姜偉偉，姜學(xué)鵬

（1.91049部隊(duì)，山東青島266400；2.海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001）

基于退化建模的可靠性預(yù)測(cè)要求用戶預(yù)先指定失效閾值，當(dāng)退化量達(dá)到該閾值時(shí)，認(rèn)為部件由于退化失效已經(jīng)無(wú)法達(dá)到預(yù)期功能。在傳統(tǒng)的退化建模方法中，要求該失效閾值為一個(gè)確定的臨界值，而對(duì)于大多工程應(yīng)用受限于試驗(yàn)條件及經(jīng)濟(jì)成本，可靠性數(shù)據(jù)有限，失效閾值難以準(zhǔn)確確定，故失效閾值通常存在不確定性。這種不確定性目前可歸納為2類[1-2]：偶然不確定性和認(rèn)識(shí)不確定性。偶然不確定性是由外界環(huán)境改變等因素引起的固有不確定性，具有隨機(jī)特性。認(rèn)識(shí)不確定性是由于人們?nèi)狈γ枋龌蝾A(yù)測(cè)系統(tǒng)行為的信息引起的。由于這種不確定性的普遍存在，考慮失效閾值為一個(gè)服從某一假設(shè)分布的隨機(jī)變量更具有現(xiàn)實(shí)意義[3-6]。

如果在退化建模中，不確定性能夠被很好地限制和處理，則得到的可靠性估計(jì)將更加精確，并具有實(shí)際意義，因而如何處理模型不確定性在退化建模研究中已成為一個(gè)重要課題[7-8]。目前，學(xué)者們運(yùn)用證據(jù)理論[9-11]、區(qū)間分析[12-13]、貝葉斯理論[14-15]、可能性理論[16-17]等各種理論方法對(duì)不確定性進(jìn)行了描述和表征，其中利用可能性理論和模糊數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)處理可靠性數(shù)據(jù)不精確性的研究越來(lái)越多[18-23]。

可能性理論是與概率論相平行的理論體系，由Zadeh通過(guò)將可能性概念與模糊集合緊密聯(lián)系而首次提出[24]。概率論是以事件的隨機(jī)性為研究對(duì)象，而可能性理論則是針對(duì)事件的模糊性和不確定性。可能性理論能夠有效地處理由不確定性因素以及模糊信息所導(dǎo)致的問(wèn)題[6]，這是概率論無(wú)法比擬的。本文試圖利用可能性理論處理退化失效分析中的不確定性，用可能性分布表示與失效閾值有關(guān)的認(rèn)識(shí)不確定性，從而較好地處理壽命預(yù)測(cè)模型中混合不確定性信息。

1 退化失效建模的可能性方法

在可靠性預(yù)測(cè)建模分析的過(guò)程中，如果關(guān)于失效機(jī)理的知識(shí)有限，則很難用概率術(shù)語(yǔ)表述它。另外，在專家知識(shí)轉(zhuǎn)化為概率術(shù)語(yǔ)環(huán)節(jié)中會(huì)在形式化數(shù)據(jù)中注入不公正的信息。本文通過(guò)運(yùn)用可能性分布來(lái)表示與失效閾值有關(guān)的認(rèn)識(shí)不確定性，從而在適當(dāng)考慮所包含不確定性的基礎(chǔ)上，提出一種根據(jù)已知退化參數(shù)歷史檢測(cè)信息來(lái)預(yù)測(cè)產(chǎn)品壽命的方法。

本方法通過(guò)反復(fù)實(shí)施隨機(jī)變量的Monte Carlo采樣來(lái)處理產(chǎn)品的偶然性行為，并在每次采樣時(shí)運(yùn)用可能性分布分析來(lái)處理可能性變量中的認(rèn)識(shí)不確定性。對(duì)于偶然性變量的每個(gè)實(shí)現(xiàn)，此方法獲得可能性隨機(jī)分布的計(jì)算來(lái)表示失效時(shí)間（Time to Failure，TTF）。最后，用不同的置信度將可能性隨機(jī)分布組合為一組有限累積分布[25]。

1.1 基本假設(shè)

假設(shè)一個(gè)模型的輸出是n個(gè)不確定性變量Yj,j=1,2,…,n的函數(shù)f(Y)，其中前k個(gè)受到偶然不確定性的影響，后n-k個(gè)受到認(rèn)識(shí)不確定性的影響，且：

