聶紹忠

(重慶四聯(lián)測控技術(shù)有限公司，重慶 401121)

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，各領(lǐng)域?qū)毫y量精度的要求越來越高。硅壓阻式壓力傳感器利用半導(dǎo)體材料的壓阻效應(yīng)，基于惠斯頓電橋測量方式對壓力進(jìn)行測量，在動態(tài)性能、體積、價格等方面有較強優(yōu)勢，廣泛應(yīng)用于汽車、醫(yī)療、航空航天、環(huán)保等領(lǐng)域。但由于半導(dǎo)體材料對溫度的敏感性以及壓敏電阻制造工藝的局限性，硅壓阻式壓力傳感器普遍存在零點漂移、靈敏度漂移以及非線性等問題[1]。因此，需對該傳感器進(jìn)行有效補償，以提高輸出精度。目前，對于硅壓阻式壓力傳感器的補償主要有硬件補償和軟件補償兩大類。硬件補償對于靈敏度漂移的抑制效果并不理想，且高精度硬件電路復(fù)雜，調(diào)試較為困難，不利于工程應(yīng)用[2]。軟件補償以補償算法為主，其結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法、計算機技術(shù)，對上述問題進(jìn)行修正。實踐表明，軟件補償對于提高傳感器的輸出精度有很好的效果[3]。

常用的軟件補償算法有查表法、插值法、曲面擬合法等[4]。本文在回顧上述基本軟件補償算法的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一種基于最小二乘法的曲面擬合補償算法，并在Visual Basic平臺上予以實現(xiàn)；通過補償數(shù)據(jù)回代，對補償算法進(jìn)行了驗證。

1 壓力傳感器軟件補償?shù)幕痉椒?/h2>

1.1 數(shù)學(xué)模型

研究硅壓阻式壓力傳感器軟件補償，通常的做法是先建立一個補償?shù)臄?shù)學(xué)模型；然后采用一定的方法進(jìn)行標(biāo)定，分析標(biāo)定數(shù)據(jù)對數(shù)學(xué)模型的影響；最后求解數(shù)學(xué)模型，即一個反映傳感器輸入、輸出量關(guān)系的特征方程。在實際工況下，壓力傳感器感知外部壓力和環(huán)境溫度等，激勵內(nèi)部產(chǎn)生若干個電壓信號，并通過這些信號和特征方程計算出外部壓力[5]。對于雙參量體系下的硅壓阻式壓力傳感器，其特征方程為：

(1)

式中：Pv為標(biāo)定值；P為壓力輸出值；T為溫度輸出值；aij為多項式系數(shù)。

式(1)對應(yīng)一個多項式曲面。曲面表現(xiàn)能力與系數(shù)項a，自變量的最高次數(shù)m、n相關(guān)[6]。根據(jù)求解精度和復(fù)雜程度，間接或直接求解式(1)的方法主要有查表法、線性插值法和曲面擬合法。

1.2 查表法

早期的工程技術(shù)人員受限于求解方法和低速處理器，常常采用查表法。查表法擴展了壓力傳感器的標(biāo)定方式，即對于可能的工作環(huán)境和工作區(qū)間內(nèi)的輸入、輸出進(jìn)行事先遍歷，并按一定順序?qū)⑦@些標(biāo)定值保存在二維或多維表格內(nèi)。壓力傳感器在實際工況下，其任意輸出均可在事先準(zhǔn)備好的表格中找到一個對應(yīng)的輸入。

查表法的關(guān)鍵是查找表的編制。對于單變量體系(P-Pv)，應(yīng)繪制二維表格；對于多變量體系(同時考慮T)，應(yīng)繪制三維或更高維度表格。

由此可知，查表法易于實現(xiàn)，但工作量非常大，對存儲器空間要求高，不利于批量作業(yè)[7]；標(biāo)定的過程非常漫長，如果減少標(biāo)定點，則精度將隨之下降。

1.3 插值法

針對查表法所存在的問題，插值法是一個較好的解決辦法。插值法是一種重要的函數(shù)逼近方法。在工程實踐中，往往很難直接寫出函數(shù)f(x)表達(dá)式，只能通過采樣、試驗的方法獲取函數(shù)的若干個值或?qū)?shù)值[8]。例如給定了函數(shù)f(x)在[a,b]上互異的(n+1)個點的值f(x)(i=0,1,…,n)，插值法可根據(jù)這些值，尋求一個函數(shù)φ(x)去逼近f(x)，且φ(x)在xi處與f(x)相等。

1.3.1 線性插值法

插值法中較常用的是線性插值法。給定f(x)在兩個互異的點(x0，y0)、(x1，y1)的值，用一個線性函數(shù)φ(x)=ax+b近似代替f(x)，使f(x)的線性插值函數(shù)為：

