徐秋坪, 常思江, 王中原

(南京理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

跟蹤微分器(tracking differentiator, TD)[1]是由韓京清等人提出的對連續(xù)信號進(jìn)行跟蹤并對其微分信號進(jìn)行估計(jì)的數(shù)值算法。它具備良好的跟蹤性能和抗干擾能力, 已成功應(yīng)用于控制器設(shè)計(jì)和信號處理。TD具有多種形式。文獻(xiàn)[2]中提出一種全程快速非線性TD,但跟蹤結(jié)果存在一定的顫振現(xiàn)象。為此,文獻(xiàn)[3]綜合線性TD和非線性TD的優(yōu)點(diǎn),提出了一種改進(jìn)的非線性TD。文獻(xiàn)[4]詳細(xì)推導(dǎo)了離散系統(tǒng)真正的最速控制綜合函數(shù),并指出fhan函數(shù)只是離散系統(tǒng)最速控制綜合函數(shù)的一種簡化。文獻(xiàn)[5-8]分別基于sigmoid函數(shù)、反正切函數(shù)、反雙曲正弦函數(shù)、雙曲正弦函數(shù)等設(shè)計(jì)了非線性TD。文獻(xiàn)[9]則利用雙曲正切函數(shù)和反雙曲正弦函數(shù)共同構(gòu)造了二階非線性TD的加速度函數(shù)。文獻(xiàn)[10-11]對分?jǐn)?shù)階TD進(jìn)行了深入研究。文獻(xiàn)[12]對4種先進(jìn)的TD設(shè)計(jì)技術(shù):全局魯棒精確微分器[13]、混合連續(xù)非線性微分器[14]、魯棒精確一致收斂的任意階微分器[15]和基于泰勒級數(shù)展開的微分器[16]進(jìn)行了對比分析。不同類型的TD的結(jié)構(gòu)和參數(shù)調(diào)控的復(fù)雜性不同?？紤]處理輸入信號的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性,本文則以二階離散形式TD[17]為研究基礎(chǔ)。對于此TD,針對不同的研究問題,不少學(xué)者也取得了一些成果。

針對TD濾波產(chǎn)生相位損失的情況,文獻(xiàn)[18]通過引入相位調(diào)節(jié)基因,提出了一種新的最優(yōu)控制綜合函數(shù),而傳統(tǒng)的離散最優(yōu)TD是新的TD(當(dāng)基因等于零時(shí))的特例。文獻(xiàn)[19]研究了信號相位損失與TD各參數(shù)及輸入信號頻率之間的關(guān)系,并基于Lagrange插值理論,給出了近似的函數(shù)方程?？紤]參數(shù)固定的TD在被跟蹤信號發(fā)生大幅度變化時(shí)跟蹤品質(zhì)會產(chǎn)生退化的情況,文獻(xiàn)[20]提出了依據(jù)跟蹤信號與輸入信號的間距去控制速度因子的線性自適應(yīng)函數(shù),一定程度上提高了TD的跟蹤性能。但是當(dāng)輸入被噪聲干擾時(shí),輸出很容易引起大的振蕩。因此,文獻(xiàn)[21]利用sigmoid函數(shù)作為速率開關(guān)函數(shù)控制速度因子對上述TD進(jìn)行了改進(jìn)。該算法能抑制輸入信號低速變化時(shí)的振蕩,但仍存在一定程度的相位滯后。文獻(xiàn)[22]則同時(shí)考慮速度因子和濾波因子,提出了控制速度因子和濾波因子變化的概率函數(shù)。但是概率函數(shù)由跟蹤信號的微分來控制,一旦混雜噪聲則會影響其跟蹤性能。因此,文獻(xiàn)[23]做了進(jìn)一步的研究,提出了將跟蹤間距的滑動窗口標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)作為輸入的自適應(yīng)函數(shù)來調(diào)整濾波因子和速度因子的改進(jìn)自適應(yīng)TD。這些文獻(xiàn)都是圍繞輸入信號存在噪聲的情況下對TD的改進(jìn)研究。

