非完整移動(dòng)機(jī)器人包含一個(gè)前面的隨動(dòng)輪和后面兩個(gè)安裝在同一個(gè)軸上的差速驅(qū)動(dòng)輪，分別由兩個(gè)直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)。使得移動(dòng)平臺(tái)直行或轉(zhuǎn)彎。機(jī)器人關(guān)注點(diǎn)的廣義位置坐標(biāo)q=[x,y,θ]T,兩個(gè)輪子有相同的半徑r，兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪的距離為2L；F為移動(dòng)平臺(tái)的關(guān)注點(diǎn)，其坐標(biāo)為(xF,yF)，G為兩輪軸線的重點(diǎn)，G點(diǎn)的坐標(biāo)為(xG,yG)；左右輪的力矩分別為τl、τr， G點(diǎn)與F點(diǎn)的之間的距離為d。

1.1 移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

根據(jù)圖1，可知F、G兩點(diǎn)的位置存在如下關(guān)系

(1)

根據(jù)(1)可以得到兩點(diǎn)的速度關(guān)系

(2)

假設(shè)移動(dòng)平臺(tái)在低速狀態(tài)下運(yùn)行，且驅(qū)動(dòng)輪與地面之間僅有滾動(dòng)無滑動(dòng)。那么F點(diǎn)的速度滿足以下約束方程

(3)

寫成矩陣形式

(4)

式中，AT(q)=[sinθ-cosθd]，

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，推導(dǎo)出移動(dòng)平臺(tái)關(guān)注點(diǎn)速度以及平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角度與左右輪速度之間的運(yùn)動(dòng)方程。

(5)

式中vl、vr分別為左輪和右輪的速度。

通過(5)式，可得到關(guān)注點(diǎn)F的速度與左右輪速度的關(guān)系及其雅克比矩陣。

(6)

將(6)式寫成如下形式

(7)

J是左右輪轉(zhuǎn)速到移動(dòng)平臺(tái)關(guān)注點(diǎn)速度的雅克比矩陣，反映了輪子轉(zhuǎn)速與關(guān)注點(diǎn)速度之間的關(guān)系。

1.2 移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型

直接應(yīng)用拉格朗日方程不能得到關(guān)于非完整約束的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程。通常，非完整移動(dòng)機(jī)器人有n個(gè)廣義坐標(biāo)，且服從m維約束，通過修正后的拉格朗日方程可以得到機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型[3]

(8)

式中：M(q)∈Rn×n是正定的對(duì)稱慣量矩陣，

B(q)∈Rn×r是輸入轉(zhuǎn)換矩陣，

τ∈Rr×1是輸入向量；A(q)∈Rn×m是與約束相關(guān)的矩陣；λ∈Rm×1是約束力項(xiàng)。

(9)

矩陣S(q)包含了AT(q)零空間的基向量，基向量的選擇很重要，這里令速度矢量有實(shí)際意義，分別取左輪和右輪的速度，所以S(q)選取如下

(10)

對(duì)式(9)兩邊取微分得

(11)

將式(11)帶入到式(8)，兩邊同時(shí)左乘ST(q)得到下式

(12)

式中：

所以式(12)簡化為下式

(13)

式(6)帶入到式(13)，可得到關(guān)注點(diǎn)F的加速度與力矩之間的關(guān)系

(14)

式(14)中M2、V2依賴于參數(shù)θ。所以處理后的系統(tǒng)是一個(gè)參數(shù)依賴系統(tǒng)，這為后面的控制器設(shè)計(jì)提供了極大方便。

1.3 移動(dòng)機(jī)器人的LPV模型

本文控制目標(biāo)是移動(dòng)平臺(tái)的關(guān)注點(diǎn)的軌跡能夠跟蹤參考軌跡，對(duì)系統(tǒng)(14)設(shè)計(jì)如下控制器

(15)

式(15)帶入到式(14)，有

(16)

狀態(tài)方程為

(17)

考慮文獻(xiàn)[9]的方法，由于矩陣A、B都依賴于參數(shù)θ，其范圍是：0≤θ≤2π，所以取0和2π作為頂點(diǎn)，利用LPV方法對(duì)式(17)進(jìn)行處理得到

(18)

2 變增益LPV魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)

首先給出LMI區(qū)域的定義。

定義1[10]對(duì)復(fù)平面區(qū)域D，如果存在矩陣LT=L∈Rm×m和矩陣M∈Rm×m滿足以下條件

D={s∈C∶fD(z)<0}

則稱D是一個(gè)以fD(z)為特征函數(shù)的線性矩陣不等式區(qū)域(LMI區(qū)域)。其中，fD(z)是埃爾米特矩陣。實(shí)際上LMI區(qū)域就是一個(gè)線性矩陣不等式的可行解區(qū)域。

