鮑水達, 張 安, 畢文豪

(1. 西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院, 陜西 西安 710129;2. 西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

0 引 言

過去幾十年間,卡爾曼濾波(Kalman filter, KF)作為一種經(jīng)典高效的濾波方法,廣泛應(yīng)用于信號處理、目標跟蹤、故障檢測、捷聯(lián)導(dǎo)航等領(lǐng)域。傳統(tǒng)的KF只能處理線性時不變系統(tǒng),無法處理非線性系統(tǒng)。為此,學(xué)者們基于KF提出擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)、無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)等新的非線性濾波算法。EKF通過Taylor展開,將非線性問題局部線性化,從而解決非線性濾波問題。但EKF對非線性函數(shù)近似精度為一階,濾波精度方面并不如人意,且要計算雅可比矩陣,一定程度上限制它的應(yīng)用。UKF基于無跡變換(unscented transform, UT),采用確定性采樣方法近似非線性系統(tǒng)的后驗概率密度函數(shù)[1]。UKF不用求解雅可比矩陣,對非線性系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和量測函數(shù)沒有可導(dǎo)性要求,無需知道函數(shù)的具體表達形式,也可對黑盒系統(tǒng)進行處理;UKF至少能夠達到三階精度,明顯優(yōu)于EKF,而計算量同階,獲得更多的關(guān)注和更廣泛的應(yīng)用[2-5]。

無論是KF、EKF或UKF,它們都有一個共同的基本假設(shè):系統(tǒng)模型是準確的。當系統(tǒng)模型不能正確描述真實系統(tǒng)時,將導(dǎo)致濾波精度下降,甚至濾波發(fā)散。為此,學(xué)者們提出了各式各樣的自適應(yīng)算法,用于提高KF及相關(guān)算法的魯棒性,保證濾波精度,降低對系統(tǒng)模型準確性的要求[6-13]。自適應(yīng)濾波算法可分為貝葉斯方法、最大似然函數(shù)、相關(guān)性和協(xié)方差匹配四大類[9]。前兩種方法多應(yīng)用于多模型系統(tǒng),但計算量很大的不足阻礙了它們的實際應(yīng)用[11-12]。相關(guān)性方法,是將一組方程將函數(shù)與未知參數(shù)關(guān)聯(lián)起來,主要用于時變系統(tǒng)[13]。協(xié)方差匹配方法通過比較理論協(xié)方差與實際協(xié)方差之間的差異來判斷濾波優(yōu)劣,進而對濾波進行在線自適應(yīng)調(diào)整,是一種廣泛應(yīng)用的自適應(yīng)方法[6-7]。文獻[6]基于狀態(tài)向量估計殘差協(xié)方差匹配,提出一種自適應(yīng)漸消UKF(adaptive fading UKF, AFUKF),來克服模型不確定性,然而,與UKF相比,計算量增加較多,且要額外計算雅各比矩陣。文獻[7]提出的強跟蹤算法(strong tracking filter, STF)是一種基于新息協(xié)方差匹配的自適應(yīng)濾波方法。STF通過引入次優(yōu)漸消因子,調(diào)整預(yù)測狀態(tài)協(xié)方差,進而在線調(diào)整濾波增益K,達到自適應(yīng)的目的。將STF引入UKF,建立強跟蹤UKF,能極大提高UKF魯棒性,降低對系統(tǒng)模型依賴[14-18]。

文獻[14]推導(dǎo)了漸消因子引入UKF的過程,并給出了在UKF形式下,次優(yōu)漸消因子的等價計算方法。強跟蹤UKF以其良好的濾波性能及魯棒性,已經(jīng)廣泛應(yīng)用在諸多領(lǐng)域中。文獻[15]采用一種改良的平方根分解方法,提出改進的強跟蹤平方根UKF,克服衛(wèi)星自主導(dǎo)航中不確定性干擾和噪聲的影響。文獻[16]應(yīng)用假設(shè)檢驗理論提出改進的強跟蹤UKF,并實際應(yīng)用于無人機動態(tài)導(dǎo)航。文獻[17]提出強跟蹤平方根無跡 Kalman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來提高能耗模型的精度和對電解槽突變狀態(tài)的實時跟蹤能力。文獻[18]提出改進的強跟蹤UKF算法,用于捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(strap-down inertial navigation system, SINS)大方位失準角初始對準中。然而,強跟蹤UKF的UT變換變?yōu)?次,極大地增加算法計算量,限制它在一些工程中的應(yīng)用,如板載小型衛(wèi)星[6]。基于以上分析,本文采用Taylor展開分析漸消因子機理,建立漸消因子近似引入方法,減少UT變換次數(shù),提出快速強跟蹤UKF,并定性分析快速強跟蹤UKF計算量增長。

