高 瑜,李 雄
(1.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部,陜西渭南714000;2.西安歐亞學(xué)院數(shù)理與信息技術(shù)應(yīng)用中心,陜西西安710065)
近年來,分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)成為了最熱門的非線性系統(tǒng)研究的領(lǐng)域,推動了分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及同步控制方法的發(fā)展[1-3]?;煦缦到y(tǒng)同步控制由于在通信領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用得到了研究者的重視,人們相繼提出了很多種分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制方法[4],如滑模變結(jié)構(gòu)控制法、自適應(yīng)控制法、模糊控制法、脈沖控制法和Backstepping控制法等[5-7]。對于不確定分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)同步控制也有一些結(jié)果[8-9],如文獻(xiàn)[10]在系統(tǒng)不確定項滿足有界的情況下利用滑??刂茖崿F(xiàn)了不確定分?jǐn)?shù)階Duffing-Holmes系統(tǒng)的同步問題,文獻(xiàn)[11]研究了不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊同步控制問題等。
自適應(yīng)滑??刂品椒ǔS脕硌芯繋Р淮_定項的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng),并且在穩(wěn)定性分析中通常構(gòu)造平方Lyapunov函數(shù)。隨著文獻(xiàn)[2]提出了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的Lyapunov第二方法,對于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的控制及穩(wěn)定性分析逐漸成為研究熱點。但平方函數(shù)具有非常復(fù)雜的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)形式,這也使得分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中無法應(yīng)用平方Lyapunov函數(shù)。所以到目前為止幾乎沒有文獻(xiàn)成功實現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模控制或同步。隨著研究的深入,許多分?jǐn)?shù)階模型不僅需要滿足漸近穩(wěn)定,更需要在有限時間內(nèi)穩(wěn)定,這也給非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析帶來了難度。文獻(xiàn)[12]研究了分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)在有限時間內(nèi)不存在穩(wěn)定點的問題,推動了非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性理論的進(jìn)一步發(fā)展。在非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定理論中,文獻(xiàn)[13]通過變量替換和函數(shù)構(gòu)造提出了一個新的非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的充分條件,具有很強(qiáng)的推廣性,但是只是針對一類整數(shù)階非線性系統(tǒng),對于分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性理論的研究還尚未深入。
文中主要研究了基于滑??刂频牟淮_定分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)同步,首先針對二維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng),通過構(gòu)造分?jǐn)?shù)階滑模面及分?jǐn)?shù)階微分方程形式的自適應(yīng)規(guī)則,設(shè)計了同步控制器,并利用分?jǐn)?shù)階Lyapunov第二方法證明了構(gòu)造方法的合理性(需要指出的是本文系統(tǒng)中的不確定項可以是完全未知的)。以分?jǐn)?shù)階Duffing-Holmes系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Van der Pol系統(tǒng)為實例,實現(xiàn)了驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)有限時間同步控制(即在有限時間內(nèi)誤差系統(tǒng)趨于滑模面),驗證了該方法和控制器的有效性。
分?jǐn)?shù)階微積分概念提出了很多種定義,文中采用Caputo定義作為研究工具。
分?jǐn)?shù)階積分定義為
Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義為
其中,Γ(?)為Gamma函數(shù)。
當(dāng)0<α<1時,Caputo分?jǐn)?shù)階微分的解等價于
定義1雙參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù)定義為
其中α,β>0,z為復(fù)數(shù),Γ(?)為 Gamma函數(shù),其Laplace變化定義為
其中R(s)為s的實部,λ∈R,L(?)為Laplace變換。
引理1如果那么x(t)在[0,+∞)上單調(diào)減少;同理則x(t)在 [0,+∞)上單調(diào)增加。
證明只需要證明引理1的前半部分,后半部分證明思路相同。因為,所以一定存在非負(fù)可積函數(shù)y(t)使得
