任華中 ，傅海倫 ，邵亞娜

（ 1.山東省東營市育才學校； 2.山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院）

在經(jīng)歷十余年新課程改革實踐與反思的基礎上，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）將數(shù)學基本活動經(jīng)驗列為“四基”之一，并進一步指出，數(shù)學基本活動經(jīng)驗是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的基石.

基本活動經(jīng)驗的獲得和積累是初中數(shù)學課程目標的重要內(nèi)容，但是由于經(jīng)驗具有個體性、內(nèi)隱性和不易檢測等特點，加之《標準》中的表述也較為籠統(tǒng)和模糊，因此在實際教學中，這一目標出現(xiàn)了難于具體落實的問題.如何對數(shù)學活動經(jīng)驗水平層次進行區(qū)分，使之更易于定性區(qū)分的目標呈現(xiàn)水平，或者更方便教師在教學過程中定量地把握，以切實將“積累數(shù)學基本活動的經(jīng)驗”的目標落到實處，這是一線教師亟待解決的重要問題.

國內(nèi)關(guān)于基本活動經(jīng)驗的系統(tǒng)研究并不多見，有關(guān)基本活動經(jīng)驗的表述具有一定的參考價值.例如，孔凡哲教授認為，所謂數(shù)學基本活動經(jīng)驗，是指圍繞特定的數(shù)學課程教學目標，學生經(jīng)歷了與數(shù)學課程教學內(nèi)容密切相關(guān)的活動之后，所留下的有關(guān)數(shù)學活動的直接感受、體驗和個人感悟.史寧中教授從數(shù)學經(jīng)驗獲得的途徑上來說，將數(shù)學基本活動經(jīng)驗分為思維的經(jīng)驗和實踐的經(jīng)驗.筆者在碩士畢業(yè)論文《初中數(shù)學基本活動經(jīng)驗獲得的課堂實踐研究》中提出，數(shù)學基本活動經(jīng)驗是指學習者經(jīng)歷了具體的活動以后，在大腦中沉淀下來的感受、體驗和思維模式.

由于個體對數(shù)學活動的感知水平是難于直接檢測的，因此我們只能以間接的方式對活動經(jīng)驗水平進行檢測.筆者認為，數(shù)學活動經(jīng)驗，是在經(jīng)歷數(shù)學活動過程中形成的，在個體解決問題的過程中具體體現(xiàn)的，離開解決問題的過程，則無從判斷數(shù)學活動經(jīng)驗水平的高低.

因此，從數(shù)學基本活動經(jīng)驗的內(nèi)涵出發(fā)，以問題解決過程中呈現(xiàn)出的經(jīng)驗特征為標尺，在教學實踐中，我們可以嘗試將初中數(shù)學基本活動經(jīng)驗的教學目標劃分為以下四個層次：操作感知的數(shù)學活動經(jīng)驗；形式模仿的數(shù)學活動經(jīng)驗；反思應用的數(shù)學活動經(jīng)驗；準確直覺的數(shù)學活動經(jīng)驗.這四個經(jīng)驗層次是經(jīng)驗水平由低到高的過程，同時也是抽象程度逐漸提高的過程.對此，筆者進行如下闡述和說明.

一、操作感知的數(shù)學基本活動經(jīng)驗

這里的操作是指動作行為的操作，而不是指思維活動的操作.本層次的經(jīng)驗是指學生親身經(jīng)歷數(shù)學操作活動之后個體感官形成的體驗.從心理學的角度來說，這是通過外顯的操作和觀察形成的對活動的認識，體驗的水平停留在“感覺”的階段，未形成充分知覺.再從數(shù)學思維層面上來說，這個層次還沒有對活動的過程進行深入思考，沒有深刻認識到內(nèi)在的邏輯關(guān)系，因而這種感覺是不全面的.這類操作和觀察的價值取向不是問題的解決，而僅是獲得最直接的感受和體驗.

