陳 雁

(鎮(zhèn)海教師進(jìn)修學(xué)校，浙江 315200)

圖1圖2

(1) 出射粒子的動能Em;

(2) 粒子從飄入狹縫至動能達(dá)到Em所需的總時間t0;

(3) 要使飄入狹縫的粒子中有超過99%能射出,d應(yīng)滿足的條件．

參考答案： 當(dāng)粒子運(yùn)動半徑為R時,粒子出射,有

又

解得

圖3 粒子在回旋加速器中運(yùn)動軌跡

本題的第(1)個小問題:求出射粒子的動能Em,這是比較容易求解的問題．但是,如果我們仔細(xì)觀察題中的示意圖,發(fā)現(xiàn)題中A點(diǎn)的位置與圓心O相對,位于D形金屬盒的中心處．畫出粒子在回旋加速器中運(yùn)動的軌跡后,如圖3所示,自然而然會產(chǎn)生疑問．

1 問題提出

(1) 粒子出射的位置在哪里?

(2) 粒子出射時的半徑等于D型金屬盒的半徑R嗎?

(3) 粒子在回旋加速器中加速的次數(shù)是多少?

由圖3,直接可得出粒子出射的位置應(yīng)該在O點(diǎn)的左側(cè),且出射時的半徑小于D型盒的半徑R．

我們知道要獲得高能量的帶電粒子,粒子在回旋加速器中,不可能只加速1次,必須經(jīng)過多次加速．帶電粒子在回旋加速器中,加速的次數(shù)大約是多少．

本文就這3個問題進(jìn)行分析討論．

2 問題討論

2.1 粒子出射時的位置在哪里?

圖3為A點(diǎn)飄入狹縫的粒子進(jìn)入回旋加速器后的運(yùn)動軌跡,由圖3粒子的軌跡圖我們可以直接得出結(jié)論:粒子出射的位置一定在D型金屬盒的左側(cè)．

粒子從A點(diǎn)飄出,經(jīng)過一次加速,由O點(diǎn)進(jìn)入D型金屬盒,受洛倫茲力作用,作半徑為R1的勻速圓周運(yùn)動．經(jīng)過半周后,再次進(jìn)入兩盒間縫隙,再次被加速,作半徑為R2的勻速圓周運(yùn)動,如此,粒子在做圓周運(yùn)動的過程中一次一次地經(jīng)過盒縫,每次經(jīng)過盒縫,粒子被加速,粒子的速度越來越大．

設(shè)粒子被n次加速后,速度達(dá)到vn,在磁場中運(yùn)動的半徑為rn,由

和

得

(1)

由此式可知,軌道半徑和加速的次數(shù)n的平方根成正比,隨著加速次數(shù)的增多,軌道半徑也越來越大．軌道半徑大于等于金屬盒半徑R時,粒子一定能從盒中射出,沒有問題．然而從圖3可以看到,粒子的入射點(diǎn)是盒的圓心,粒子在盒中作圓周運(yùn)動時,其軌道的圓心顯然不是D型金屬盒的圓心,而是在D型金屬盒圓心的左側(cè)．

由圖中直觀看出,粒子運(yùn)動到左側(cè)時,離圓心O點(diǎn)的距離大,粒子的出射位置應(yīng)該在O點(diǎn)的左側(cè)．下面通過計算,得到粒子出射點(diǎn)的位置．

如表1所示,A1為粒子第1次加速后運(yùn)動到縫隙處的位置,A2為粒子第2次加速后運(yùn)動到縫隙處的位置,A3為粒子第3次加速后運(yùn)動到縫隙處的位置,以些類推,An為粒子經(jīng)過n次加速后運(yùn)動到縫隙處的位置．由圖中可知,n為奇數(shù)時,粒子位置在O點(diǎn)的左側(cè),n為偶數(shù)時,粒子位置在O點(diǎn)的右側(cè)．

表1

比較OA2n-1與OA2n,如果OA2n-1>OA2n,粒子一定從O點(diǎn)左側(cè)出射．

用數(shù)學(xué)歸納法證明OA2n-1-OA2n>0:

當(dāng)n=1時，

OA1-OA2=2r1-(2r2-2r1)=4r1-2r2=

設(shè)n=k時，

OA2k-1-OA2k=2r2k-1-2r2k-2+2r2k-3…2r2+2r1-(2r2k-2r2k-1+2r2k-2…+2r2-2r1)>0;

當(dāng)n=k+1時，

OA2k+1=2r2k+1-2r2k+OA2k-1，

OA2k+2=2r2k+2-2r2k+1+OA2k，

OA2k+1-OA2k+2=2r2k+1-2r2k+OA2k-1-(2r2k+2-2r2k+1+OA2k)=4r2k+1-2r2k-2r2k+2+OA2k-1-OA2k，

設(shè)

有

整理得

4k2+4k+1>4k2+4k

成立,OA2n-1-OA2n>0成立,OA2n-1>OA2n.

