劉艷東，張毅

（1.蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009；2.蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

經(jīng)典力學(xué)中許多經(jīng)典的方法只適用于保守系統(tǒng)，對于非保守系統(tǒng)卻不適用。為了解決這一問題，1996年Riewe[1-2]將分?jǐn)?shù)階微積分引入到非保守系統(tǒng)動力學(xué)，開啟了非保守系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階建模及其研究。Frederico和 Torres[3-6]首先開展分?jǐn)?shù)階Noether定理的研究，利用時間重新參數(shù)化方法證明了分?jǐn)?shù)階力學(xué)和控制系統(tǒng)的Noether定理。張毅等[7-13]研究了分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量。近年來，關(guān)于對稱性與守恒量的研究取得了許多成果[14-19]。但迄今為止，基于Frederico和 Torres定義的分?jǐn)?shù)階守恒量概念建立的Noether定理僅研究了Noether對稱性與守恒量之間的聯(lián)系，尚未考慮其準(zhǔn)對稱性。本文將基于Caputo導(dǎo)數(shù)用時間重新參數(shù)化方法研究分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對稱性，建立該系統(tǒng)準(zhǔn)對稱性的定義和判據(jù)，給出Frederico-Torres守恒量定義下的分?jǐn)?shù)階守恒量，并證明該系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱性定理。

1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)

以下簡單介紹文中將用到的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及相關(guān)性質(zhì)，具體參見[20-21]。

設(shè)函數(shù)f（t）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)可積，則Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)分別定義為：

其中，Γ（*）是Euler Gamma函數(shù)，α是階數(shù)，且0≤α＜1。

設(shè)函數(shù)f（t）和g（t）是在區(qū)間[a，b]上的光滑函數(shù)，且f（a）＝f（b）＝0，則Caputo導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階分部積分公式為：

2 Caupto導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階Lagrange方程

設(shè)Hamilton作用量為：

其 中qs（s＝1，2，…，n） 為 廣 義 坐 標(biāo)，為系統(tǒng)的 Lagrange函數(shù)。

分?jǐn)?shù)階Hamilton原理可表示為：

帶有交換關(guān)系：

由分?jǐn)?shù)階Hamilton原理可直接導(dǎo)出：

方程（16）就是Caputo導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Lagrange方程。由分?jǐn)?shù)階Lagrange方程描述的動力學(xué)系統(tǒng)可稱為分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)。

3 特殊無限小變換下系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對稱性與守恒量

下面研究在時間不變的特殊無限小變換下分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)（16）的Noether準(zhǔn)對稱性與守恒量問題。首先由分?jǐn)?shù)階守恒量的Frederico-Torres定義[3]，我們有：

定義1對于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)沿著方程（16）的所有解曲線，有：

其中，m是任意整數(shù)，對于每一組函數(shù)I1i和I2i（i＝1，2，…，m），滿足

這里且，或且，則是該系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。

定義2設(shè)L1是另外的一個Lagrange函數(shù)，則時間不變的特殊無限小變換

是分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)（16）的Noether準(zhǔn)對稱變換，當(dāng)且僅當(dāng)對任意[T1，T2]?[t1，t2]，有

成立。

由式（20），容易得到：

這里 ΔG＝εG（t，qs（t））。

判據(jù)1如果規(guī)范函數(shù)G（t，qs（t））和無限小生成元ξs滿足條件：

則變換（19）是分?jǐn)?shù)階 Lagrange系統(tǒng)（16）的Noether準(zhǔn)對稱變換。

證明考慮到式（21）對任意的積分區(qū)間[T1，T2]都成立，因此有：

將式（23）對ε求導(dǎo)，并令ε＝0，可得：

定理1對于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)（16），如果無限小變換（19）是其Noether準(zhǔn)對稱變換，則系統(tǒng)存在定義1意義下的分?jǐn)?shù)階守恒量，形如：