在工程實(shí)踐應(yīng)用時(shí),通常需要對離散輸入信號進(jìn)行處理(比如軌跡優(yōu)化時(shí)生成的離散舵機(jī)偏轉(zhuǎn)指令、飛行器規(guī)避飛行的離散障礙點(diǎn)信號等),以安排合理的過渡過程。若直接采用傳統(tǒng)的離散TD(尤其當(dāng)離散輸入信號存在大幅度變化時(shí)),會產(chǎn)生較大的跟蹤誤差。對于傳統(tǒng)的離散TD,其控制參數(shù)為濾波因子和速度因子,在處理大幅度變化的離散輸入信號時(shí),如何設(shè)置這兩個(gè)參數(shù)既能夠?qū)崿F(xiàn)精確跟蹤又能保證無相位損失是一個(gè)值得研究的課題。針對上述問題,本文保持傳統(tǒng)的離散TD結(jié)構(gòu)不變(避免引入較多的控制參數(shù)同時(shí)保障算法結(jié)構(gòu)簡單),提出了一種基于自適應(yīng)網(wǎng)格調(diào)節(jié)控制參數(shù)的TD。其思想為:首先根據(jù)任務(wù)要求的過渡過程時(shí)間將整個(gè)跟蹤過程分為兩個(gè)階段,上升段和穩(wěn)定段;將濾波因子和速度因子擴(kuò)張成二維網(wǎng)格,并引入預(yù)設(shè)步長和速度修正因子兩個(gè)變量來細(xì)化網(wǎng)格;根據(jù)跟蹤誤差是否滿足精度要求來判斷是否需要重新劃分網(wǎng)格。通過若干案例仿真表明,提出的自適應(yīng)網(wǎng)格TD可有效地處理大幅度變化的離散輸入信號,既能夠滿足精度要求又能保障無相位損失,且對于連續(xù)信號的處理同樣具備此優(yōu)點(diǎn),可為TD的實(shí)際應(yīng)用提供一定的參考價(jià)值。

1 問題描述

由韓京清教授提出的離散形式最速TD[2]為

(1)

式中,h為步長;v0為輸入信號;r,h0分別為速度因子和濾波因子,均為TD控制參數(shù);輸入信號不需要濾波時(shí)則有h0=h;v1,v2為TD的兩個(gè)狀態(tài),v1表征TD為v0安排的過渡過程,當(dāng)v1近似于v0時(shí),v2可視為輸入信號的微分。函數(shù)fhan(x1,x2,r0,h0)的具體形式如下:

(2)

式中,sign(x)為符號函數(shù)。

TD的性能主要通過調(diào)整速度因子r和濾波因子h0來調(diào)節(jié)。速度因子越大則系統(tǒng)的跟蹤速度越快,濾波因子越大則會增加相位損失。

(3)

表1 離散輸入信號

圖1 TD和ATD的跟蹤效果Fig.1 Tracking effects of TD and ATD

2 自適應(yīng)網(wǎng)格跟蹤微分器

針對上述問題,本文在傳統(tǒng)的離散TD的基礎(chǔ)上,采用自適應(yīng)網(wǎng)格方法調(diào)節(jié)參數(shù)h0和r,設(shè)計(jì)自適應(yīng)網(wǎng)格跟蹤微分器(adaptive mesh tracking differentiator, AMTD)。其結(jié)構(gòu)與TD相同,其輸出狀態(tài)仍用v1和v2表示。AMTD的主要思想為:將離散輸入信號劃分兩段(見圖2),前段使得輸出狀態(tài)v1在預(yù)設(shè)過渡過程時(shí)間Td附近無超調(diào)精確地跟蹤上輸入信號v0,后段則是在前段達(dá)到跟蹤精度要求之后才激活的,它使得TD的輸出能夠?qū)斎胄盘杤0保持精確的穩(wěn)態(tài)跟蹤,這樣有利于減小計(jì)算量。

圖2 離散點(diǎn)輸入的分段圖Fig.2 Subsection diagram of discrete inputs

在相鄰離散輸入信號之間劃分網(wǎng)格,設(shè)計(jì)TD參數(shù)。采用拉格朗日插值法求取所劃分的各網(wǎng)格點(diǎn)處的虛擬輸入信號,并代入TD計(jì)算各離散輸入信號點(diǎn)對應(yīng)的跟蹤值并判斷其是否滿足設(shè)定的計(jì)算精度。若不滿足精度要求,則需進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格,調(diào)節(jié)參數(shù),直到跟蹤精度滿足設(shè)計(jì)要求為止。具體的設(shè)計(jì)過程描述如下:

(1) 根據(jù)任務(wù)需求,預(yù)設(shè)過渡過程時(shí)間Td,將輸入信號分成了兩部分。第一部分為從初始時(shí)刻T0到Td后第一個(gè)離散輸入信號對應(yīng)的時(shí)刻T1;第二部分為T1時(shí)刻到最后一個(gè)離散信號對應(yīng)的時(shí)刻T2。

對于階躍信號,r與設(shè)定值的幅值v0,達(dá)到設(shè)定值的過渡過程時(shí)間Td之間的關(guān)系為

(4)

