戴精科, 林開亮
(1. 火箭軍工程大學(xué) 信息工程系,陜西 西安 710025;2. 西北農(nóng)林科技大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 712100)
近年來,隨著移動通信業(yè)務(wù)需求的不斷增長,陸地移動衛(wèi)星(Land Mobile Satellite,LMS)系統(tǒng)成為研究熱點[1-4].在移動環(huán)境中信號易受到信道衰落的影響,而低密度奇偶檢驗(Low Density Parity Check,LDPC)碼作為一種性能逼近香農(nóng)極限的先進信道編碼技術(shù),具有極強的糾錯能力,因此將其應(yīng)用于陸地移動衛(wèi)星系統(tǒng)可提高抗衰落能力,改善通信質(zhì)量.
基于密度進化理論[5],人們已經(jīng)獲得了低密度奇偶檢驗碼在多種衰落信道中的性能,例如瑞利信道[6],賴斯信道[7]和Nakagami-m信道[8]等.但是陸地移動衛(wèi)星信道比較復(fù)雜,前述的衰落模型不足以描述所有的信道特征,因此人們提出了多種更精確的理論模型,其中經(jīng)典的有Loo模型[2],Lutz模型[9]和陰影-賴斯(Shadowed-Rician,SR)模型[10]等.通過調(diào)整相應(yīng)的參數(shù),這些模型與實際測量的信號特征非常吻合.文獻[11]將低軌衛(wèi)星信道建模為Loo模型,得到了規(guī)則低密度奇偶檢驗碼的譯碼門限,但沒有研究不規(guī)則碼,也未證明碼字穩(wěn)定性條件,這主要是因為Loo模型中衰落系數(shù)具有復(fù)雜的非閉合概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF),在數(shù)學(xué)上很難處理(Lutz模型也是如此).
陰影-賴斯模型是對Loo模型的修改,其衰落系數(shù)的概率密度函數(shù)存在閉合形式,降低了理論性能分析的難度.文獻[12]推導(dǎo)了最大比值合并系統(tǒng)在陰影-賴斯信道中的誤碼率,文獻[13]研究了正交空時編碼在該信道中的性能.文獻[14]對低密度奇偶檢驗碼在陰影-賴斯信道中的誤碼率性能進行了仿真,但未得到性能界(即譯碼門限),也沒有進行碼字度分布優(yōu)化.筆者證明了陰影-賴斯信道的對稱性,推導(dǎo)了穩(wěn)定性條件和信道容量;利用離散密度進化獲得了規(guī)則低密度奇偶檢驗碼在該信道的譯碼門限,并結(jié)合差分進化得到了優(yōu)化的不規(guī)則碼,其譯碼門限在最壞信道條件下距離香農(nóng)極限約0.1 dB,且在相同碼長條件下的誤碼性能優(yōu)于規(guī)則碼、高斯信道中優(yōu)化的不規(guī)則碼[5]以及新一代數(shù)字衛(wèi)星廣播(Digital Video Broadcasting-Satellite-second generation,DVB-S2)標(biāo)準中的不規(guī)則碼.