案例1：在“隨機事件與概率”的學習過程中，教師出示活動問題：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，你發(fā)現(xiàn)有幾種可能的結(jié)果？大多數(shù)學生在拋擲骰子的過程中，感受到能產(chǎn)生6種不同的結(jié)果，但是由于實驗誤差和實驗次數(shù)的限制，可能會得到“得到5點的可能性比較大”或者“得到2點的可能性比較小”這樣不準確的結(jié)論.學生對于這種不確定現(xiàn)象背后所隱藏的規(guī)律性的內(nèi)容，并不能進行深入的思考.這種不準確的感覺是數(shù)學活動經(jīng)驗停留在“感覺”和“感受”的體驗水平的表現(xiàn).

二、形式模仿的數(shù)學基本活動經(jīng)驗

與直觀感知水平的活動經(jīng)驗相比較，形式模仿水平的數(shù)學活動經(jīng)驗已經(jīng)由感性認識到達理性認識層面，但是仍停留在較淺的理性認識層面，僅具有本層次經(jīng)驗的學生能夠把握數(shù)學活動過程的形式特征，還不能把握本質(zhì)屬性.在學習過程中的體現(xiàn)是僅能夠進行簡單地模仿，不能夠進行遷移應用；或者僅能夠背誦定義，套用相關(guān)的公式、運算律，知其然，不知其所以然.

案例2：學習三角形的字母表示的時候，學生認識到頂點字母為A，B，C的三角形可以表示為“△ABC”后，對于僅能模仿數(shù)學基本活動經(jīng)驗的學生來說，如果出示一個頂點字母為D，E，F(xiàn)的三角形，學生看到圖形和頂點字母后，則會調(diào)動有關(guān)三角形表示的經(jīng)驗，可以表示出“△DEF”.但是，如果教師進一步追問：如果一個五邊形的5個頂點分別為A，B，C，D，E，你能嘗試著表示出該五邊形嗎？這時候，學生可能就會陷入迷茫、不知所措，因為他僅能模仿基本三角形的表示，還不能夠把握“用多邊形頂點字母可以表示出多邊形”這一數(shù)學本質(zhì).

三、反思應用的數(shù)學基本活動經(jīng)驗

反思應用層次的數(shù)學活動經(jīng)驗是指學生能夠從經(jīng)歷的操作、猜想、邏輯推理的過程中，通過反思性觀察，將獲得的感受和體驗進行抽象、去粗取精，并形成解決該類問題的一般思維模式.具體表現(xiàn)在能夠把握活動的本質(zhì)，面對類似問題時，能夠利用已有經(jīng)驗進行遷移解決.其特征有以下幾方面.

（1）能夠進行類比聯(lián)想，即根據(jù)問題的形式特征相似性，聯(lián)想到已有的經(jīng)驗.

（2）能夠進行歸納猜想，即根據(jù)個別事物的性質(zhì)聯(lián)想到這一類事物都應具有此類性質(zhì)，得到一般的規(guī)律和結(jié)論.

（3）能夠?qū)w納猜想的結(jié)論進行操作驗證、特例驗證或推理證明.

（4）能夠利用經(jīng)驗的遷移，用研究一類問題的方式方法去研究個別問題.

案例3：在學習完正比例函數(shù)以后，學生通過反思總結(jié)，已經(jīng)掌握了研究正比例函數(shù)的方法，具備了研究正比例函數(shù)的經(jīng)驗.這時，如果教師給出一個包含一次函數(shù)問題的數(shù)學情境，并得到新的函數(shù)表達式以后，提出問題：你準備怎樣研究這類函數(shù)呢？請說出你的方法.具備推理應用層次經(jīng)驗的學生可以利用經(jīng)驗的遷移，輕易猜想出研究一次函數(shù)的一般步驟：（1）利用描點、連線法畫出一次函數(shù)的圖象；（2）通過圖象考查自變量對函數(shù)值的變化影響；（3）應用函數(shù)知識解決相關(guān)問題.

