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(1.同濟大學(xué)巖土及地下工程教育部重點實驗室，上?！?00092；　2.同濟大學(xué)土木工程學(xué)院，上海　200092)

0　引言

在基坑工程中，對地下水的控制一直是重要研究課題。尤其是在基坑下存在承壓含水層時，對承壓水的正確處理不僅關(guān)系基坑本體的安全，也對基坑周圍環(huán)境的安危具有重大影響。為此，通常基坑工程中會通過抽水井抽水來降低承壓水頭，以滿足基坑坑底抗突涌穩(wěn)定性的要求。基坑開挖降水引起的地層變形也要控制在合理的范圍內(nèi)，因而需要合理計算抽降承壓水引起的地層變形量。

抽降承壓水誘發(fā)的地層變形計算主要涉及到地下水的滲流和土體變形這兩方面[1]。Hantush和Jacob(1955)[2]提出了不考慮弱透水層彈性釋水但有越流補給情況下，承壓含水層中完整井抽水引起的穩(wěn)定流和非穩(wěn)定流水位降深解析解。Gambolati和Freeze(1973)[3]在研究威尼斯地區(qū)由地下水開采引起的地面沉降時首次提出兩步法計算模型，并采用有限差分法求得該模型的解。陳崇希(2001)[4]和Chen(2003)[5]運用有限差分法，在建立考慮了滲透系數(shù)隨孔隙比變化的三維滲流和一維非線性固結(jié)的部分耦合模型的基礎(chǔ)上，對蘇州地區(qū)的地面沉降的新特征進行了模擬。Verruijt(1969)[6]及Bear和Corapcioglu(1981)[7]假定抽水含水層處于平面應(yīng)力狀態(tài)，基于Biot固結(jié)理論將含水層厚度方向積分后等效為均值，建立了含水層沉降計算模型等。

本文基于Biot固結(jié)理論的完全耦合模型，研究抽降承壓水引起地層二維變形，將地下水滲流模型和土體變形理論統(tǒng)一在同一物理場內(nèi)，考慮地下水滲流和土體變形的相互作用，獲得真正的流固耦合的完全承壓含水層及越流承壓含水層側(cè)向無限延伸條件下的完整井抽水引起地層的二維變形解析解。

1　飽和土體固結(jié)控制方程

1.1　質(zhì)量守恒方程

首先建立孔隙流體的質(zhì)量守恒方程，在連續(xù)介質(zhì)土體中取一微元體如圖1所示，該單元體積為V，則V=ΔxΔyΔz，其中,Δx,Δy和Δz分別為單元體沿坐標(biāo)軸x,y和z的單位長度。孔隙流體的質(zhì)量為nρfV。

根據(jù)流體質(zhì)量守恒原理可得：

(1)

同理可以得到孔隙介質(zhì)骨架的質(zhì)量守恒方程為：

(2)

孔隙流體與孔隙介質(zhì)顆粒的狀態(tài)方程可表達為：

dρf=βfρfdp

(3)

(4)

其中，βf為孔隙流體的壓縮系數(shù)；βs為在孔隙流體壓力作用下孔隙介質(zhì)顆粒的壓縮系數(shù)。

(5)

(6)

其中：

(7)

根據(jù)太沙基有效應(yīng)力原理，對各向同性線彈性體有σ′=-ε/βb；αβ=1-βs/βb為Biot-Willis系數(shù)，βb為土體壓縮模量K的倒數(shù)，此時式(6)變成：

(8)

其中：

S=nβf+(αβ-n)βs

(9)

如忽略固體顆粒的壓縮，土體質(zhì)量守恒式(6)變?yōu)椋?/p>

(10)

(11)

1.2　平衡方程

在飽和土體中取一微分單元體，如不考慮體積力，z坐標(biāo)向上為正，應(yīng)力以壓為正，則三維平衡微分方程為：

(12)

根據(jù)太沙基有效應(yīng)力原理知總應(yīng)力為有效應(yīng)力和孔隙壓力p之和，且孔隙水不承受剪應(yīng)力，由此可得由有效應(yīng)力表示的靜力平衡方程：

(13)

1.3　土體本構(gòu)和相容方程

土體的變形是由有效應(yīng)力引起的，假定土體的有效應(yīng)力和應(yīng)變之間滿足廣義胡克定律，對各向同性的線彈性土體，其可表示為：

(14)

在小應(yīng)變假定下，聯(lián)立幾何相容方程、本構(gòu)方程和平衡方程，容易得到在直角坐標(biāo)系下以位移和空隙壓力表示的平衡微分方程：

(15)

其中，▽2為在直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯算子。

土體的固結(jié)控制方程即由以上質(zhì)量守恒方程、靜力平衡方程、物性本構(gòu)方程和幾何方程組成，滲流和固結(jié)是完全耦合的。

2　完全承壓含水層中抽灌完整井引起的土體二維固結(jié)解析解

假定含水層的變形處于平面應(yīng)力狀態(tài)，即豎向抽水井引起的固結(jié)變形是基于豎向總應(yīng)力始終保持不變，剪應(yīng)力也不變。當(dāng)?shù)叵滤蚍峭暾鲃訒r，由于濾水管沒有貫穿整個含水層，在水井附近地下水的壓力水頭和流速是隨著平面位置和高程而變化的，發(fā)生的是三維流動，產(chǎn)生的變形是三維的，易得知只有完整井抽水才滿足平面應(yīng)力假定條件。因此本文研究抽灌完整井作用引起的土體平面應(yīng)力固結(jié)問題。