1）概率分布pyj(y)表示k個(gè)隨機(jī)變量的不確定性（偶然不確定性）；

2）可能性分布πyj(y)（表征語(yǔ)言變量Yj等于y的可能性程度）表示n-k個(gè)可能性變量的不確定性（認(rèn)識(shí)不確定性）。

對(duì)于包含上述2類不確定性的混合信息，可通過(guò)2個(gè)核心步驟進(jìn)行處理[24-25]：

1）通過(guò)隨機(jī)變量的反復(fù)Monte Carlo采樣處理偶然不確定性；

2）通過(guò)可能性區(qū)間聚集處理認(rèn)識(shí)不確定性。

1.2 隨機(jī)可能性分布的生成

對(duì)于偶然性變量的概率分布運(yùn)用Monte Carlo采樣，獲得k元隨機(jī)值數(shù)組。然后，對(duì)該數(shù)組用模糊區(qū)間分析構(gòu)造f(Y)的可能性分布πif估計(jì)。經(jīng)過(guò)對(duì)偶然性變量的m次重復(fù)采樣后，聯(lián)合可能性集估計(jì)（i=1,2,…,m）給出f(Y)的估計(jì)作為隨機(jī)可能性分布。此過(guò)程的具體實(shí)現(xiàn)步驟為：

Step 1：采樣概率變量向量(Y1,Y2,…,Yk)的第i個(gè)實(shí)現(xiàn)。

Step 2：選擇一個(gè)可能性值α∈[0,1]，針對(duì)可能性分布(πYk+1,πYk+2,…,πYn)獲得其對(duì)應(yīng)的α-截集，并將該截集作為可能性變量(Yk+1,Yk+2,…,Yn)的可能值區(qū)間。

Step 3：對(duì)隨機(jī)變量(Y1,Y2,…,Yk)的采樣和可能性變量(Yk+1,Yk+2,…,Yn)對(duì)應(yīng)可能性分布(πYk+1,πYk+2,…,πYn)的α-截集，計(jì) 算的最小值和最大值。然后，取極值和分別作為的α-截集下限和上限。

Step 4：返回到Step 2，計(jì)算下一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)的α-截集；對(duì)所有m個(gè)α-截集重復(fù)Step 2、3后，獲得f(Y)的模糊隨機(jī)實(shí)現(xiàn)（模糊區(qū)間）πif作為極值和的選樣，即用它所有的α-截集區(qū)間進(jìn)行定義。

Step 5：回到Step 1，生成隨機(jī)變量的新實(shí)現(xiàn)。重復(fù)Step 1～Step 4共m次后，退出。

在程序結(jié)束時(shí)，獲得一組隨機(jī)可能性分布的實(shí)現(xiàn)，即。

1.3 .可能性區(qū)間聚集

根據(jù)Ferson方法[7]，對(duì)上述隨機(jī)可能性分布中包含的信息進(jìn)行聚集。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下。

Step 1：選擇可能性值α，構(gòu)建其對(duì)應(yīng)可能性分布的α-截集。

Step 2：定義一個(gè)新的可能性分布：

Step 3：對(duì)于任意集合A=(-∞,u]，分別計(jì)算與有關(guān)的可能性測(cè)度和必然性測(cè)度為：

Step 4：對(duì)所有i=1,2,…,m，重復(fù)步驟Step 1～3，最后計(jì)算step1選擇的上限累積分布（）和下限累積分布（）：

上述方法通過(guò)α-截集捕獲了偶然可變性和隨機(jī)模糊區(qū)間的認(rèn)識(shí)不精確性，并通過(guò)最大對(duì)累積分布和對(duì)隨機(jī)可能性分布包含信息進(jìn)行了聚集化處理。其中，和之間的間隔表示由認(rèn)識(shí)變量引起的不精確性；和的斜率表征偶然不確定性引起的結(jié)果的可變性。

2 實(shí)例分析

將上述方法在液浮陀螺儀隨機(jī)退化壽命預(yù)測(cè)中進(jìn)行應(yīng)用。典型的陀螺儀退化過(guò)程始于制造缺陷，在貯存及工作環(huán)境中逐漸退化至危及陀螺儀整體性能的臨界值。

在本例中，使用零偏值X(t)指示影響陀螺儀的退化水平，當(dāng)退化水平超過(guò)某一臨界閾值Df時(shí)，認(rèn)為陀螺儀失效。對(duì)于貯存狀態(tài)下的陀螺儀性能退化過(guò)程可采用以陀螺儀零偏值X(t)為指標(biāo)的隨機(jī)漂移布朗運(yùn)動(dòng)退化模型進(jìn)行描述[26]：