證明由方程（16）可得：

將方程（26）代入式（22），注意到式（8）和（9），我們有：

由定義1，即得結(jié)果。證畢。

定理1稱為在時間不變的特殊無限小變換下分?jǐn)?shù)階 Lagrange系統(tǒng)（16）的 Noether準(zhǔn)對稱性定理。

4 一般無限小變換下系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對稱性與守恒量

下面研究在時間變化的一般無限小變換下分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)（16）的Noether準(zhǔn)對稱性與守恒量問題。

定義3設(shè)L1是另外一個Lagrange函數(shù)，則時間變化的一般無限小變換

是分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)（16）的Noether準(zhǔn)對稱變換，當(dāng)且僅當(dāng)對任意[T1，T2]?[t1，t2]，有

成立。

由式（28），我們有：

判據(jù)2如果規(guī)范函數(shù)G（t，qs（t））和無限小生成元和滿足條件：

則變換（27）是分?jǐn)?shù)階 Lagrange系統(tǒng)（16）的Noether準(zhǔn)對稱變換。

證明由式（29），可得：

考慮到式（31）對任意的積分區(qū)間[T1，T2]都成立，因此有：

并注意到：

其中，Δt＝εξ0，Δqs（t）＝εξs。由于：

將式（33）代入方程（32），同時等號兩邊對ε求導(dǎo)，并令ε＝0，可得：

定理2對于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)（16），如果無限小變換（27）是其Noether準(zhǔn)對稱變換，則系統(tǒng)存在定義1意義下的分?jǐn)?shù)階守恒量，形如：

證明引進(jìn)李普希茨變換

當(dāng) λ＝0時，滿足則Hamilton作用量（12）可表示為：

因此，如果作用量S[qs（·）]在定義3意義下準(zhǔn)不變，則作用量在定義 2意義下準(zhǔn)不變。由定理1，表達(dá)式

是系統(tǒng)的一個分?jǐn)?shù)階守恒量。當(dāng)λ＝0時，我們得到：

將式（41）和（42）代入式（39），得到：

定理2稱為在時間變化的一般無限小變換下分?jǐn)?shù)階 Lagrange系統(tǒng)（16）的 Noether準(zhǔn)對稱性定理。

5 算 例

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Lagrange函數(shù)

其中，ω為常數(shù)。

方程（16）給出：

由條件（30），我們得到：

方程（45）有解：

生成元（46）相應(yīng)于系統(tǒng)的Noether對稱變換，生成元（47）相應(yīng)于系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對稱變換。根據(jù)定理2，系統(tǒng)存在如下分?jǐn)?shù)階守恒量：

如取α＝1，則式（48）和（49）成為：

式（50）和（51）是經(jīng)典Lagrange系統(tǒng)的能量積分。

6 結(jié) 論

基于分?jǐn)?shù)階微積分建立起來的非保守系統(tǒng)動力學(xué)模型可以更準(zhǔn)確地刻劃復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)行為。因此，近20年來分?jǐn)?shù)階約束力學(xué)系統(tǒng)動力學(xué)的研究引起了人們的廣泛關(guān)注并取得了重要進(jìn)展。本文主要工作如下：1）建立了Caputo導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階Lagrange方程。2）應(yīng)用時間重參數(shù)方法研究了分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對稱性，得到了Frederico-Torres形式的分?jǐn)?shù)階守恒量，建立了分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對稱性定理。文中給出的方法和結(jié)果可望進(jìn)一步推廣應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階非完整力學(xué)系統(tǒng)等。

[1]RIEWE F.Nonconservative Lagrangian and Hamiltonian mechanics[J].Physical Review E，1996，53（2）：1890-1899.

[2]RIEWE F.Mechanics with fractional derivatives[J].Physical Review E，1997，55（3）：3581-3592.

[3]FREDERICO G SF，TORRESD F M.A formulation of Noether's theorem for fractional problems of the calculus of variations[J].Mathematical Analysis and Applications，2007，334（2）：834-846.

[4]FREDERICO GSF，TORRESDF M.Fractional optimal control in the sense of Caputo and the fractional Noether's theorem[J].International Mathematical Forum，2008，3（10）：479-493.