1 強跟蹤UKF算法

1.1 強跟蹤UKF

考慮非線性離散系統(tǒng)

xk=f(xk-1)+wk-1

(1)

zk=h(xk)+vk

(2)

式中,xk∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量;zk∈Rm為量測向量;n和m為對應(yīng)維數(shù);f(·)和h(·)分別為非線性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和量測函數(shù);wk-1∈Rn為系統(tǒng)噪聲,vk∈Rm為量測噪聲,二者均為高斯白噪聲,且互不相關(guān),協(xié)方差矩陣為Qk和Rk。

強跟蹤UKF將漸消因子引入UKF,兼具有STF魯棒性強和UKF變換精度高,有效克服了UKF在系統(tǒng)模型不準確時魯棒性差的問題。針對式(1)和式(2)描述的非線性系統(tǒng),強跟蹤UKF由4個步驟組成[12]。

步驟1選擇采樣策略

本文采用對稱采樣策略

(3)

式中,κ為可設(shè)參數(shù);i=1,2,…,n。對應(yīng)權(quán)值為

(4)

步驟2時間更新

χj=f(Xj)

(5)

(6)

(7)

式中,上標s表示λk引入前的變量。

步驟3計算漸消因子λk

(8)

(9)

(10)

(11)

λk計算公式為

(12)

(13)

新的預(yù)測狀態(tài)協(xié)方差Pk/k-1為

(14)

步驟4量測更新

(15)

(16)

(17)

強跟蹤UKF在時間更新、計算漸消因子λk和量測更新3個步驟共進行3次UT變換,比傳統(tǒng)UKF多使用一次UT,額外使用UT變換會極大地增加算法計算量?？梢?現(xiàn)有的引入漸消因子方法是以增加算法計算量為代價,來克服UKF在系統(tǒng)模型不準確時魯棒性差的不足,仍需進一步完善改進。

1.2 漸消因子引入

STF通過引入次優(yōu)漸消因子,調(diào)整狀態(tài)協(xié)方差,進而在線調(diào)整增益K,迫使殘差正交,即

(18)

式中,Pk-1是k-1時刻的狀態(tài)協(xié)方差;λk是k時刻的漸消因子;上標s表示漸消因子引入前的變量。此時,預(yù)測狀態(tài)協(xié)方差Pk/k-1為

(19)

式中,Fk為雅可比矩陣。式(19)為強跟蹤UKF采用的漸消因子引入方法。

另一種漸消因子引入方法[18]為

(20)

對于EKF而言,采用式(19)或者式(20)不會產(chǎn)生顯著的差異,因為EKF本身要使用雅可比矩陣F和H。但對于UKF等不用計算雅可比矩陣的濾波方法,基于式(20)的漸消因子引入方法,不用額外計算雅可比矩陣,故式(20)比式(19)更加合適。本文的分析和推導(dǎo)將基于式(20)。

根據(jù)式(20),漸消因子引入UKF后為

(21)

對應(yīng)次優(yōu)漸消因子計算方法[17]為

(22)

式中,Vk的估算公式為式(13);β為可調(diào)參數(shù),β≥1。

2 快速強跟蹤UKF算法

2.1 漸消因子近似引入方法

根據(jù)式(21),本文提出一種適用于UKF的漸消因子近似引入方法,即

(23)

(24)

(25)

(26)

在近似方法中,漸消因子直接作用于相關(guān)變量上,不再間接地通過UT變換引入UKF, UT變換使用次數(shù)將降低為2次。

漸消因子近似引入方法推導(dǎo)如下。

(27)

(28)

(29)

(30)

更新后的狀態(tài)協(xié)方差Pk為

(31)

(32)

將式(20)和式(32)代入式(28),有

(33)