四、準確直覺的數(shù)學基本活動經(jīng)驗

這是數(shù)學基本活動經(jīng)驗的最高層次，也是抽象程度最高的經(jīng)驗.處于這個層次的學生，在面對復雜的數(shù)學問題時，一是能夠進行大跨度的想象（這里的想象主要是指創(chuàng)造性想象，而非再造性想象），迅速產(chǎn)生整體把握正確思路的預感、預測與預見；二是這種直接判斷具有準確性（這里所說的判斷是人腦對數(shù)學對象，及其關(guān)系結(jié)構(gòu)的一種迅速的識別、直覺的理解、綜合的判斷，也可以說是數(shù)學的洞察力）.這種經(jīng)驗是人們對問題的總體性的感受，是數(shù)學經(jīng)驗上升到高層以后的具體體現(xiàn).

這一層次的經(jīng)驗與上一個層次的經(jīng)驗相比較，最大的區(qū)別在于本層次的思維模式為直觀思維，而非邏輯思維，其認知過程上是運用已有經(jīng)驗組塊和形象感知對當前問題進行敏銳的分析、推理，并能迅速發(fā)現(xiàn)解決問題的方向或途徑.主體思維過程中的一些環(huán)節(jié)被省略，造成心理過程的縮減，其思維模式是模糊的，甚至是跨越邏輯的.具備該層次經(jīng)驗水平的學生，往往可以很迅速地得到一個問題的結(jié)論，但是卻難以再現(xiàn)其思維過程，這種經(jīng)驗的體現(xiàn)為迅速正確的直覺思維和超越常規(guī)的創(chuàng)造性思維.

案例4：已知a，b均為正數(shù)，且a+b=4，求m=的最小值.

對于初中學生來說，這道題目乍看上去似乎絲毫沒有解決的頭緒，代數(shù)部分并沒有相關(guān)的求最小值問題的相關(guān)經(jīng)驗.但是，如果學生有運用勾股定理解決相關(guān)問題的經(jīng)驗，并能夠充分理解勾股定理的本質(zhì)，學生能夠在數(shù)和形之間進行大范圍的聯(lián)想，進而一部分學生就會在自己的經(jīng)驗系統(tǒng)中閃現(xiàn)出這樣的直覺：這道題目似乎與勾股定理相關(guān)，我們可以通過數(shù)形結(jié)合的方式來解決這個問題.

于是，具有準確直覺經(jīng)驗層次的學生就可以對此題進行幾何翻譯：已知，如圖1，AC⊥AB，BD⊥AB，AB=3，AC=2，BD=1，P為AB上的一個動點，求CP+DP的最小值.

圖1

圖2

這實際上是一個最短路徑的問題，可進一步轉(zhuǎn)化為：已知，如圖2，AC⊥AB，BD⊥AB，AB=3，AC=2，BD=1，求CD的長度.

在上述問題的解決過程中，學生具備用勾股定理和最短距離的相關(guān)知識來解決問題的經(jīng)驗，但是在面對一個以代數(shù)形式來描述的問題時，經(jīng)驗水平較低的學生很難想到用數(shù)形結(jié)合這一策略性知識來解決問題，而大跨度的聯(lián)想和數(shù)學直觀正是活動經(jīng)驗層次較高的表現(xiàn).

需要指出的是，由于經(jīng)驗獲得者對活動的感知水平和反思能力不同，即使經(jīng)歷同一個數(shù)學活動，個體所獲得的經(jīng)驗水平也不可能完全一致.同時，經(jīng)驗的積累是一個長期的過程，教師在設計數(shù)學活動時，要以學生現(xiàn)有的活動經(jīng)驗為基礎，循序漸進地培養(yǎng)學生向更高層次的經(jīng)驗水平邁進.因此，此目標既可以作為課時目標，又可以作為學段目標在教學中進行有效運用.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［3］孔凡哲，曾崢.數(shù)學學習心理學［M］.北京：北京大學出版社，2009.

［4］任華中.初中數(shù)學基本活動經(jīng)驗獲得的課堂實踐研究［D］.濟南：山東師范大學，2015.

［5］房慧.經(jīng)驗學習論［M］.昆明：云南大學出版社，2011.

［6］曹才翰，章建躍.中學數(shù)學教學概論［M］.北京：北京師范大學出版社，2008.