下面對(duì)于任意的LMI區(qū)域D，將移動(dòng)機(jī)器人的LPV模型在頂點(diǎn)處設(shè)計(jì)滿足極點(diǎn)配置的控制器。對(duì)于式(18)分別在θ=0和θ=2π設(shè)計(jì)滿足極點(diǎn)配置和H∞性能要求的狀態(tài)反饋增益矩陣K1、K2，則對(duì)于任意的θ，可利用以下方法得到相應(yīng)的控制器：

K=ρ1(θ)K1+ρ2(θ)K2

(19)

在每個(gè)頂點(diǎn)的位置，LPV模型退化為LTI模型

(20)

式中：w為機(jī)器人的外部擾動(dòng)，這里令其為參考軌跡；z為誤差輸出，要求機(jī)器人能夠準(zhǔn)確跟蹤參考軌跡，既要求在w輸入下，z具有H∞性能。

對(duì)于系統(tǒng)(20)，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器

u=Kx

(21)

將式(9)帶入到式(8)中，得到閉環(huán)控制系統(tǒng)

(22)

則系統(tǒng)(10)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

Twz=(sI-A-B2K)-1B1

(23)

本文的目的是設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器(21)滿足以下兩個(gè)條件：

1) 閉環(huán)極點(diǎn)配置到一定的LMI區(qū)域；

2) 保證閉環(huán)系統(tǒng)H∞性能‖Twz‖∞<γ，γ為給定常數(shù)。

為取得滿意的性能，這里將閉環(huán)極點(diǎn)配置要求α=2(在復(fù)平面-2的左邊)，這樣可以保證衰減速率。XD是正定矩陣，根據(jù)特征函數(shù)可以得到描述該區(qū)域的線性矩陣不等式

(A+B2K)XD+XD(A+B2K)T+2αXD<0

(24)

有界實(shí)引理[10]：假設(shè)γ>0，設(shè)計(jì)的控制器(21)要求滿足以下性質(zhì)：

1)閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定并且

‖TwZ‖∞=‖(SI-A-B2K)-1B1‖∞<γ。

(25)

成立。

定理：對(duì)于系統(tǒng)(20)，給定γ>0，?XT=X>0，和矩陣W=KX，滿足以下不等式約束

(A+B2K)XD+XD(A+B2K)T+2αXD<0

如果X*和W*為上述不等式的可行解，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器為u=W*(X*)-1x，該控制器不僅可保證H∞性能，且可以保證把閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到相應(yīng)的區(qū)域。

用LMI中的feasp來求解該線性矩陣不等式。

根據(jù)以上所述，在頂點(diǎn)處綜合局部控制器，根據(jù)式(19)可得到任意θ的控制器。

3 仿真算例

圖2 主仿真界面

圖3 子系統(tǒng)界面

相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 移動(dòng)機(jī)器人的參數(shù)

K2=

以及與定點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)

(-3.8535±3.5438i),(-2.8004±0.8134i)

由以上兩個(gè)反饋增益矩陣，通過式(19)得到整個(gè)LPV變增益反饋矩陣，通過在線計(jì)算ρi(i=1,2)，可得到具體位置的增益反饋矩陣

K=ρ1(q)K1+ρ2(q)K2，且ρ1+ρ2=1

據(jù)以上所述，得到系統(tǒng)的變增益控制器u=Kx。

在仿真中，移動(dòng)機(jī)器人末端理想軌跡方程為xd=cos(t)和yd=sin(t)，根據(jù)本文所提出的方法設(shè)計(jì)控制器，機(jī)器人在x、y方向的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示。

圖4是機(jī)器人在參考輸入下，分別在x、y方向的運(yùn)動(dòng)軌跡方程。圖5給出兩關(guān)節(jié)控制器輸出控制力矩的響應(yīng)曲線。圖6顯示移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤曲線，關(guān)注點(diǎn)軌跡的相應(yīng)曲線基本與參考軌跡重合，圖6中實(shí)線為實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡，虛線為參考軌跡。結(jié)果表明，采用這種控制方法，移動(dòng)機(jī)器人關(guān)注點(diǎn)的位置變化具有良好的跟蹤性能。

圖4 機(jī)器人在x、y方向的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖5 兩關(guān)節(jié)控制力矩響應(yīng)曲線

圖6 機(jī)器人軌跡跟蹤曲線

4 結(jié)論

移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤模型中存在動(dòng)態(tài)不確定性和外部干擾的不確定性，使得模型具有時(shí)變、強(qiáng)耦合、非線性等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。本文引入變增益LPV魯棒H∞控制方法，設(shè)計(jì)了移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制器。仿真結(jié)果表明：機(jī)器人手臂關(guān)節(jié)位置的變化始終具有良好的跟蹤性能。

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