(34)

(35)

(36)

將式(36)代入式(10),得

(37)

(38)

將式(21)代入式(31)得

(39)

推導(dǎo)完畢。

2.2 算法流程

根據(jù)傳統(tǒng)UKF算法流程以及式(1)和式(2)表示的非線性系統(tǒng),基于近似引入方法的快速強跟蹤UKF算法流程如下:

步驟1選擇采樣策略

本文采用對稱采樣策略,如式(3)和式(4)。

步驟2時間更新

步驟3計算漸消因子λk

根據(jù)式(22)計算得k時刻λk,并代入式(21)求得更新后的Pk/k-1。

步驟4量測更新

與強跟蹤UKF相比,快速強跟蹤UKF僅需要兩次UT變換,在步驟3中直接套用求解公式即可求解得λk,過程簡潔,基本與傳統(tǒng)UKF一致。

3 計算量分析和收斂性分析

3.1 計算量分析

本節(jié)將利用統(tǒng)計浮點運算次數(shù)(flops)的方法,分析傳統(tǒng)UKF、強跟蹤UKF與快速強跟蹤UKF的計算量,說明兩強跟蹤UKF相對于傳統(tǒng)UKF在不同情況下的計算量增長情況,假設(shè)采樣策略為對稱采樣,矩陣平方根算法為Cholesky分解。

強跟蹤UKF和傳統(tǒng)UKF均為O(n3)的算法,以最高冪次的系數(shù)(即n3的系數(shù))為對比標準,粗略分析得計算量變化。一次flops定義為兩個浮點數(shù)進行一次加、減、乘、除運算。UKF中計算量為n3的矩陣操作如表1所示[19]。對于矩陣乘法為A·B,A∈RN×M,B∈RM×L。

表1 各矩陣操作的計算量

UKF的計算量主要由n、m、f(·)和h(·)決定。先忽略f(·)和h(·)計算量的影響,討論僅考慮n、m的影響。經(jīng)統(tǒng)計,3種算法的計算量如表2所示?？焖購姼橴KF并沒額外增加計算量為n3的操作,故不考慮f(·)和h(·)計算量時,其計算量與傳統(tǒng)UKF相當,且不受采樣策略與平方根求解算法影響。強跟蹤UKF由于要多使用一次UT變換,且在漸消因子計算中有矩陣乘法,求逆等操作,計算量明顯高于傳統(tǒng)UKF。

表2 各算法的計算量

在快速強跟蹤UKF中,僅在式(23)中多調(diào)用了1次h(·)。而強跟蹤UKF中,額外使用UT變換導(dǎo)致h(·)被多調(diào)用2n次。對于f(·)的調(diào)用,3種算法并沒有區(qū)別。

綜上,快速強跟蹤UKF的計算量增長明顯低于強跟蹤UKF,與傳統(tǒng)UKF相近,且隨著狀態(tài)向量維數(shù)和h(·)計算量的增加,快速強跟蹤UKF的計算量會越來越接近傳統(tǒng)UKF。相反,如果f(·)的計算量變大,將會削弱快速強跟蹤UKF在計算量增長方面的優(yōu)勢。

3.2 收斂性分析

本節(jié)采用新息序列的特性[20],分析快速強跟蹤UKF的收斂性。采用的濾波收斂性判據(jù)為

(40)

式中,r為儲備系數(shù),r≥1。r=1為最嚴格的收斂性判據(jù),當r足夠大時,即可判定濾波發(fā)散。式(40)右側(cè)是理論新息協(xié)方差,左側(cè)是k時刻的實際新息協(xié)方差,在快速強跟蹤UKF中即為Vk,對式(22)進行變換,有

β·tr(Rk)

(41)

(1) 漸消因子λk=1

當漸消因子λk=1,快速強跟蹤UKF退化為標準UKF,保留UKF的優(yōu)良性能。根據(jù)式(22),Ck≤1,代入式(41),有

β·tr(Rk)

(42)

快速強跟蹤UFK中理論新息協(xié)方差為

(43)

對式(43)進行矩陣求跡,有

r·tr(Pzz,k)=

(44)

β·tr(Rk)≤r0·tr(Pzz,k)

(45)

