黃 純, 劉潔波, 江亞群, 湯 濤, 謝 興

(湖南大學電氣與信息工程學院, 湖南省長沙市 410082)

0 引言

同步相量測量單元(phasor measurement unit,PMU)是電網(wǎng)廣域測量系統(tǒng)[1-2]及廣域保護系統(tǒng)[3-4]的核心,相量估計算法的測量精度及動態(tài)響應速度對于電力系統(tǒng)狀態(tài)估計[5]、安全分析與穩(wěn)定控制[6-7]等至關重要。離散傅里葉變換(discrete Fourier transform,DFT)是目前應用最為廣泛的相量估計算法,在靜態(tài)條件下具有良好的測量精度[7]。針對信號基波分量的時變性會導致DFT測量精度嚴重下降的問題,國內(nèi)外學者提出了較多的DFT改進算法[8-9]。然而,當電力系統(tǒng)發(fā)生故障時,故障電流中不僅基波分量具有時變性,還可能包含衰減直流分量,衰減直流分量會嚴重影響相量估計算法的測量精度及動態(tài)響應速度。因此,有必要研究能抑制衰減直流分量影響且對時變信號有較強的跟蹤能力的相量估計算法。

目前,含有衰減直流分量的相量測量算法可以分為兩類。一類無需估計衰減直流分量。文獻[10]利用有限長單位沖擊響應(finite impulse response,FIR)濾波器來抑制衰減直流分量,但只有當濾波器的時間常數(shù)與衰減直流分量的時間常數(shù)相等時才具有較好的濾波效果。文獻[11]提出了一種改進的全波傅里葉算法,利用1個工頻周期和2個額外采樣點構(gòu)成的連續(xù)3個數(shù)據(jù)窗的全波傅里葉變換結(jié)果,修正全波傅里葉變換的基波參數(shù)估計結(jié)果,能有效抑制衰減直流分量的不良影響,但沒有考慮基波頻率偏移的影響。另一類需要先估計衰減直流分量。文獻[12]為抑制衰減直流的影響先利用直流濾波器估計衰減直流分量,再用基波濾波器估計基波相量,該方法時延較短,但計算量大。文獻[13]建立了考慮衰減直流分量的信號模型,利用時域信號求解模型參數(shù),計算量較小,但時延長。文獻[14]提出的改進DFT算法需要分別對兩個連續(xù)的基波周期信號進行積分運算,利用這兩個積分結(jié)果估計衰減直流分量,但需要一個基波周期才能精確估計衰減直流分量,動態(tài)響應速度較慢,且頻率變化會嚴重影響估計精度。

為了滿足IEEE相量測量標準C37.118.1-2011[15]及其補充標準C37.118.1a-2014[16]對動態(tài)條件下P類PMU在精確度和動態(tài)響應速度上的要求,本文建立考慮基波頻率變化、含有基波分量和衰減直流分量的故障電流的非線性狀態(tài)空間描述模型,減少當故障電流信號中存在衰減直流分量時信號的模型誤差,從而提高測量精度,并利用強跟蹤濾波器(strong tracking filter,STF)迭代計算所建立的狀態(tài)變量,提高對突變電流信號的跟蹤能力。

1 電流信號的非線性狀態(tài)空間描述

假設輸電線路的單相故障電流信號僅含基波分量和指數(shù)形式的衰減直流分量,其離散形式的表達式為:

(1)

式中:Ak,ωk,φk分別為第k個采樣點的基波幅值、角頻率和相位角;τ和b分別為衰減直流分量的時間常數(shù)和初始幅值;Ts為采樣時間間隔。

第k個采樣點時刻的基波相量Xk如下:

(2)

1.1 基波分量的狀態(tài)變量

定義電流信號基波分量的狀態(tài)變量為:

(3)

在電網(wǎng)的正常情況下,基波幅值、角頻率和初相位是不會突變的,利用三角函數(shù)的和差公式,從kTs到(k+1)Ts時刻的基波分量的各狀態(tài)變量可以近似為:

(4)

1.2 衰減直流分量的狀態(tài)變量

為了表述方便,將信號中的衰減直流分量設為:

(5)

衰減直流分量是一個連續(xù)變化的函數(shù),可用Sk的n階泰勒展開多項式來近似表達Sk+1,即

(6)

綜合考慮計算量和精確度兩個因素,本文選擇建立衰減直流分量的2階泰勒模型。定義衰減直流分量的狀態(tài)變量為:

(7)

由式(6)可得,從kTs到(k+1)Ts時刻衰減直流分量的狀態(tài)變量近似為:

(8)

1.3 電流信號的非線性狀態(tài)空間描述

由式(4)可得不含衰減直流分量的電流信號的非線性狀態(tài)空間描述為:

(9)

式中:

結(jié)合式(4)和式(8)可得含衰減直流分量的電流信號的非線性狀態(tài)空間描述為:

(10)

式中:

式(9)和式(10)中wk為過程噪聲、vk為觀測噪聲,二者是符合正態(tài)分布的互不關聯(lián)的高斯白噪聲,且wk～N(0,Qk),vk～N(0,Rk),其中Qk和Rk分別為wk和vk的協(xié)方差矩陣。