對上式兩邊同時取α階積分可得
若有t2>t1≥0時,有
這也就證明了x(t)在[0,+∞)上單調(diào)減少。
引理2設(shè)且具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),則
其中P為任意的n階正定矩陣。
引理3(分?jǐn)?shù)階Lyapunov第二方法)設(shè)原點是如下分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的平衡點:
其中x(t)∈Rn為系統(tǒng)變量,f(t,x(t)為滿足局部Lipschitz條件的非線性函數(shù)。若存在Lyapunov函數(shù)V(t,x(t)和Κ類函數(shù)αi(i=1,2,3)使得
則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。
引理4若滿足以下等式:
其中x(t)和y(t)∈Rn具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù) ,P,Q∈Rn×n為兩個正定矩陣。若存在正定的矩陣M和正常數(shù)h使得
考慮如下的二維不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)
其中α∈(0,1),X(t)=[x1,x2]∈R2為系統(tǒng)輸入變量,f(X,t)∈R為非線性函數(shù),Δf(X)∈R為系統(tǒng)的不確定項,dx(t)∈R為隨機(jī)擾動,u(t)∈R為控制變量。
考慮如下的響應(yīng)系統(tǒng)
其中Y(t)=[y1,y2]∈R2為系統(tǒng)響應(yīng)變量,g(Y,t)∈R為非線性函數(shù),Δg(Y)∈R為系統(tǒng)的不確定項 ,dy(t)∈R為隨機(jī)擾動。
定義如下的同步誤差系統(tǒng)
定義 2.1如果存在正常數(shù)T=T(E(0)>0,使得當(dāng)成立,則誤差系統(tǒng)(3)關(guān)于T有限時間穩(wěn)定。
假設(shè) 2.1系統(tǒng)不確定項 Δg(Y),Δf(X)為有界變量,即存在正常數(shù)γ1,使得
假設(shè) 2.2系統(tǒng)隨機(jī)擾動dx(t),dy(t)為有界變量,即存在正常數(shù)γ2,使得
設(shè)計如下的分?jǐn)?shù)階滑模面
當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滑模運動時,需滿足如下條件
通過簡單的證明推導(dǎo),可以得出上式是漸近穩(wěn)定的,即誤差系統(tǒng)變量趨于零。
本文所要討論的問題是如何設(shè)計同步控制器,使得誤差系統(tǒng)能在有限時間內(nèi)達(dá)到或趨近于滑模面
由式(4)可以得到,
為了實現(xiàn)同步誤差系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)穩(wěn)定,本文設(shè)計如下的自適應(yīng)規(guī)則:
因此,可以設(shè)計如下的控制器:
定理1給定初始條件下,設(shè)計如上的自適應(yīng)滑??刂破骱妥赃m應(yīng)規(guī)則的作用下,同步誤差系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)趨近滑模面,即實現(xiàn)了驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)同步控制。
證明 構(gòu)造 Lyapunov函數(shù)為V(t)=| |s(t),并對其兩邊同時取α階導(dǎo)數(shù)得
將滑模面方程帶入上式中得
由假設(shè)2.1和假設(shè)2.2可得
其中ξ=min{ξ1,ξ2}。
由上式可以進(jìn)一步得
對上式兩邊同時?。?,t)上的積分得
仿真中驅(qū)動系統(tǒng)選取為分?jǐn)?shù)階Duffing-Holmes系統(tǒng),響應(yīng)系統(tǒng)選取為分?jǐn)?shù)階Van der Pol系統(tǒng)。系統(tǒng)不確定項與隨機(jī)擾動分別選取如下:
選取系統(tǒng)初值
x1(0)=0.2,x2(0)=-0.2,y1(0)=-0.1,y2(0)=0.3.給定參數(shù)
由定理1設(shè)計如下滑模面與同步控制器:
仿真結(jié)果如圖1,圖2,圖3所示。
圖1 同步誤差曲線圖
文中研究了不確定分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步控制,通過構(gòu)造分?jǐn)?shù)階滑模面以及分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)規(guī)則,在滿足系統(tǒng)所有變量有界的情況下,利用Lyapunov函數(shù)證明了定理的有效性和魯棒性?;谠摾碚撛O(shè)計了自適應(yīng)控制器,實現(xiàn)了二維分?jǐn)?shù)階Duffing-Holmes系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)階Van der Pol系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)有限時間同步,通過合理選取初值與參數(shù)值進(jìn)行數(shù)值仿真,可以得到誤差系統(tǒng)能夠在有限時間內(nèi)趨于滑模面。該理論的研究有助于掌握分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì),同步控制方法也具有良好的魯棒性。本文所研究的方法仍需進(jìn)一步改進(jìn),針對不同的階次控制效果可能出現(xiàn)差異性,更嚴(yán)格的控制輸入條件下(如帶死區(qū))實現(xiàn)自適應(yīng)同步控制需要進(jìn)一步的研究。
圖2 驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)同步曲線(x1-y1)
圖3 驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)同步曲線(x2-y2)