楊俊仙，王雷宏

（1.安徽農業(yè)大學理學院，安徽合肥230036；2.安徽農業(yè)大學林學與園林學院，安徽合肥230036）

艾滋病的病原體是人類免疫缺陷病毒（Human Immunodeficiency Virus，簡稱 HIV），主要感染人體免疫系統(tǒng)細胞CD4＋T，可引起細胞計數大幅度下降，導致人體免疫缺陷，嚴重影響患者抵御感染的能力[1]。

目前，數學建模已經成為分析和控制傳染病傳播的重要工具。近年來，對艾滋病在數學建模方面的研究已取得很大進展[2-3]。對模型的改進是為了更好地分析和解釋病情，并預測和控制發(fā)病率。最初的HIV/AIDS模型是由Nowak和Perelson等[4-5]提出的，該模型被廣泛應用于艾滋病感染動力學：

其中T（t），I（t），V（t）分別表示t時刻未感染 CD4＋T細胞個數、已感染CD4＋T細胞個數和病毒載量（HIV）。參數A表示未感染細胞的固有生成率，β表示病毒感染率，d1，d2，d3分別表示未感染細胞、已感染細胞和病毒的死亡率，k表示病毒復制率。A，β，d1，d2，d3，k均為正數。

在20世紀90年代，有一個關于HIV RNA轉錄成DNA的討論：當HIV病毒進入CD4＋T細胞后，HIV病毒可能并未完全反轉錄成DNA。在病毒基因組被整合到淋巴細胞基因組之前，一部分處于潛伏期的感染細胞可以恢復到未被感染的狀態(tài)[6]。最近，已有一些數學模型建立在這樣假設（部分感染細胞可恢復到未被感染狀態(tài)）的基礎上[7-8]。其中 Srivastava和 Chandra討論了如下模型[7]：

其中變量T（t），I（t），V（t）和參數A，β，d1，d2，d3，k與模型（1）具有相同的意義，這里參數p（p＞0）表示處于潛伏期感染細胞的恢復率。

在模型（1）和（2）中，感染率 βT（t）V（t）被假設為在未感染細胞個數T（t）和病毒載量V（t）之間是雙線性的。然而，實際發(fā)生率可能不是完全雙線性的。Sun等[9]提出了如下模型：

此處用的是非線性發(fā)生率即發(fā)生率不再是未感染細胞個數T（t）和病毒載量V（t）的雙線性關系。

在本文，我們提出了具有飽和發(fā)生率的被修正HIV傳染病模型：

假設參數α＞0且d1≤d2。

由系統(tǒng)（4）的前2個方程得，

再由系統(tǒng)（4）的第3個方程得

于是

因此系統(tǒng)（4）的正向不變集為

1 平衡點的局部穩(wěn)定性

系統(tǒng)（4）總存在無病平衡點E0（T0，0，0），其中。定義基本再生數

易證：當R0＞1時，系統(tǒng)（4）存在唯一的正平衡點E*（T*，I*，V*），其中

且正平衡點E*（T*，I*，V*）在Ω的內部：

因此，只需要在Ω0上考慮E*（T*，I*，V*）的穩(wěn)定性。

1.1 無病平衡點E0的局部穩(wěn)定性

定理1當R0＜1時，系統(tǒng)（4）的無病平衡點E0（T0，0，0）是局部漸近穩(wěn)定的；當R0＞1時，E0（T0，0，0）是不穩(wěn)定的。

證明系統(tǒng)（4）在無病平衡點E0（T0，0，0）處的線性化系統(tǒng)的特征方程為

顯然，方程（9）總有負實根λ＝-d1，其余的根取決于方程

整理方程（10）得

當，方程（11）所有的根均有負實部，因此無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的。當R0＞1時，方程（11）有一個正實根，因此無病平衡點E0是不穩(wěn)定的。