由此,我們得出結(jié)論,本題中,帶電粒子一定從金屬盒的左邊射出,也即粒子一定是經(jīng)過奇數(shù)次加速后從金屬盒O點(diǎn)左側(cè)出射．

2.2 粒子出射時的半徑等于D型金屬盒的半徑R嗎?

粒子出射時,軌道半徑有沒有可能小于R？

由第1問分析可知

OA2n-1=2r2n-1-2r2n-2+2r12n-3…-2r2+2r1.

(2)

將(1)代入(2)整理得

當(dāng)OA2n-1>R時,粒子出射,有

r2n-1>

(3)

利用Excel計算出不同加速次數(shù),粒子出射時的半徑值,列表如表2所示.

表2 加速次數(shù)與粒子出射半徑值

從計算結(jié)果可以看出,加速次數(shù)越多,粒子出射的半徑越接近金屬盒的半徑,但始終小于D型金屬盒的半徑R．

2.3 粒子在回旋加速器中加速的次數(shù)

粒子在回旋加速器中,要經(jīng)過多次加速,讓粒子的能量達(dá)到一個比較大的值后,才讓粒子從盒中射出．那么,粒子在回旋加速器中,加速的次數(shù)是多少呢?

以世界上第1臺回旋加速器為例,加速電壓為2kV,加速氘離子達(dá)到80keV,加速40次數(shù)．根據(jù)(3)式,利用Excel計算出粒子出射時的半徑r41=0.8890R,明顯小于加速器金屬盒半徑;隨后建造的第2臺25cm直徑的較大回旋加速器,其被加速粒子的能量可達(dá)到1MeV,假設(shè)加速電壓沒有提高,加速α粒子,那么加速250次數(shù),出射時的半徑r251=0.953R．從這2臺回旋加速器來看,帶電粒子在回旋加速器中加速的次數(shù)都不是一個很大的數(shù),因此,粒子出射時的軌道半徑明顯小于D型金屬盒的半徑．

人教社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書3-1中,關(guān)于回旋加速器有這樣的描述:回旋加速器加速的帶電粒子,能量達(dá)到25～30MeV后,就很難再加速了．原因是,按照狹相對論,粒子的質(zhì)量隨著速度的增加而增大,其質(zhì)量的變化導(dǎo)致其回旋周期的變化,從而破壞了與電場變化周期的同步．

回旋加速器加速的帶電粒子,能量可以達(dá)到25～30MeV．初步估算帶電粒子在回旋加速器中加速的次數(shù)．設(shè)加速電壓為10kV,加速α粒子達(dá)到30MeV的能量,要加速1500次,粒子出射的半徑等于0.9806R,這個值可以近似等于R．

3 結(jié)束語

圖4

圖4是人教社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理選修3-1中,回旋加速器的插圖．圖中的回旋加速器上標(biāo)出“粒子的出射口”,畫出了粒子的運(yùn)動軌道．顯然粒子出射時的半徑是不等于D型金屬盒的半徑,明顯小于D型金屬盒的半徑R,粒子作圓周運(yùn)動的圓心也不是D型金屬盒的中心．如果學(xué)生對教材中回旋加速器圖的印象深刻,那么,在解題時,會產(chǎn)生疑問;如果學(xué)生在解本題時,仔細(xì)畫圖,也會在求解中產(chǎn)生疑問,即粒子出射時的半徑是否等于D型金屬盒的半徑．

本題源于經(jīng)典,又進(jìn)行了變化拓展．第2、第3小題的設(shè)問,撇開了繁雜的運(yùn)動分析和數(shù)學(xué)計算,新穎巧妙,充分體現(xiàn)了物理的簡潔性和思想性,考查了學(xué)生分析解決問題的綜合能力．建議在題干中直接寫明粒子出射時的半徑為R,配圖采用教材中的原理圖,以消除學(xué)生在解題時產(chǎn)生的不必要的疑問．