式中,v10為TD的狀態(tài)變量v1的初始值,一般為0。當(dāng)輸入不是階躍信號時(shí),若按照式(4)設(shè)定參數(shù)r,則實(shí)際的過渡過程時(shí)間和設(shè)定的Td值相差不大。因此,可利用式(4)描述的關(guān)系來設(shè)置參數(shù)r。引入速度修正因子k,則根據(jù)T1時(shí)刻的輸入信號yT1和預(yù)設(shè)Td可設(shè)計(jì)第一段的參數(shù)r1：

(5)

k的初始值為1。k=1表示對過渡過程時(shí)間無修正,k>1時(shí)說明增加了過渡過程時(shí)間,減小了r1;k<1時(shí)說明減小了過渡過程時(shí)間,增大了r1。

(2) 初劃網(wǎng)格。預(yù)設(shè)步長hp。若區(qū)間[ti,ti+1]的長度是hp的整數(shù)倍,則該區(qū)間被劃分成了(ti+1-ti)/hp個(gè)子區(qū)間;若區(qū)間[ti,ti+1]的長度不是hp的整數(shù)倍,那么該區(qū)間被劃分成了fix((ti+1-ti)/hp)個(gè)長度為hp的等距子區(qū)間和1個(gè)長度為hpl=ti+1-ti-hpni的子區(qū)間,其中fix(x) 為取整函數(shù),如圖3所示。此種情況下,需將長度為hpl的子區(qū)間擴(kuò)展成長度為hp的虛擬子區(qū)間,將增設(shè)的虛擬網(wǎng)格點(diǎn)的跟蹤值和區(qū)間[ti,ti+1]內(nèi)最后一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的跟蹤值進(jìn)行插值,以求得ti+1時(shí)刻的離散輸入信號的跟蹤值。

圖3 網(wǎng)格劃分示意圖Fig.3 Division diagram of mesh points

(3) 采用拉格朗日插值算法求取區(qū)間[ti,ti+1]各網(wǎng)格點(diǎn)tii對應(yīng)的虛擬輸入信號yii：

(6)

式中,yi,yi+1,yi+2分別為ti,ti+1,ti+2對應(yīng)的輸入信號。若計(jì)算到最后一個(gè)離散區(qū)間時(shí),則采用最后3個(gè)離散點(diǎn)信號進(jìn)行插值計(jì)算。

(4) 判斷上升段跟蹤精度。將各網(wǎng)格點(diǎn)處的虛擬輸入信號和上述設(shè)置的參數(shù)代入式(1)計(jì)算。T1時(shí)刻的跟蹤誤差為

(7)

式中,vT1對應(yīng)T1時(shí)刻TD的輸出狀態(tài)v1。

預(yù)設(shè)過渡過程精度ε1。若ΔT1≤ε1,則滿足計(jì)算精度;若ΔT1>ε1,則不滿足精度要求,需要進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格。

(5) 網(wǎng)格細(xì)化策略。為保證跟蹤的精度和快速性,將濾波因子和速度因子擴(kuò)張成二維網(wǎng)格,通過預(yù)設(shè)步長hp和速度修正因子k來細(xì)化網(wǎng)格,進(jìn)而調(diào)節(jié)h0和r。

預(yù)設(shè)步長細(xì)化度mp,它表征預(yù)設(shè)步長細(xì)化程度。當(dāng)ΔT1>ε1,按如下規(guī)則細(xì)化預(yù)設(shè)步長:

hp,j+1=hp,j/mp

(8)

j表示細(xì)化次數(shù),j=1時(shí)為初始設(shè)置的預(yù)設(shè)步長。mp值越大,預(yù)設(shè)步長越小,濾波因子網(wǎng)格越密。

預(yù)設(shè)速度因子修正度mk,表征k的修正程度,按如下規(guī)則細(xì)化速度修正因子:

kj+1=kj·(1+mk)

(9)

j=1時(shí)為初始設(shè)置的速度修正因子。取mk<0,則k呈指數(shù)減小,r的值呈指數(shù)增加。hp和k隨網(wǎng)格細(xì)化次數(shù)的變化如圖4所示。