1.2 正平衡點E*（T*，I*，V*）的局部漸近穩(wěn)定性

定理2當R0＞1時，系統(tǒng)（4）的正平衡點E*（T*，I*，V*）是局部漸近穩(wěn)定的。

證明系統(tǒng)（4）在正平衡點E*（T*，I*，V*）的線性化系統(tǒng)的特征方程為

由Routh-Hurwitz判別準則知，正平衡點E*（T*，I*，V*）是局部漸近穩(wěn)定的。

2 平衡點的全局穩(wěn)定性

2.1 無病平衡點E0的全局漸近穩(wěn)定性

定理3當R0＜1時，系統(tǒng)（4）的無病平衡點E0（T0，0，0）在Ω內是全局漸近穩(wěn)定的。

證明令（T（t），I（t），V（t））是系統(tǒng)（4）的任一正解，定義Lyapunov函數：

計算V1（t）沿系統(tǒng)（4）的全導數：

當R＜1時，當且僅當V（t）＝0時。因此，在 Ω內的最大正向不變集為

于是有極限方程：

定義Lyapunov函數：

其中T0＝。計算V2（t）沿系統(tǒng)（13）的全導數：

其中當且僅當T（t）＝T0，I（t）因此的正向不變集為：

由 LaSalle不變集原理知，E0（T0，0，0）是全局漸近穩(wěn)定的。

2.2 正平衡點E*的全局漸近穩(wěn)定性

設開集是C1函數?？紤]微分方程

設x（t，x0）代表方程（15）滿足條件x（0）＝x0的解。令是系統(tǒng)（15）的一個平衡點，Li等[10]作了下面兩個基本假設：

（H1）方程（15）在Γ內存在一個緊吸引子集K?Γ；

（H2）方程（15）在Γ內有唯一平衡點∈Γ。

給出了如下結論：

引理1[10]若下列條件成立：

（i）假設（H1）和（H2）成立；

（ii）方程（15）滿足 Poincare′-Bendixson性質；

（iii）對系統(tǒng)（15）具有p（0）∈D的每一個周期解x＝p（t），系統(tǒng)（15）關于p（t）的二階復合矩陣

是漸近穩(wěn)定的，其中是f的Jacobian矩陣的第二加性復合矩陣；

則系統(tǒng)（15）的唯一平衡點在Γ內是全局漸近穩(wěn)定的。

定理4當R0＞1時，系統(tǒng)（4）的正平衡點E*（T*，I*，V*）在Ω0內是全局漸近穩(wěn)定的。

證明根據引理，逐條驗證四個條件：

（i）條件（H1）等價于系統(tǒng)（4）的一致持久性[11]。由式（8）知，Ω0是有界的，所以對于系統(tǒng)（4）的一致持久性的充分必要條件等價于平衡點E0是不穩(wěn)定的 。定理1已證：當R0＞1時，E0是不穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)（4）一致持久的，從而（H1）成立。

同時，由于E*（T*，I*，V*）是系統(tǒng)（4）在Ω0內的唯一平衡點，因此（H2）成立。

（ii）系統(tǒng)（4）的Jacobian矩陣為

取H＝diag（1，-1，1），則

顯然，HJH的非對角線元素非正，系統(tǒng)（4）滿足Poincare′-Bendixson性質，因此引理1的條件（ii）成立。

（iii）令p（t）＝（T（t），I（t），V（t））是系 統(tǒng)（4）在Ω0內的任意一個周期解，則系統(tǒng)（4）的Jacobian矩陣的第二加性復合矩陣為

沿系統(tǒng)（4）任一周期解（T（t），I（t），V（t））的二階復合系統(tǒng)為

考慮Lyapunov函數：

由一致持久性知，周期解p（t）＝（T（t），I（t），V（t））與邊界?Ω有一定的距離，故存在常數μ＞0，使得T（t）＞μ，I（t）＞μ，V（t）＞μ。并結合式（8）中的得