考慮到計算量以及模型的簡潔性,狀態(tài)分量中并未加入諧波分量,而是將其作為噪聲濾除。

基波頻率:

(11)

基波相量的有效值:

(12)

基波相量的初相角:

(13)

衰減直流分量的瞬時值:

(14)

2 強跟蹤濾波算法

2.1 擴展卡爾曼濾波

卡爾曼濾波(Kalman filter,KF)是用于線性系統(tǒng)狀態(tài)估計的濾波器[17],而擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter,EKF)是其在非線性系統(tǒng)中的擴展應用[18-19]。EKF估計非線性系統(tǒng)(式(9)或式(10))的狀態(tài)變量向量的具體過程如下。

1)預測狀態(tài)向量:

(15)

2)預測誤差協(xié)方差矩陣:

(16)

3)計算增益矩陣:

(17)

4)修正狀態(tài)變量和誤差協(xié)方差矩陣:

(18)

(19)

式中:上標“～”表示預測量。

EKF的魯棒性較差,當模型誤差較大時,估計狀態(tài)變量的收斂速度過慢,甚至會造成濾波發(fā)散[17]。另外,EKF對系統(tǒng)突變的跟蹤能力較弱[18-19],因為當EKF對系統(tǒng)的狀態(tài)估計達到穩(wěn)定后,誤差協(xié)方差矩陣和增益矩陣會被限定在較小的值,EKF無法快速跟蹤系統(tǒng)突變,甚至會喪失跟蹤能力。

2.2 STF

STF是一種帶次優(yōu)漸消因子的濾波器[18],在EKF的基礎上,根據(jù)輸出的殘差序列在式(16)的協(xié)方差矩陣預測中引入次優(yōu)漸消因子,強迫輸出的殘差序列保持相互正交,從而間接地實時調(diào)整增益矩陣,增強了EKF的魯棒性及跟蹤系統(tǒng)突變的能力。

式(16)所示預測誤差協(xié)方差矩陣變?yōu)?

(20)

式中:λk+1≥1為次優(yōu)漸消因子。

設輸出的殘差序列為:

(21)

則按以下公式計算次優(yōu)漸消因子:

(22)

Nk+1=Vk+1-HQkHT-βRk+1

(23)

(24)

(25)

(26)

式中:ρ為遺忘因子,本文取0.95;β為弱化因子,本文取1;tr[·]為求矩陣跡的算子。

利用STF遞推估計每個時刻的最優(yōu)狀態(tài)變量向量,然后利用式(11)—式(14)計算各信號參量。采用STF估計相量的流程圖見附錄A圖A1。

3 仿真驗證

將含衰減直流分量的數(shù)值仿真信號和利用ATP-EMTP仿真軟件得到的故障電流信號,采用本文所提的基于式(10)模型的考慮衰減直流分量的強跟蹤濾波算法(簡稱“STF1算法”)與基于式(9)模型的不考慮衰減直流分量的強跟蹤濾波算法(簡稱“STF2算法”),以及文獻[7]傳統(tǒng)DFT算法和文獻[14]改進DFT算法進行相量測量,分析比較測量結(jié)果以驗證本文方法的有效性。算法參數(shù)設置見附錄B。

以相量的幅值誤差及相角誤差、綜合矢量誤差(total vector error,TVE)和響應時間[16-17]為指標來衡量算法的性能。各指標具體含義見附錄B。

3.1 數(shù)值信號仿真

1)含衰減直流分量信號的仿真分析

故障電流中通常含衰減直流分量,它的初始幅值b以及時間常數(shù)τ由電力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、故障類型等多個因素決定[13]。下文取不同的b和τ對算法的性能進行評估。設故障前(t<0)、故障后(t>0)電流信號的模型為:

(27)

式中:v(t)為添加的高斯白噪聲,使信噪比為50 dB。

圖1為STF1算法與改進DFT算法所估計的衰減直流分量。由圖可知,這兩種算法都在0.02 s跟蹤上衰減直流分量的實際值,但本文所提STF1算法在0～0.02 s間估計誤差更小。

圖1 STF1算法與改進DFT算法估計的特性不同的衰減直流分量Fig.1 Decaying DC components with different characteristics estimated by STF1 and improved DFT algorithms

圖2為4種算法在b=0.6和τ=0.07時相量測量的幅值誤差(標幺值)、相角誤差及TVE(附錄C圖C1還給出了b=0.4和τ=0.05時的相應相量測量結(jié)果)。

對比STF1算法與STF2算法的幅值誤差可知,式(10)模型比式(9)模型的測量誤差更小,STF1算法幅值誤差能夠在0.02 s左右就收斂到很小值,而STF2算法的幅值誤差則是緩慢地振蕩減小。STF1算法與STF2算法的相角誤差幾乎一樣,因為衰減直流分量只影響信號的幅值。