網(wǎng)格細(xì)化策略如圖5所示。當(dāng)ΔT1>ε1時(shí),若此時(shí)的控制參數(shù)為hp,1,k1。首先細(xì)化一次濾波因子網(wǎng)格,同時(shí)保持k不變,則控制參數(shù)變?yōu)閔p,2,k1,第一次計(jì)算ΔT1,若ΔT1≤ε1則滿足精度要求,進(jìn)入下一步計(jì)算。若仍存在ΔT1>ε1,那么需細(xì)化一次速度因子網(wǎng)格,同時(shí)保持濾波因子網(wǎng)格細(xì)化前的預(yù)設(shè)步長hp不變,則控制參數(shù)變?yōu)閔p,1,k2,再次計(jì)算ΔT1,若ΔT1≤ε1,則滿足精度要求,進(jìn)入下一步計(jì)算。若仍存在ΔT1>ε1,那么需同時(shí)細(xì)化一次濾波因子網(wǎng)格和速度因子網(wǎng)格,即采用第一步單獨(dú)細(xì)化一次濾波因子網(wǎng)格得到的預(yù)設(shè)步長hp,2和第二步單獨(dú)細(xì)化一次速度因子網(wǎng)格得到的k2進(jìn)行第三次計(jì)算ΔT1,若ΔT1≤ε1,則滿足精度要求,進(jìn)入下一步計(jì)算。若仍存在ΔT1>ε1,那么以當(dāng)前的參數(shù)hp,2,k2為基礎(chǔ),按照上述步驟依次交替地細(xì)化網(wǎng)格,直到ΔT1滿足精度要求為止。

圖4 hp和k隨網(wǎng)格細(xì)化次數(shù)的變化規(guī)律Fig.4 Profiles of hp and k with the number of mesh refinement

圖5 網(wǎng)格細(xì)化策略Fig.5 Scheme of mesh refinement

(6) 若T1時(shí)刻vT1滿足預(yù)設(shè)的跟蹤精度(ΔT1≤ε1),則進(jìn)入[T1,T2]段的穩(wěn)態(tài)跟蹤。

為保障TD的一條很重要的性質(zhì):當(dāng)v1很接近輸入信號v0時(shí),v2可視為其微分,以及保障后續(xù)離散信號的跟蹤精度(尤其是在區(qū)間較短的相鄰離散點(diǎn)處輸入指令變化較大的時(shí)候),那么用設(shè)計(jì)的自適應(yīng)網(wǎng)格TD計(jì)算[T1,T2]段的跟蹤值時(shí),將采用各離散子區(qū)間[ti,ti+1]內(nèi)自適應(yīng)劃分網(wǎng)格的設(shè)計(jì)方式,這樣輸入信號各離散子區(qū)間的網(wǎng)格數(shù)可能是不同的。

預(yù)設(shè)Tdi表征[T1,T2]段的子區(qū)間[ti,ti+1]的過渡過程時(shí)間,則

(10)

ml可根據(jù)輸入信號特征進(jìn)行設(shè)定,ml越大,則Tdi越小,即跟蹤速度越快。

v1i為ti時(shí)刻的輸出跟蹤值,yi+1為ti+1時(shí)刻的輸入信號,參照式(5)計(jì)算該區(qū)間的參數(shù)ri

(11)

ki初始值為1。設(shè)定參數(shù)h0等于預(yù)設(shè)步長hp。

(7) 判別[T1,T2]段內(nèi)各離散點(diǎn)的精度。[T1,T2]段與[T0,T1]段的計(jì)算過程相似,網(wǎng)格細(xì)化策略相同。區(qū)別在于:[T1,T2]段需要對每一個(gè)離散信號的跟蹤誤差進(jìn)行判定,只有當(dāng)上一個(gè)離散點(diǎn)滿足跟蹤精度要求后才能進(jìn)入下一個(gè)離散信號的計(jì)算。

預(yù)設(shè)[T1,T2]段內(nèi)各離散點(diǎn)處的跟蹤誤差為Δi,則

(12)

預(yù)設(shè)預(yù)設(shè)跟蹤精度ε2。若ti+1時(shí)刻的跟蹤精度Δi+1>ε2,則對區(qū)間[ti,ti+1]將按照描述(5)的網(wǎng)格細(xì)化策略進(jìn)一步交替地調(diào)節(jié)hpi和ki,重新計(jì)算Δi+1,直到滿足Δi+1≤ε2后才進(jìn)入下一個(gè)離散區(qū)間[ti+1,ti+2]計(jì)算。

這種策略就不需要當(dāng)某個(gè)離散點(diǎn)處的跟蹤精度不滿足要求時(shí)從頭開始重新計(jì)算,只需在對應(yīng)的離散區(qū)間內(nèi)進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格,可有效地減少計(jì)算量。