該方法可應(yīng)用于單變量體系下的壓力傳感器。在單變量體系下，壓力傳感器的標(biāo)定值Pv與壓力輸出值P的傳感器特性曲線如圖1所示。

圖1 傳感器特性曲線Fig.1 The characteristic curve of sensor

將P坐標(biāo)軸分成若干段，則對每個端點Pk，必有相應(yīng)的Pvk。把所有(Pk，Pvk)數(shù)據(jù)做成二維表格并固化入存儲器。在實際應(yīng)用中，壓力傳感器的壓力輸出值P必然在P坐標(biāo)軸某一段[Pk，Pk+1)上有定義，即Pk≤P

(2)

線性插值法可以對單變量體系下的壓力傳感器進(jìn)行線性度補償，但無法對溫度變化造成的零點漂移和靈敏度漂移進(jìn)行溫度補償。此時，可以采用雙線性插值的方法，引入溫度輸出值T。

1.3.2 雙線性插值

雙線性插值基本思路是在兩個變量方向分別進(jìn)行線性插值。故以雙變量體系下(P，T)的壓力傳感器為例，傳感器雙線性插值示意圖如圖2所示。圖2中：Qk(Pk，Tk，Pvk)、Qk+1(Pk+1，Tk+1，Pvk+1)為壓力傳感器在環(huán)境溫度為K時的標(biāo)定點；Qj(Pj，Tj，Pvj)、Qj+1(Pj+1，Tj+1，Pvj+1)為壓力傳感器在環(huán)境溫度為J時的標(biāo)定點；點O(Po，To，Pvo)為測試點(Po和To已知)。

圖2 傳感器雙線性插值示意圖Fig.2 The bilinear interpolation of sensor

插值公式推導(dǎo)的步驟如下。

①沿Pk、Pk+1方向進(jìn)行線性插值：

②沿Pj、Pj+1方向進(jìn)行線性插值：

③一般情況下，Tk和Tk+1、Tj和Tj+1有著細(xì)微的差別。為了便于插值，可對Tk和Tk+1、Tj和Tj+1作均值處理，重新記為Tk、Tj；沿Tk、Tj方向進(jìn)行線性插值，最終完成一次雙線性插值，求得Pvo。

(3)

通過前述內(nèi)容，可以總結(jié)出對于多變量體系壓力傳感器的插值步驟為：當(dāng)前傳感器輸出獲取→根據(jù)傳感器輸出選取插值節(jié)點值→計算插值基函數(shù)值→用循環(huán)嵌套計算插值函數(shù)值。

雙線性插值法的優(yōu)勢在于可直接利用原始測試數(shù)據(jù)，簡單直觀，計算量較小，具有較高精度，且適用于多變量場合。但其缺點也十分明顯，主要有如下幾點。

①較查表法而言，雙線性插值法所需的存儲空間雖大大減少，但其仍處在一個非常高的水平。

②由于雙線性插值法的特性，補償算法整體穩(wěn)定性較差[9]。在標(biāo)定過程中，如果出現(xiàn)了因壓力泄漏、溫度失準(zhǔn)、電路故障等情況造成的數(shù)據(jù)出錯或失準(zhǔn)，將會影響插值精度，且難以察覺。

③在推導(dǎo)式(3)時，采用了取均值的處理方式來保證插值的進(jìn)行。但這樣會引入系統(tǒng)誤差，最終影響插值精度。

2 基于最小二乘法的曲面擬合補償算法

最小二乘法是一項古老的數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，主要用于參數(shù)估計。它使數(shù)學(xué)模型在誤差平方和最小的情況下擬合試驗數(shù)據(jù)。早在19世紀(jì)初，清楚、簡明地論述最小二乘法的文章便被發(fā)表。經(jīng)過200多年的不斷發(fā)展和完善，特別是進(jìn)入信息時代以來，借助計算機的強大運算能力，最小二乘法在工程技術(shù)的各領(lǐng)域、各學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用。

對于形如式(1)的二元高次多項式方程，根據(jù)最小二乘法的思想，可定義函數(shù)Q為誤差平方和、φij(P,T)=PiTj、N為采樣數(shù)據(jù)樣本總數(shù)，則：

(4)

根據(jù)多元函數(shù)極值的必要條件：

(Pp,Tp)]φkl(Pp,Tp)=0

(5)

展開后，式(5)表示為內(nèi)積形式：

(6)

式中：0≤k≤m；0≤l≤n。

式(6)可表達(dá)為矩陣的形式，即正規(guī)方程[10]：

(7)