由圖2可知,衰減直流分量會嚴重影響傳統(tǒng)DFT算法的估計精度,幅值誤差和相角誤差隨著衰減直流分量的減小而緩慢地振蕩減少。

對比TVE可得,STF1算法的響應時間為20.0 ms,改進DFT算法的響應時間為39.4 ms,雖然兩者都滿足小于40 ms的要求,但是本文算法的響應時間遠小于改進DFT算法,動態(tài)響應速度更快。而不考慮衰減直流分量的STF2算法和傳統(tǒng)DFT算法,其動態(tài)響應速度遠不能滿足IEEE標準對動態(tài)相量測量的要求。

2)工頻變化時含衰減直流分量信號的仿真分析

圖2 4種算法的估計誤差Fig.2 Estimation errors of four algorithms

電力系統(tǒng)嚴重故障時,基波頻率可能發(fā)生較大幅度的變化。為了驗證本文方法對頻率變化的適用性,仿真特意采用較大的頻率變化量,故障發(fā)生后基波頻率變?yōu)?9 Hz,其故障電流信號為:

(28)

附錄D圖D1給出了STF1算法的頻率估計結(jié)果,表明STF1算法能快速跟蹤頻率的變化。附錄D圖D2給出了DFT算法與STF1算法所估計的衰減直流分量,在頻率發(fā)生變化后,改進DFT算法估計的衰減直流分量誤差大且無法收斂,而STF1算法依然能在0.02 s左右跟蹤上衰減直流分量的實際值。

圖3為改進DFT算法與STF1算法的相量估計誤差。

改進DFT算法估計的衰減直流分量極不準確,無法從信號濾除衰減直流分量,加上頻譜泄露的原因,其相量估計誤差很大,TVE無法減少到1%以下。而STF1算法依然能保持高精度的相量估計,響應時間為18.5 ms,具有較快的動態(tài)響應速度。

3.2 ATP-EMTP仿真信號

基于ATP-EMTP軟件建立含雙側(cè)電源的230 kV輸電線路故障仿真模型(見附錄E圖E1),進行表1所示的各種類型的故障仿真,產(chǎn)生包含衰減直流分量的故障電流信號。

圖3 頻率變化時STF1算法與改進DFT算法的估計誤差Fig.3 Estimation error of STF1 and improved DFT algorithms when frequency changes

仿真場景故障情況 故障類型距離/km過渡電阻/Ω頻率/Hz AA-B-C700.0150 BA-B705.0050 CA-G400.0150 DA-G405.0050 EA-B-C-G400.0149 FA-B-G400.0151

采用STF1算法、改進DFT算法及傳統(tǒng)DFT算法對這些信號進行相量幅值測量,仿真場景A,B,C的測量結(jié)果如圖4所示,場景E,F,D的測量結(jié)果見附錄E圖E2。

由圖4可知,STF1算法能有效抑制濾除衰減直流分量的影響,相比DFT算法及改進DFT算法能夠更快地收斂于基波分量。

3.3 現(xiàn)場故障錄波信號的分析

分別采用STF1算法和改進DFT算法對某220 kV變電站110 kV線路三相短路故障電流的故障錄波信號進行分析。結(jié)果表明,STF1算法在電流突然增大(故障發(fā)生)和突然減小(故障切除)時均能夠快速跟蹤幅值的變化,而改進DFT算法有約20 ms的延時,且在故障持續(xù)期間幅值振蕩較大。故障錄波信號波形及其測量結(jié)果分別見附錄F圖F1和圖F2。

圖4 場景A,B,C下算法的幅值響應Fig.4 Amplitude response in scenario A, B and C

4 結(jié)語

故障電流的時變性以及包含的衰減直流分量會降低傳統(tǒng)基于傅里葉變換的相量估計精度以及動態(tài)響應速度,無法滿足保護類PMU快速精確響應故障電流的要求。本文提出考慮衰減直流分量的動態(tài)相量強跟蹤測量算法。

1)在電流信號狀態(tài)空間描述的狀態(tài)變量向量中添加衰減直流分量及其一階導數(shù)和二階導數(shù),并利用泰勒展開多項式建立它們的迭代關系,可以有效表征衰減直流分量連續(xù)變化的特點,減少信號的模型誤差,且無需估計衰減直流分量的時間常數(shù)和初始幅值;狀態(tài)變量向量中含有基波角頻率分量,使得算法對頻率變化具有適用性。

2)故障電流信號具有突變的特點,本文利用STF算法迭代估計故障電流的狀態(tài)變量,引入次優(yōu)漸消因子,使得算法可以根據(jù)殘差大小自適應性地調(diào)整估計協(xié)方差矩陣,增強了算法對故障電流信號的跟蹤能力。

3)對含噪聲的數(shù)值信號及ATP-EMTP故障仿真信號進行分析,結(jié)果表明所提算法能有效抑制衰減直流分量對相量估計的影響,可同時具有較高的相量估計精度以及較快的動態(tài)響應速度。

本文算法屬于參數(shù)辨識類算法,其計算量大于基于DFT的相量測量算法,如何減小計算量,并克服其受預測狀態(tài)量初始值以及遺忘策略影響、多頻率諧波分析困難等缺陷,使之更適用于繼電保護等工程在線應用,有待進一步研究。

附錄見本刊網(wǎng)絡版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。

參 考 文 獻

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