2.1　基本假定與控制方程

側(cè)向無限完全承壓含水層中存在一個完整井以定流量Q抽水，井壁流量均布。含水層土層厚度為B，徑向滲透系數(shù)為Kr。

由于平面應(yīng)力固結(jié)模型中假定豎向總應(yīng)力保持不變即豎向總應(yīng)力增量為0，根據(jù)土體固結(jié)控制方程易得到：

(16)

由于完整井抽水作用引起的是軸對稱變形，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，體應(yīng)變的表達式為：

(17)

將式(17)代入式(16)可得：

(18)

(19)

將式(19)中f稱為無量綱積分常數(shù)，實際上是z和t的函數(shù)。對于徑向無限延伸的含水層這一積分常數(shù)可以視為0，即孔隙水壓力和所有應(yīng)變均為0。

當(dāng)f=0時，式(17)～式(19)可化簡為：

(20)

(21)

(22)

式(20)～式(22)為平面應(yīng)力模型假設(shè)下的基本控制方程(Verruijt，1969[6]；Bear&Corapcooglu，1981[7])。在平面應(yīng)力模型中體應(yīng)變的大小有水平應(yīng)變和縱向應(yīng)變的貢獻。而在經(jīng)典理論中，因為水平應(yīng)變假設(shè)等于0，所以體應(yīng)變值就等于豎向應(yīng)變。

2.2　孔壓的求解

在平面應(yīng)力狀態(tài)下，土體質(zhì)量守恒方程為：

(23)

將式(20)代入式(23)：

(24)

固結(jié)系數(shù)cv定義如下：

(25)

對式(24)中的t進行Laplace變換后得：

(26)

其中，s為Laplace變換參數(shù)。

式(26)的解為：

(27)

為了滿足在無限遠(yuǎn)處孔壓為0的邊界條件，易得式(27)中的待定系數(shù)A1=0。

承壓完整井抽水時的井邊界條件為：

(28)

對井邊界條件式(28)進行Laplace變換后得：

(29)

將式(27)代入式(29)后易得常數(shù)A2，而后進行Laplace逆變換后可得孔隙水壓力在真實物理域內(nèi)的解析表達為：

(30)

2.3　位移的求解

將式(30)代入式(20)中的應(yīng)變值可表示為：

(31)

將式(31)代入式(21)中，并對r進行積分：

(32)

當(dāng)：

(33)

(34)

豎向位移可以從式(31)中直接得出來：

(35)

假設(shè)承壓含水層的底面豎向位移為0，w代表含水層上表面的豎向位移，可得出：

(36)

3　越流承壓含水層中抽灌井引起的土體二維固結(jié)解析解

3.1　基本假定與控制方程

從上小節(jié)中我們已經(jīng)得到：

(37)

(38)

(39)

根據(jù)土體質(zhì)量守恒方程需增加一個越流項，可表示為：

(40)

其中，λ2=KBB′/K′,K為承壓抽水層的滲透系數(shù)，K′為弱透水層的滲透系數(shù)，B為抽水含水層的厚度，B′為弱透水層的厚度，λ為越流因子。

3.2　孔壓的求解

聯(lián)立式(37)和式(40)可得：

(41)

(42)

式(41)應(yīng)滿足如下邊界條件：

r→∞:p=0

(43)

(44)

對式(41)及其邊界條件進行Laplace變換，求得Laplace空間下的解析式為：

(45)

逆變換可得孔隙水壓力的閉合解析解為：

(46)

其中，W(x,a)為Hantush 和Jacob井函數(shù)，具體表達式為：

(47)

考慮到W(0,a)=2K0(a)，當(dāng)抽水時間足夠長時，孔壓的解析表達式變?yōu)椋?/p>

(48)

3.3　位移的求解

將式(45)代入經(jīng)Laplace變化后的控制方程后聯(lián)立并經(jīng)Laplace逆變換后可得抽水含水層頂面的位移的閉合解析解：

(49)

考慮到W(0,a)=2K0(a)，當(dāng)抽水時間足夠長時，抽水含水層地面的位移解析表達式變?yōu)椋?/p>

(50)

(51)

其中，A為積分常數(shù)，當(dāng)x→0時K1(x)≈1/x，并且徑向位移為0，從式(51)中可以得到：

(52)

將式(52)代入式(51)得：

(53)

對式(53)進行逆變換最終得到徑向位移的完整表達式為：

(54)

從式(54)也很容易驗證得到ρ→0和ρ→∞時，徑向位移均為0，滿足給定邊界條件。

此外，當(dāng)抽水時間足夠長時，即τ→∞，則滲流穩(wěn)定狀態(tài)下的徑向位移解析表達式為：

(55)

4　結(jié)語

1)基于Biot固結(jié)理論以及完全承壓含水層中完整井抽水的特點，以平面應(yīng)力假設(shè)模型為基礎(chǔ)，應(yīng)用Laplace變換技術(shù)，求解得到了完全承壓含水層和側(cè)向無限延伸情況下，抽降水引起的水位降深解析解，并應(yīng)用土力學(xué)原理，獲得了完整井抽水引起地層的二維變形解析解，利用該解析解可以計算在穩(wěn)定流和非穩(wěn)定流抽水作用下承壓含水層的徑向和豎向變形。

2)同樣基于平面應(yīng)力固結(jié)模型假定的基礎(chǔ)上，應(yīng)用Laplace積分變換技術(shù)，得到了承壓含水層在有越流補給情況下，完整井抽水引起的地層的孔壓、徑向位移和豎向位移的解析表達。

3)本文得到的方法，對灌水引起的地層變形同樣適用。