①式(7)中，左邊內(nèi)積矩陣非奇異。

求解式(7)，可得f(x)在函數(shù)類Φm中最小二乘逼近函數(shù)y(x)的表達(dá)式：

擬合余項為：

通過求解式(7)的線性方程組，確定曲面系數(shù)矩陣a，即式(1)的形式可確定。同時，在式(7)的基礎(chǔ)上，可令若干個交叉項階次過高的aij為0，使式(1)變?yōu)槿表椂囗検?，以避免過多的系數(shù)項。

3 算法軟件設(shè)計與實現(xiàn)

算法軟件流程為：①讀取算法配置文件；②讀取采樣數(shù)據(jù)文件；③建立正規(guī)方程；④求解正規(guī)方程；⑤校驗精度；⑥輸出結(jié)果。

通過第二節(jié)的討論，明確了補償算法的原理以及求解目標(biāo)函數(shù)的方法。接下來以Visual Basic為軟件平臺，設(shè)計、實現(xiàn)補償算法，驗證算法的有效性，并將算法應(yīng)用于工程實踐中。

①算法配置文件主要包括：各項aij的序列、溫度點數(shù)量、每個溫度點下壓力點數(shù)量；采樣數(shù)據(jù)文件記錄補償過程中各Pv、P、T的值。同時，需對采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理，將數(shù)據(jù)控制在一定的范圍內(nèi)，以提升后續(xù)計算速度。

②正規(guī)方程利用相應(yīng)的內(nèi)積計算模塊，按照式(4)構(gòu)建。定義雙精度數(shù)據(jù)類型數(shù)組，存儲正規(guī)方程中各內(nèi)積構(gòu)成的元素。

③正規(guī)方程的求解，實質(zhì)是線性方程組求解的問題。本算法采用逐次超松弛迭代法(successive over relaxation,SOR)求解正規(guī)方程。在迭代計算模塊中，構(gòu)建四個雙精度數(shù)據(jù)類型數(shù)組，分別存儲迭代初值、迭代值、加速項以及常速項。在迭代計算模塊中，需設(shè)置迭代次數(shù)上限。當(dāng)?shù)螖?shù)超過上限后仍無法滿足迭代精度，則迭代過程終止并報告錯誤。

4 試驗結(jié)果與誤差分析

試驗所選壓力傳感器的量程為0～40 MPa。在高低溫試驗箱內(nèi)部，將壓力傳感器裝夾在與標(biāo)定壓力源連通的夾具上。在不同的溫度點下，利用標(biāo)準(zhǔn)壓力源(Fluke公司7350壓力控制器)，對壓力傳感器輸入標(biāo)定壓力(從0%～100%量程取若干個Pv)，讀取、記錄傳感器輸出的若干組Pv、P和T。

試驗中，選取測試溫度點為-40 ℃、-20 ℃、0 ℃、+20 ℃、+40 ℃、+60 ℃、+80 ℃。在各溫度點分別施加9檔壓力(以滿量程的百分比形式表示)，即0%、12.5%、25%、37.5%、50%、62.5%、75%、87.5%、100%。在每個“溫度點-輸入壓力”下讀取標(biāo)定壓力Pv、壓力傳感器電壓輸出值P、溫度傳感器電壓輸出值T，如表1所示。

表1 補償采樣數(shù)據(jù)Tab.1 Compensation sampling data

在利用算法軟件計算前，按照式(1)配置m=4、n=7，構(gòu)建缺項多項式，共21項；7個溫度點，每個溫度點下9個壓力點；所有P、T采樣數(shù)據(jù)放大20倍作標(biāo)準(zhǔn)化處理；SOR迭代法ω=1.1，迭代精度Acc=10-8[11]。

配置完成后，算法軟件將自動開始計算，輸出多項式系數(shù)項如表2所示。

表2 多項式系數(shù)項Tab.2 Polynomial coefficient terms

將表1、表2數(shù)據(jù)代入式(1)，得到如表3所示的回代壓力值。

表3 回代壓力值Tab.3 Back substituted pressures

5 結(jié)束語

本文利用最小二乘法的基本定義，將曲線擬合法轉(zhuǎn)化為多項式系數(shù)項可預(yù)置的曲面擬合法，提出了一種基于最小二乘法的曲面擬合補償算法。該補償算法可有效補償硅壓阻式壓力傳感器的零點、靈敏度和線性度，準(zhǔn)確地建立表達(dá)傳感器輸入-輸出關(guān)系的特征方程。試驗結(jié)果表明，該補償算法對硅壓阻式壓力傳感器的補償效果十分明顯，極大地提高了該類傳感器在-40～+80 ℃范圍內(nèi)的輸出精度；同時，該算法的設(shè)計和實現(xiàn)僅需利用較為基礎(chǔ)的編程語言，可操作性強，有著良好的工程應(yīng)用價值。

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