對全部（ω1，ω2，ω3）∈ R3及（T（t），I（t），V（t）），計算V3的右導數。注意到

于是由式（22），式（25）和Gronwall不等式得

由上式知故由式（19）知，當t即二階復合系統(tǒng)（18）是漸近穩(wěn)定的。這樣就驗證了引理1中的條件（iii）。

（iv）由式（13）可得，

由于J（E*）是3×3矩陣，即n＝3，于是

驗證了引理1的條件（iv）。

因此，當R0＞1時，由引理得，系統(tǒng)（4）唯一的正平衡點E*（T*，I*，V*）在Ω0內是全局漸近穩(wěn)定的。

3 數值模擬

在系統(tǒng)（4）中，令參數A＝5，k＝10，β＝0.000 2，α＝0.5，p＝0.5，d1＝0.1，d2＝0.5，d3＝0.3，顯然R0＝＜1，此時系統(tǒng)存在一個無病平衡點E0（50，0，0）。由定理3可知，E0是全局漸近穩(wěn)定的，數值模擬結果驗證了上述結論（見圖1）。

圖1 R0 ＜1時，E0（T0，0，0）的穩(wěn)定性Fig.1 When R0 ＜1，the stability of E0（T0，0，0）

若令參數此時系統(tǒng)（4）有唯一的正平衡點E*（41.92，1.62，53.89）。根據定理4可知，E*是全局漸近穩(wěn)定的，數值模擬的結果與文中結論一致（見圖2）。

圖2 R0＞1時，E*（T*，I*，V*）的穩(wěn)定性Fig.2 When R0 ＞1，the stability of E*（T*，I*，V*）

[1]WANGL C，LI M Y.Mathematical analysis of the global dynamics of a model for HIV infection of CD4＋T cells[J].Mathematical Biosciences，2006，200（1）：44-57.

[2]楊俊仙，吳元翠，閆萍.一類具時滯與飽和發(fā)生率的HIV-1傳染病模型的全局穩(wěn)定性[J].中山大學學報（自然科學版），2016，55（4）：26-29，38.YANG J X，WU Y C，YAN P.Global stability of a HIV-1 epidemic model with time delay and saturation incidence rate[J].Acta Scientirum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2016，55（4）：26-29，38.

[3]馮依虎，陳賢峰，莫嘉琪.一類免疫缺陷病毒傳播的非線性動力學系統(tǒng)[J].中山大學學報（自然科學版），2017，56（5）：60-63.FENG Y H，CHEN X F，MOJQ.A class of nonlinear dynamic system of human groups for HIV transmission[J].Acta Scientirum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2017，56（5）：60-63.

[4]NOWAK M A，BANGHAM CR M.Population dynamics of immune responses to persistent viruses[J].Science，1996，272（5258）：74-79.

[5]PERELSON A S，NELSON P W.Mathematical models of HIV dynamics in vivo[J].SIAM Review，1999，41（1）：3-44.

[6]ESSUNGER P，PERELSON A S.Modeling HIV infection of CD4＋T cell subpopulations[J].Journal of Theoretical Biology，1994，170（4）：367-391.

[7]SRIVASTAVA PK，CHANDRA P.Modeling the dynamics of HIV and CD4＋T cells during primary infection[J].Nonlinear Analysis： Real World Applications，2010，11（2）：612-618.

[8]BUONOMO B，VARGAS-DE-LEON C.Global stability for an HIV-1 infection model including an eclipse stage of infected cells[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2012，385（2）：709-720.

[9]SUN Q L，MIN L Q.Dynamics analysis and simulation of a modified HIV infection model with a saturated infection rate[J].Computational and Mathematical Methods in Medicine，2014，2014（5258）：145162.

[10]MICHAEL Y L，WANG L C.Global stability in some SEIR epidemic models[J].Mathematical Approaches for Emerging and Reemerging Infectious Diseases：Models，Methods，and Theory，2002，126：295-311.

[11]WALTMAN P.A brief survey of persistence[C]∥Proceedings of a Conference in Honor of Kenneth Cooke，1991：31-40.

[12]LI M Y，GRAEF JR，WANG L，et al.Global dynamics of a SEIR model with varying total population size[J].Mathematical Biosciences，1999，160（2）：191-213.