設(shè)傳輸符號x∈{0,1},經(jīng)映射w(w=1-2x)后進行二進制相移鍵控調(diào)制,則解調(diào)器輸出y的條件概率密度函數(shù)為[6]p(y|w,a)= 1/ (2πσ2)1/2exp[-(y-wa)2/ (2σ2)], 其中噪聲方差σ2=S/ (2REb/N0),R為碼率,Eb/N0為信噪比,S=E[a2].衰落因子a滿足陰影-賴斯分布[10],其條件概率密度函數(shù)為
p(a|Z=z)=(a/b0) exp-(a2+z2)/(2b0)I0(za/b0) ,
且a>0.式中,2b0為散射信號分量平均功率;Z=z,為直射信號的瞬時值;I0(x)是零階修正的貝塞爾函數(shù).如果Z為常數(shù),則a服從賴斯分布.但是受到陰影衰落的影響,Z是一個隨機變量且服從Nakagami-m分布,即pZ(z)= 2mm/ (Γ(m)Ωmz2m-1) exp(-mz2/Ω)且z>0,其中m為Nakagami參數(shù),Γ(x)為伽馬函數(shù).Ω=E[Z2],表示直射分量的平均功率,顯然Ω=S- 2b0.結(jié)合p(a|Z=z) 和pZ(z)可推出a的密度函數(shù)為[10]
p(a)=(a/b0) [2b0m/(2b0m+Ω)]mexp(-a2/(2b0))1F1m; 1;Ωa2/[2b0(2b0m+Ω)] ,(1)
其中,1F1(.;.;.)為合流超線幾何函數(shù).
和積譯碼器以信道輸出的對數(shù)似然比為初始消息,即u0=2ya/σ2,在全零假設(shè)[5]下可得到u0的條件概率密度函數(shù)為Pu0(u0|a)= (σ2/ (8πa2))1/2exp[-(u0- 2a2/σ2)2/ (8a2/σ2)].將其對a取平均,有
式(2)即為陰影-賴斯信道輸出初始消息的概率密度函數(shù).根據(jù)經(jīng)歷陰影的嚴重程度,信道可分為輕度陰影、中度陰影和重度陰影,相應(yīng)的參數(shù)取值參見文獻[10]中的Table Ⅲ.
(3)
推導(dǎo)過程如下:
將式(2)代入?yún)?shù)s的定義式,可得
代入式(1),有
(4)
至此,穩(wěn)定性條件式(3)得證.
已有很多文獻論述了瑞利和賴斯衰落信道的香農(nóng)限,但對于陰影-賴斯信道尚未見已出版文獻報道,現(xiàn)推導(dǎo)如下.由信道容量定義,有
其中,I(W;Y,A)為W和Y的條件互信息,PW是W的概率分布,wi=±1且與a相互獨立.由于陰影-賴斯信道是對稱的,輸入符號等概使互信息最大化,所以
根據(jù)編碼定理,存在碼率R 表1不同環(huán)境下陰影-賴斯信道的香農(nóng)限dB 信道環(huán)境R=2/3R=1/2R=1/3R=1/4輕度陰影2.09040.8383-0.1042-0.5098中度陰影2.31980.9783-0.0221-0.4507重度陰影3.66751.83110.4881-0.0803 采用離散密度進化(Discretized Density Evolution,DDE)[7]來確定規(guī)則低密度奇偶檢驗碼在陰影-賴斯信道中的譯碼門限,量化范圍設(shè)為 [-25 ,25],量化間隔為0.05.圖1展示了 1/2 碼率的(3,6)規(guī)則低密度奇偶檢驗碼在不同陰影條件下陰影-賴斯信道中的門限,以及通過蒙特卡羅仿真獲得的碼長分別為105和106碼字的誤碼率(Bit Error Rate, BER)性能.從圖中可以看出,隨著碼長的增加,低密度奇偶檢驗碼在誤碼率低于10-6時所需的信噪比收斂于譯碼門限,且碼長為106時與門限的差距在 0.1 dB 以內(nèi).例如在重度陰影條件下,門限值約為 3.06 dB,而實際碼字所需的信噪比約為 3.12 dB.這說明獲取的門限值能夠很好地預(yù)測低密度奇偶檢驗碼在陰影-賴斯信道中的性能(界).