[5]FREDERICO G S F，TORRES D F M.Fractional Noether's theorem in the Riesz-Caputo sense[J].Applied Mathematics and Computation，2010，217（3）：1023-1033.

[6]FREDERICO G SF，TORRESD F M.Fractional isoperimetric Noether's theorem in the Riemann-Liouville sense[J].Reports on Mathematical Physics，2013，71（3）：291-304.

[7]ZHANG Y，ZHOU Y.Symmetries and conserved quantities for fractional action-like Pfaff variational problems[J].Nonlinear Dynamics，2013，73（1/2）：783-793.

[8]ZHOU Y，ZHANG Y.Noether's theorems of a fractional Birkhoffian system within Riemann-Liouville derivatives[J].Chinese Physics B，2014，23（12）：281-288.

[9]ZHANG Y，ZHAI X H.Noether symmetries and conserved quantities for fractional Birkhoffian systems[J].Nonlinear Dynamics，2015，81（1/2）：469-480.

[10]ZHAI X H，ZHANG Y.Noether symmetries and conserved quantities for fractional Birkhoffian systems with time delay[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2016，36：81-97.

[11]張毅，周燕.基于Riesz導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量[J].北京大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2016，52（4）：658-668.ZHOU Y，ZHANG Y.Noether symmetry and conserved quantity for fractional Birkhoffian systems in terms of Riesz derivatives[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis，2016，52（4）：658-668.

[12]YAN B，ZHANG Y.Noether's theorem for fractional Birkhoffian systems of variable order[J].Acta Mechanica，2016，227（9）：2439-2449.

[13]SONG CJ，ZHANG Y.Conserved quantities and adiabatic invariants for fractional generalized Birkhoffian systems[J].International Journal of Non-Linear Mechanics，2017，90：32-38.

[14]何勝鑫，朱建青，張毅.基于分?jǐn)?shù)階模型的非保守系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對稱性[J].中山大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2016，55（2）：58-63.HE SX，ZHU J Q，ZHANG Y.Noether quasi-symmetry for non-conservative systems based on fractional model[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2016，55（2）：58-63.

[15]何勝鑫，朱建青.基于分?jǐn)?shù)階模型的相空間中非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對稱性[J].中山大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，54（4）：37-42.HE SX，ZHU JQ.Noether quasi-symmetry for nonconservative mechanical system in phase space based on fractional models[J].Acta Scientiarum Scientiraum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2015，54（4）：37-42.

[16]丁金鳳，金世欣，張毅.基于Caputo導(dǎo)數(shù)下的含時滯的Hamilton系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether理論[J].中山大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2016，55（6）：79-85.DING J F，JING S X，ZHANG Y.Fractional Noether theorems for Hamilton system with time delay based on Caputo derivatives[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2016，55（6）：79-85.

[17]劉艷東，張毅.研究Noether準(zhǔn)對稱性定理的時間重新參數(shù)化方法[J].蘇州科技大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2017，34（2）：1-7.LIU Y D，ZHANG Y.The time-reparameterization method for study of Noether's quasi-symmetry theorems[J].Journal of Suzhou University of Science and Technology（Natural Science Edition），2017，34（2）：1-7.

[18]梅鳳翔.經(jīng)典約束力學(xué)系統(tǒng)對稱性與守恒量研究進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展，2009，39（1）：37-43.MEI F X.Advances in the symmetries and conserved quantities of classical constrained systems[J].Advances in Mechanics，2009，39（1）：37-43.

[19]梅鳳翔.約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2004.MEI F X.Symmetries and conserved quantities of constrained mechanical systems[M].Beijing：Beijing Institute of Technology Press，2004.

[20]PONDLUBNY I.Fractional differential equations[M].San Diego：Academic Press，1999：62-77.

[21]KILBAS A A，SRIVASTAVA H M，TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations[M].Amsterdam：Elsevier B V，2006：69-89.