白添瑞

摘 要：Stokes公式是一般的積分公式，Stokes公式的一維形式上就是微積分基本N-L公式，二維情形上則是Green公式，三維空間上是Gauss公式，在曲面上表現(xiàn)為通常意義上的Stokes公式。所以思考由低維向高維公式的轉(zhuǎn)換思想以及一般的Stokes公式的證明，實現(xiàn)Stokes公式在四維空間上的推廣，并將所得結(jié)果和一般的Stokes公式進行對比，驗證其正確性。

關(guān)鍵詞：Stokes公式；Green公式；Gauss公式；四維空間推廣

1 前言

N-L公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式這個公式在數(shù)學(xué)分析中有著非常重要的地位，縱觀這幾個公式之間有著共同的特點：

（1）他們基本上是把從區(qū)間或區(qū)域上的計算轉(zhuǎn)化到邊界上計算，如Green公式是從平面區(qū)域轉(zhuǎn)化到邊界曲線L上的；

（2）他們分別是從一維空間到二維空間再到三維空間上的轉(zhuǎn)換.

根據(jù)以上敘述，我們發(fā)揮發(fā)散性思維：是否可以推廣到思維空間呢？以下將對此問題進行研究。

2 預(yù)備知識

2.1 N-L基本公式

設(shè)f 是[a，b] 上連續(xù)，設(shè)F 是f 在[a，b] 上的一個原函數(shù)，則：

（2.1）

公式（2.1）就稱之為N-L（牛頓-萊布尼茲）公式。

2.2Stokes公式

設(shè)S為光滑曲面或分片光滑的雙側(cè)曲面，其邊界為光滑或分段光滑閉曲線 ，若P（x，y，z） ，Q（x，y，z） 與R（x，y，z） 在S 及其邊界 上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：

（2.4）

公式（2.4）就是Stokes公式，其中 取S 的誘導(dǎo)定向。

3 三維空間內(nèi)的Stokes公式的推廣

Stokes公式是Green公式的推廣. Green公式表達了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分間的關(guān)系， 而Stokes公式則把曲面Σ上的曲面積分與沿著Σ 的邊界曲線的曲線積分聯(lián)系起來. 下面的公式就敘述這種關(guān)系.

定理3.2.1：設(shè)Γ為分段光滑的空間有向閉曲線，Σ 是以Γ 為邊界的分片光滑的有向曲面， Γ 的正向與Σ的側(cè)符合右手規(guī)則， 函數(shù)P（x，y，z） ，Q（x，y，z） ，R（x，y，z） 在包含曲面Σ在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則有公式

上式叫做Stokes公式.

證明 設(shè)Σ與平行于z軸的直線相交不

多于一點， 并Σ取上側(cè)，有向曲線C為Σ

的正向邊界曲線Γ在xoy 的投影.且所圍區(qū)

域Dxy. 如右圖.

證明的思路是： 設(shè)法把曲面積分

化為閉區(qū)域Dxy 上的二重積分，然后通過

Green公式使它與曲線積分相聯(lián)系.

根據(jù)對面積的和對坐標的曲面積分間的關(guān)系，有

當Σ為z=f（x，y） ，（x，y）∈Dxy 時，有向曲面Σ的法向量的方向余弦為

因此 ， 于是

即

上式右端的曲面積分化為二重積分時， 把P（x，y，z） 中的z 用f（x，y） 來代替. 因為由復(fù)合函數(shù)的微分法，有

所以， 我們得到

（13-7-1）

根據(jù)Green公式，上式右端的二重積分可化為沿閉區(qū)域Dxy 的邊界C的曲線積分：

于是立即可得

因為函數(shù)P[x，y，f（x，y） 在曲線C上點（x，y） 處的值與函數(shù)P（x，y，z） 在曲線Γ 上對應(yīng)點（x，y，z）處的值是一樣的，并且兩曲線上的對應(yīng)小弧段在x軸上的投影也一樣，根據(jù)曲線積分的定義，上式右端的曲線積分等于曲線Γ上的曲線積分 . 因此

. （3.2）

同理可證

于是立即可得

.

證畢.需要注意的是：

（1）如果Σ取下側(cè)，Γ也相應(yīng)地改成相反的方向，那么（3.2）式兩端同時改變符號，因此（3.2）式仍成立.

（2）如果曲面與平行于z 軸的直線的交點多于一個，則可作輔助曲線把曲面分成幾部分， 然后應(yīng)用公式（3.2）并相加.因為沿輔助曲線而方向相反的兩個曲線積分相加時正好抵消，所以對于這一類曲面公式（3.2）也成立.

（3）為了便于記憶， 把Stokes公式寫成

另一種形式

其中 .

（4）Stokes公式的實質(zhì)： 表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.

（5）當Σ是xoy 面的平面閉區(qū)域時，Stokes公式就變成Green公式. 因此， 格林公式是Stokes公式的一個特殊情形.

4 Stokes的四維空間推廣

根據(jù)以上三維空間內(nèi)的Stokes公式的推廣，在此將其推廣到四維空間中，首先假設(shè)：

設(shè)K是R4 中由光滑或分片光滑的封閉曲面 所圍成的三維單連通封閉區(qū)域，K1（x，y，z，t） ，K2（x，y，z，t） ，K3（x，y，z，t） 與K4（x，y，z，t） 在K上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：

（4.1）

其中 表示有向封閉曲面 的外側(cè)。

結(jié)語

綜上所述，在一維的直線上，Stokes公式就是N-L公式；在平面上，Stokes公式就是Green 公式；在空間的情形；Stokes 就是Gauss 公式，Stokes公式是一般的積分公式，Stokes公式的一維形式上就是微積分基本公式，二維情形上則是Green公式，三維空間上是Gauss公式，此推論在四維空間上同樣適用。

限于本人水平有限，文中還有很多地方值得深思和延伸，希望在今后的研究中能夠加入深入。

參考文獻：

[1]褚衍彪. N-L公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式縱橫談[J]. 科教文匯旬刊， 2007（11）：184-185.

[2]宋來忠. Gauss映照非退化的曲面及利用Stokes公式所得的一些整體性質(zhì)[J]. 湖北科技學(xué)院學(xué)報， 1987（s1）：23-28.

[3]劉紅玉， LIUHong-yu. Stokes公式及其在高維空間中的推廣[J]. 廣東技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報， 2015， 36（2）：6-8.