在輕度陰影下,系統(tǒng)性能最佳;中度陰影造成系統(tǒng)性能下降約 0.2 dB;在重度陰影下,系統(tǒng)性能下降約 1.2 dB.表2列出了幾種常用的規(guī)則低密度奇偶檢驗碼在陰影-賴斯信道中的譯碼門限和相應(yīng)碼率,其中(3,4)碼的門限值和碼率都最低,(3,9)碼的最高,(3,6)碼的適中. 圖1 (3,6)規(guī)則低密度奇偶檢驗碼在陰影-賴斯信道中的誤碼率與譯碼門限 通過比較表1和表2的結(jié)果可知,規(guī)則低密度奇偶檢驗碼距離香農(nóng)限還有一定距離 . 例如(3,6)碼在3種陰影環(huán)境中距離香農(nóng)限約有 1.0~ 1.2 dB 的差距 . 因此 , 需要針對陰影-賴斯信道設(shè)計不規(guī)則碼,這是一個連續(xù)空間參數(shù)(度分布)的非線性代價函數(shù)(門限值)最小化問題,而差分進化是一種非常高效的解決辦法.其基本思想[6]簡述如下: 在最大度數(shù)(dl,dr)和碼率R確定的情況下,設(shè)參數(shù)L=dl+dr-5,并定義一個L維向量(λ3,…,λdl-1,ρ3,…,ρdr),則該向量就完全確定了碼字的度分布,且參數(shù)λ2,ρ2和λdl可由該向量計算得到,參見文獻[6]中的式(25)和(26).之后隨機選擇10L組向量作為“種子”,按照標(biāo)準差分進化算法進行搜索,經(jīng)過一定次數(shù)迭代后選擇代價函數(shù)最小的那組度分布作為輸出結(jié)果.在實際搜索過程中,為了降低計算復(fù)雜度,校驗節(jié)點的度分布可限定為2個[7],即取“集中度分布”ρ(x)= (1-ρ)xj-1+ρxj,且平均校驗度數(shù)ρav= (1-ρ)j+ρ(j+ 1)=j+ρ. 表2不同碼率的規(guī)則低密度奇偶檢驗碼在陰影-賴斯信道中的譯碼門限dB 信道環(huán)境(3,9),R=2/3(3,6),R=1/2(4,6),R=1/3(3,4),R=1/4輕度陰影2.91591.87122.30011.3611中度陰影3.17982.03942.43631.4462重度陰影4.71333.05723.26601.9799 由于信道參數(shù)的不同,3種陰影環(huán)境下設(shè)計出的最佳不規(guī)則碼度分布將有所差異,但是移動環(huán)境下信道狀態(tài)會發(fā)生快速的隨機變化且通信雙方碼字難以實時進行調(diào)整.因此,從實際出發(fā)使用最壞情況下得到的優(yōu)化碼字.從下面的結(jié)果可知該碼字在另外兩種環(huán)境下也具有良好的性能.設(shè)置環(huán)境為重度陰影后搜索得到的 1/2 碼率不規(guī)則碼度分布如表3所示.通過與表2的門限結(jié)果比較,相同環(huán)境下不規(guī)則碼明顯優(yōu)于規(guī)則碼.例如,3種陰影環(huán)境中變量節(jié)點最大度數(shù) (dl=20) 的不規(guī)則碼門限值比相應(yīng)的(3,6)規(guī)則碼分別低 0.85 dB,0.88 dB 和 1.06 dB.文獻[5]在高斯信道中對低密度奇偶檢驗碼進行了優(yōu)化,將其中dl=20 的 1/2 碼率不規(guī)則碼記為irG并應(yīng)用于陰影-賴斯信道,得到3種陰影下的譯碼門限分別為 1.029 96 dB,1.185 35 dB 和 2.119 21 dB.與表3的結(jié)果比較可知,在相同dl下獲得的優(yōu)化碼門限更低,特別是在重度陰影下比irG碼的門限低 0.12 dB.另外,當(dāng)dl=50 時,得到的優(yōu)化碼字在3種陰影條件下的譯碼門限分別距離香農(nóng)限約 0.18 dB,0.15 dB 和 0.10 dB.從上述結(jié)果來看,優(yōu)化的不規(guī)則碼在3種陰影下都具有良好的性能,但在重度陰影環(huán)境中相對規(guī)則碼和irG碼提升最大且最接近相應(yīng)的香農(nóng)限.