(8) 按照上述步驟,計(jì)算[T1,T2]段每個(gè)離散信號的跟蹤值,直到它們均滿足預(yù)設(shè)跟蹤精度為止。

上述自適應(yīng)網(wǎng)格TD計(jì)算流程如圖6所示。

3 仿真分析

此小節(jié)通過若干案例來分析驗(yàn)證所提出的AMTD的可行性和有效性,并通過與第1節(jié)提到的ATD進(jìn)行對比分析來展示它的優(yōu)越性。

3.1 離散點(diǎn)輸入信號的跟蹤效果

根據(jù)表1中離散輸入信號的特征,設(shè)置AMTD參數(shù):hp=0.01 s,Td=14 s,ε1=0.003,ε2=0.001,mp=2,ml=10,mk=-0.08。仿真結(jié)果如圖7所示。顯然,與直接采用TD和ATD的仿真結(jié)果相比,采用本文設(shè)計(jì)的AMTD可以使得v1在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)快速、無超調(diào)、精確地跟蹤離散輸入信號yc。尤其是當(dāng)輸入信號在末段存在短時(shí)間較大突變時(shí),采用AMTD仍能夠使得各離散點(diǎn)處的v1在滿足設(shè)定的精度要求下跟上輸入信號。當(dāng)v1精確跟蹤上輸入信號后,v2可視為輸入信號的微分。從圖7(c)和圖7(d)可以看出,第一段因初始跟蹤信號值較大,其網(wǎng)格細(xì)化程度較大,濾波因子網(wǎng)格細(xì)化了6次,速度因子網(wǎng)格細(xì)化了7次。中間部分可按照初始設(shè)定的hp和k實(shí)現(xiàn)精確跟蹤。當(dāng)最后部分因輸入信號的突變,濾波因子和速度因子網(wǎng)格均需細(xì)化,突變的程度不同,網(wǎng)格細(xì)化次數(shù)也不同。

圖6 自適應(yīng)網(wǎng)格TD計(jì)算流程圖Fig.6 Flowchart of adaptive mesh tracking differentiator

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文AMTD的性能,下面將增補(bǔ)兩種離散點(diǎn)信號進(jìn)行仿真。

圖7 離散信號的AMTD跟蹤效果Fig.7 Tracking effects of AMTD for discrete inputs

圖8 離散信號A的AMTD跟蹤效果Fig.8 AMTD tracking results for discrete signal A

圖9 離散信號B的AMTD跟蹤效果Fig.9 AMTD tracking results for discrete signal B

仿真結(jié)果表明:AMTD的跟蹤效果更好,滿足設(shè)定的精度要求。TD和ATD不僅跟蹤精度相對較差,且存在一定程度的相位延遲,而AMTD不存在相位延遲問題。此外,AMTD對離散輸入信號的微分估計(jì)最準(zhǔn)確,從圖中可以看出,其v2幾乎和輸入信號的真實(shí)微分值相重合。因此,本文設(shè)計(jì)的AMTD不僅展現(xiàn)出了更為精確的跟蹤效果,能準(zhǔn)確地提取輸入信號的微分,而且v1和v2均不存在相位延遲問題。

3.2 AMTD處理連續(xù)信號的性能

圖10 連續(xù)信號x1(t)的跟蹤效果對比Fig.10 Comparison of tracking effects of continuous signals x1(t)

圖11 連續(xù)信號x2(t)的跟蹤效果對比(h=0.002 s)Fig.11 Comparison of tracking effects of continuous signals x1(t), h=0.002 s

圖12 連續(xù)信號x2(t)的跟蹤效果對比(h=0.01 s)Fig.12 Comparison of tracking effects of continuous signals x1(t), h=0.01 s

4 結(jié) 論

考慮到采用傳統(tǒng)TD給存在大幅度變化的離散輸入信號安排過渡過程時(shí),存在較大跟蹤誤差的問題,本文提出了一種AMTD。通過對離散輸入信號分段,并按照設(shè)定的網(wǎng)格細(xì)化策略依次對由濾波因子和速度因子擴(kuò)張成的二維網(wǎng)格進(jìn)行細(xì)化,直到跟蹤誤差滿足設(shè)定的精度要求為止。通過若干案例仿真驗(yàn)證了本文提出的AMTD的可行性和有效性。該TD具備快速、準(zhǔn)確、無超調(diào)的跟蹤性能,可有效地對大幅度變化的離散輸入信號安排合理的過渡過程,而且安排的過渡過程和提取的微分信號均不存在相位滯后。此外,該AMTD在處理連續(xù)信號時(shí)同樣具備這些優(yōu)越的跟蹤性能,而且不受采樣步長的影響,具備更好的適應(yīng)性。

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