(2) 漸消因子λk>1

λk>1表示快速強跟蹤UKF檢測到濾波錯誤,需要進行修正。實際新息協(xié)方差為

β·tr(Rk)

(46)

修正后,快速強跟蹤UFK中新的理論新息協(xié)方差為

(47)

與式(1)中分析類似,必然存在一個略大于1的r0,使得以下不等式成立,滿足收斂性判據(jù):

β·tr(Rk)≤r0·tr(Pzz,k)

(48)

綜上,無論λk取何值,快速強跟蹤UKF均滿足收斂性判據(jù),保持濾波穩(wěn)定性。

4 仿真實例

4.1 一維仿真實例

仿真實例采用強非線性模型[21](univariate nonstationary growth model,UNGM)

(49)

式中,α、β、μ是可設(shè)參數(shù);cos(1.2(n-1))可視為時變噪聲;c1和c2為調(diào)整參數(shù),通過調(diào)整c1和c2來模擬系統(tǒng)模型相對于真實系統(tǒng)的失調(diào)程度。初始條件為x0=10,P0=10,Q=0.01,R=1,α=0.5,β=2.5,ν=8。

選擇傳統(tǒng)UKF,強跟蹤UKF、文獻[6]中的AFUKF和快速強跟蹤UKF來對比驗證本文算法魯棒性、濾波性能、計算量。

首先,取c1=c2=1,即系統(tǒng)模型與真實模型一致,4種算法的濾波結(jié)果如圖1所示。在模型準確時,新息理論協(xié)方差與新息實際協(xié)方差基本一致,漸消因子始終為1,強跟蹤UKF理論上會退化為傳統(tǒng)UKF算法。從圖1可得,4種算法濾波結(jié)果基本一致,3種自適應(yīng)UKF均正確地退化為傳統(tǒng)UKF,與傳統(tǒng)UKF濾波結(jié)果一致。

圖1 模型準確時4種算法濾波結(jié)果Fig.1 Results of four algorithms in accurate model

算法運行時間可作為判斷算法計算量的指標。在CPU為Intel i3 550,內(nèi)存為2 GB的筆記本上,仿真時間N=60,蒙特卡羅仿真M=100,4種算法在Matlab 2014a上的運行時間和相對傳統(tǒng)UKF增長的如表3所示?？焖購姼橴KF避免額外使用UT變換,運行時間增長明顯小于強跟蹤UKF,降低了約64.26%,計算量增長遠小于強跟蹤UKF,但需額外計算λk,計算量變大,故運行時間大于傳統(tǒng)UKF,在本例中增長了約20.46%。AFUKF采用假設(shè)檢驗來判斷是否進行修正,本例中不存在模型不確定性,故運行時間僅增長21.53%。

表3 一維模型時各算法運行時間

然后,對比4種算法在模型不準確時的性能差異。在真實模型中,取c1=0.6,c2=0.75;在系統(tǒng)模型中,仍然取c1=c2=1,即相比真實模型,系統(tǒng)模型在建模過程中α和γ取值偏大。圖2為4種算法的濾波結(jié)果,圖3為4種算法濾波誤差,表4為均方根誤差(root mean square error, RMSE),表5為對應(yīng)運行時間。

表4 一維模型不準確時各算法額運行時間

圖2 模型不準確時4種算法濾波結(jié)果Fig.2 Result of four algorithms in inaccurate model

對比4種算法的濾波結(jié)果,3種自適應(yīng)UKF的性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)UKF。AFUKF的性能介于傳統(tǒng)UKF和強跟蹤UKF之間。漸消因子提高UKF的魯棒性,增強UKF適應(yīng)模型失調(diào)的能力,使得2種強跟蹤UKF在模型失調(diào)時仍能給出較好的濾波結(jié)果。由圖3可知,傳統(tǒng)UKF中大部分誤差大的點,均被2種強跟蹤UKF修正。快速強跟蹤UKF作為強跟蹤UKF的近似方法,性能差異極小,RMSE僅相差0.060 3。模型不確定性使得AFUKF進行修正,導(dǎo)致運行時間大大增加,與強跟蹤UKF相近,比快速強跟蹤UKF多增長了約51.28%。

