魏煥東

摘 要 等待空間有限的模型在排隊系統(tǒng)中是十分常見的，本文將等待空間有限的條件轉化為算法中更新的向量，為等待空間有限的模型的模擬仿真提供一條可行的思路，并用matlab進行模擬仿真。

關鍵詞 等待空間有限 排隊系統(tǒng) 模擬仿真

中圖分類號：U495 文獻標識碼：A

1研究背景和意義

排隊在日常生產和生活中十分常見，關于排隊系統(tǒng)的理論研究國內外學者做了大量的工作，ward whitt作為該領域的領軍人在他的專注[1]中做了大量的工作，模擬仿真研究作為理論研究的補充和驗證同樣有許多人進行研究。本文主要是將等待空間有限的條件數學化，轉化為算法可以操作的向量，為等待空間有限的排隊模型的研究提供一條新的思路。

2對等待空間的處理

在等待空間無限的排隊模型中，每一個到達的顧客都可以進入系統(tǒng)，若顧客到達時服務臺有空位，則顧客可以直接接受服務；若無空位，則進入隊列等待。不考慮顧客放棄，顧客的等待時間可以借助上一個顧客的信息來計算，為上一個顧客進入服務臺的時間與該顧客到達時間之差，顧客的離開時間為顧客到達時間、等待時間與服務時間之和。對于顧客數據的的處理詳細可見文獻[2，3]。

若系統(tǒng)的等待空間有限，考慮G/G/n/K模型，模型具有n個服務臺，等待空間有限為K。本文中的等待空間指的是隊列的中的人數，則系統(tǒng)中最多可以容納的顧客數為n+K。當系統(tǒng)中人數達到系統(tǒng)可容納的上限時顧客便不能進入，此時到達的顧客被阻塞而不能進入系統(tǒng)，顧客的離開時間等于顧客的到達時間。若顧客可以進入系統(tǒng)，顧客的等待時間借助上一個進入系統(tǒng)的顧客的信息來計算。用ui表示第i個顧客的到達時間，vi表示第i個顧客的服務時間，wi代表第i個顧客的等待時間。用表i示顧客的離開時間，則

i=ui+vi+wi

為了輔助算法的實現，創(chuàng)建一個向量queue。首先對向量進行初始化，前n個顧客無論以怎樣的路徑到達都可以直接進入服務臺，所以前n個顧客的等待時間必然為0，計算出前n個顧客的離開時間。初始化的向量queue保存前n個顧客的離開時間，此時最新的一個成功進入系統(tǒng)的顧客為第n個顧客。

當第i（i>n）個顧客到達系統(tǒng)時，首先判斷此時隊列中剩余的顧客數，即在第i個顧客到達時尚未離開系統(tǒng)的顧客數，即離開時間大于第i個顧客到達時間的顧客數。計算向量queue中大于第i個顧客到達時間ui的元素的個數，若該值小于n+K，說明此時系統(tǒng)中的人數沒有到達上限，第i個顧客可以進入系統(tǒng)中；若該值等于n+K，則第i個顧客被阻塞而不能進入系統(tǒng)。

若第i個顧客可以進入系統(tǒng)，計算出該顧客的等待時間和離開時間，此時需要更新向量queue，用向量中大于ui的元素以及第i個顧客的離開時間i組成新的向量queue，新的向量queue由大于離開時間大于第i個顧客到達時間的顧客的離開時間和第i個顧客的離開時間組成。若顧客被阻塞則不需要更新向量queue。

對向量queue的更新操作，保存每個顧客進入系統(tǒng)后剩余顧客的離開時間，通過比較前面顧客的離開時間與顧客到達時間判斷顧客到達時系統(tǒng)中剩余的顧客數，來控制等待空間有限的條件。

3模擬仿真

以M/M/n/K模型為例，令顧客到達率為20，每個服務臺服務率為1，系統(tǒng)具有20個服務臺，模擬出前1000個顧客的到達時間和服務時間，取等待空間為5，等待空間有限和無限的系統(tǒng)中人數如圖1所示：

4總結

本文研究和分析了排隊系統(tǒng)的模擬仿真中對等待空間有限的處理方法，通過matlab的模擬仿真可以看出該處理方式是有效的，為研究等待空間有限的排隊系統(tǒng)的提供了一條新的思路。

參考文獻

[1] WhittWard. Stochastic-Process Limits[M]. New York， Springer， 2002.

[2] 宋振峰，席志紅，劉飛.基于Matlab的排隊模型的仿真[J].現代電子技術，2005，28（06）：29—30.

[3] 秦海林，劉建民.帶優(yōu)先權與不耐煩顧客排隊模型的模擬仿真[J].現代電子技術，2012，35（20）：91-94.

[4] 張建航，李宗成，宋曉峰.單服務員排隊模型及其蒙特卡洛模擬[J].現代電子技術，2006，29（24）：44-46.