這是因為進行搜索時已設(shè)置信道為重度陰影,若修改信道條件則會得到在該特定環(huán)境(中度或輕度陰影)中具有更優(yōu)性能的碼字. 達到或接近譯碼門限需要極長(例如大于106)的碼字,這在實際應(yīng)用中很難實現(xiàn),因此需要考慮有限長度的低密度奇偶檢驗碼.得到廣泛應(yīng)用的DVB-S2標(biāo)準采用了碼長64800的低密度奇偶檢驗碼,因此筆者設(shè)置不規(guī)則碼的碼長為 64 800,其校驗矩陣通過線性漸進邊增長算法構(gòu)造(環(huán)長較大),且服從表3中dl=20 列的度分布.在構(gòu)造校驗矩陣的過程中,為了獲得較大的最小碼距和較好的“陷阱集”性能,選擇具有最高連接度的校驗節(jié)點[15],而且可以基于平衡搜索樹降低計算復(fù)雜度[16].圖2比較了優(yōu)化的不規(guī)則碼、DVB-S2采用的不規(guī)則碼、irG碼以及(3,6)規(guī)則碼在3種陰影環(huán)境中的誤碼率性能.可以看出,在相同信道環(huán)境下,3種不規(guī)則碼都遠好于規(guī)則碼,且筆者設(shè)計的優(yōu)化碼在3種陰影中的性能增益分別為 0.55 dB、0.59 dB 和 0.64 dB; irG與DVB-S2碼字在中度陰影下的性能基本相當(dāng),在輕度和重度陰影下DVB-S2略好于irG碼.筆者設(shè)計的不規(guī)則碼性能優(yōu)于DVB-S2碼字: 在誤碼率達到10-5時,輕度陰影下所需的信噪比相對DVB-S2碼字低 0.09 dB,中度陰影下差值為 0.11 dB,重度陰影下差值為 0.10 dB. 表3優(yōu)化的1/2碼率不規(guī)則低密度奇偶檢驗碼度分布及譯碼門限dB 參數(shù)與信道環(huán)境dl48102050λ20.368840.315980.290810.228150.20853 λ30.077090.284930.230690.249470.17157λ40.554070.002570.055690.03305 λ60.09009λ70.109900.08531λ80.396520.06881λ90.02916λ100.422810.09753λ150.02471λ200.32239λ300.07693λ500.20440 ρav5.770496.633347.201868.213629.46904輕度陰影1.500421.166861.199451.021291.01659 中度陰影1.655381.298631.314871.157031.12944 重度陰影2.598772.169692.095411.996591.93183 圖2 長度為64 800的低密度奇偶檢驗碼性能比較 筆者對陸地移動衛(wèi)星信道中的低密度奇偶檢驗碼進行了性能分析和優(yōu)化設(shè)計.首先證明了陰影-賴斯信道滿足對稱性條件,推導(dǎo)了穩(wěn)定性條件和信道容量;在此基礎(chǔ)上,利用密度進化工具計算出低密度奇偶檢驗碼在該信道中的譯碼門限,能夠快速評估碼字在3種陰影環(huán)境中的性能(界).基于差分進化對不規(guī)則低密度奇偶檢驗碼的度分布進行了優(yōu)化,在最大變量節(jié)點度數(shù)為50時譯碼門限距離香農(nóng)限僅有約 0.1 dB;在碼長為 64 800 且碼率為 1/2 時,優(yōu)化的不規(guī)則碼相對規(guī)則碼和DVB-S2不規(guī)則碼有約 0.6 dB 和 0.1 dB 的性能增益.所以,筆者設(shè)計的優(yōu)化碼非常適合陸地移動衛(wèi)星信道的信息傳輸. 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4 結(jié) 束 語