圖3 模型不準確時4種算法濾波誤差Fig.3 Filtering error of four algorithms in inaccurate model

算法時間/s增長傳統(tǒng)UKF1.4511強跟蹤UKF2.4971.720 9AFUKF2.4341.677 5快速強跟蹤UKF1.7191.184 7

4.2 機動目標跟蹤

以一個典型的機動目標跟蹤問題來驗證算法的有效性。一個地面雷達連續(xù)瞄準和跟蹤一個飛行器,飛行器以未知的轉(zhuǎn)速下在水平面中執(zhí)行機動轉(zhuǎn)彎。飛行器在水平面中機動轉(zhuǎn)彎的運動學(xué)模型[22]為

xk-1+wk-1

(50)

(51)

式中,T是雷達的采樣間隔,T=1;φ1和φ2為調(diào)整參數(shù),且φ1=1 m2/s3,φ2=1.75×10-3rad2/s3。

雷達安置在原點(0,0)處,獲取與飛行器的距離σ和方位角θ

(52)

式中,arctan是求反正切函數(shù);vk是相互獨立的高斯白噪聲,且均值為0,協(xié)方差為

R=diag[1 000 m2100 m·rad2]

(53)

初始條件為

x0=[1 000 m 300 m/s 1 000 m 0 m/s -3°/s]T

P0=

diag[100 m210 m2/s2100 m210 m2/s2100 mrad2/s2]T

(54)

k=15時,模擬飛行器發(fā)生位置突變，突變量Δxk,Δyk為

(55)

圖4 狀態(tài)突變時和Ωk的RMSEFig.4 RMSE of and Ωk in mutation of state

由圖4可知,突變發(fā)生前,4種算法濾波結(jié)果基本一致,說明當模型準確時,2種強跟蹤UKF算法均能正確地退化為UKF算法,保持了UKF算法的優(yōu)良性能。突變發(fā)生時,4種算法在該時刻均無法處理該情況,濾波結(jié)果不理想。突變發(fā)生后,3種自適應(yīng)UKF在幾個時刻內(nèi)迅速收斂,濾波誤差下降到正常范圍,不再受突變點影響。傳統(tǒng)UKF則不然,突變點的影響持續(xù)了將近20個時刻,濾波誤差較大。圖5與以上分析相符,突變后,傳統(tǒng)UKF的軌跡開始在參考值附近來回波動一段時間才慢慢穩(wěn)定到參考值附近。漸消因子的引入增強了UKF應(yīng)對狀態(tài)突變的能力。AFUKF也具備一定應(yīng)對狀態(tài)突變能力,但穩(wěn)定性明顯不如兩種強跟蹤UKF。

圖5 狀態(tài)突變時4種算法的濾波結(jié)果Fig.5 Results of four algorithms in mutation of state

4種算法的運行時間如表6所示,運行計算機配置與仿真實例1相同。在該實例中,快速強跟蹤UKF的運行時間已經(jīng)非常接近傳統(tǒng)UKF。這也驗證了第3.1節(jié)計算量分析的結(jié)果,隨著狀態(tài)向量維數(shù)的增加,快速強跟蹤UKF和傳統(tǒng)UKF的計算量會越來越接近。

表6 4種算法的運行時間

5 結(jié) 論

漸消因子引入UKF,能有效提高UKF魯棒性,增強適應(yīng)模型失調(diào)、狀態(tài)突變的能力,但要求額外使用UT變換,導(dǎo)致計算量急劇提高。本文利用Taylor展開,分析漸消因子在UKF中的作用機理。在UKF中漸消因子不僅在線調(diào)整濾波增益,還調(diào)整量測預(yù)測值,通過同時調(diào)整兩者來達到充分提取新息序列中信息的目的。然后,本文建立一種適用于UKF的漸消因子近似引入方法,將漸消因子直接作用于相關(guān)的協(xié)方差和量測預(yù)測值上,提出快速強跟蹤UKF。將快速強跟蹤UKF用于機動目標跟蹤問題進行仿真,表明快速強跟蹤UKF能有效克服狀態(tài)突變,保持濾波的穩(wěn)定性,增強了UKF的魯棒性,性能與強跟蹤UKF相差無幾。同時,快速強跟蹤UKF計算量與UKF相近,遠低于強跟蹤UKF。

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