式（10）中：假設(shè)，而η和分別為未知的漂移常數(shù)和變異參數(shù)；σB為擴(kuò)散系數(shù)；B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

設(shè)定在時(shí)刻tP的退化水平測(cè)量值由測(cè)量的零偏值x(tP)給出，則分析目標(biāo)為根據(jù)退化水平x(tP)的測(cè)量值，預(yù)測(cè)部件的失效時(shí)間（TTF）。根據(jù)描述零偏值變化的隨機(jī)漂移布朗運(yùn)動(dòng)退化模型，TTF是當(dāng)前時(shí)刻tP、退化水平x(tP)和退化閾值Df的函數(shù)：

TTF的截止條件為監(jiān)測(cè)陀螺儀退化水平的退化值x(t)超過(guò)失效閾值Df，即：

對(duì)于閾值Df受到有限信息引起的認(rèn)識(shí)不確定性的影響可設(shè)定為：當(dāng)專家認(rèn)為Df位于0.5和0.7之間的某處時(shí)，表示優(yōu)先選擇等于0.6，即其可能性分布π(Df)滿足：

根據(jù)Df可能性分布的上述設(shè)定，同時(shí)考慮計(jì)算量大小，選擇三角形可能性分布對(duì)π(Df)進(jìn)行描述，π(Df)及其可能性測(cè)度、必然性測(cè)度情況如圖1所示。

圖1 三角形可能性分布及其極限累積函數(shù)Fig.1 Probability distribution of triangle and limit cumulative function

在本實(shí)例中，運(yùn)用Monte Carlo方法對(duì)部件壽命進(jìn)行了m次（m=104）仿真采樣。然后，對(duì)于每個(gè)仿真的退化過(guò)程，使用第1.2節(jié)給出的方法處理影響Df的認(rèn)識(shí)不確定性，獲得TTF的m個(gè)可能性分布。再使用1.3節(jié)給出的方法對(duì)可能性分布進(jìn)行聚集處理，獲得4個(gè)仿真退化過(guò)程，如圖2所示，其上、下限累積離散分布和為和值的均值。

圖2 退化過(guò)程的4個(gè)不同實(shí)現(xiàn)Fig.2 Four different implementations of the degenerate process

本實(shí)例等間距選取了可能性值α=0,0.05,…,1，對(duì)應(yīng)構(gòu)建了π(Df)的21個(gè)α-截集，在這些截集下依次對(duì)m個(gè)隨機(jī)可能性分布應(yīng)用可能性聚集處理，從而獲得了TTF的21對(duì)極限累積分布。圖3描述了0-截集，0.5-截集和1-截集的累積邊界分布。

圖3 0-截集，0.5-截集和1-截集的極限累積分布Fig.3 Limit cumulative distribution of 0-cut，0.5-cut and 1-cut

為了說(shuō)明結(jié)果，有必要選擇π(Df)的一個(gè)α-截集。特別地，包含不確定性值Df的確信度為，它等于1-α。在可靠性分析時(shí)，如果想要完全確信（即確信度等于1）在不確定性的傳遞中包含Df的正確值，則應(yīng)該考慮π(Df)的0-截集。在這點(diǎn)上，將認(rèn)為結(jié)果分析為95%分位數(shù)，獲得[92 360 102 850]之間的TTF的單側(cè)上限取值范圍。否則，如果想要減小由Df的認(rèn)識(shí)不確定性引起的上限不確定性，則應(yīng)該減小1-α（確信度）。

3 小結(jié)

針對(duì)缺乏失效機(jī)理知識(shí)和試驗(yàn)信息來(lái)認(rèn)識(shí)閾值不確定性的情形，本文提出了一種退化失效建模的可能性方法，解決了預(yù)測(cè)模型中不確定性的表示和傳遞問(wèn)題。并通過(guò)某型陀螺儀依據(jù)布朗運(yùn)動(dòng)退化模型在時(shí)間上隨機(jī)退化的壽命預(yù)測(cè)實(shí)例驗(yàn)證了本文方法的有效性。

本文針對(duì)不確定性失效閾值問(wèn)題所進(jìn)行的可靠性建模研究是在恒定應(yīng)力條件下開(kāi)展的。這對(duì)于理想環(huán)境條件或?qū)嶒?yàn)室可控環(huán)境條件下的退化分析是有效的。然而，現(xiàn)實(shí)中的產(chǎn)品將不可避免地遭受到隨機(jī)應(yīng)力的影響，故下一步需要對(duì)隨機(jī)應(yīng)力下的退化建模和可靠性預(yù)測(cè)問(wèn)題展開(kāi)拓展研究。

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