王建敏，黃佳鵬，劉梓然，祝會(huì)忠，馬天明

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測(cè)繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.遼寧科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114000)

0 引言

由于電離層自身的不穩(wěn)定性，對(duì)于穿過(guò)該層的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)的電波會(huì)產(chǎn)生折射、散射等物理現(xiàn)象。電離層總電子數(shù)(total electron content，TEC)是反映電離層狀況的重要屬性，電離層TEC的波動(dòng)情況將會(huì)對(duì)人類(lèi)生活產(chǎn)生極大的影響。近幾年業(yè)界使用GNSS針對(duì)電離層TEC進(jìn)行監(jiān)測(cè)，通過(guò)探測(cè)電離層的異常情況作為研究地震發(fā)生的先驗(yàn)信息。因此，研究預(yù)報(bào)模型對(duì)電離層TEC的變化情況進(jìn)行高精度預(yù)報(bào)，進(jìn)而揭示隨著電離層TEC急劇變化可能發(fā)生的物理現(xiàn)象及自然災(zāi)害，具有重要的科研及實(shí)用的意義[1-4]。文獻(xiàn)[1]使用國(guó)際GNSS服務(wù)(International GNSS Service，IGS)組織公布的電離層TEC進(jìn)行自回歸滑動(dòng)平均模型(auto regressive and moving average model，ARMA)的建模與預(yù)測(cè)，以電離層平靜期和活躍期為研究對(duì)象，預(yù)報(bào)6 d的相對(duì)精度達(dá)到80 %以上[1]。文獻(xiàn)[2]使用自回歸模型(auto regressive model，AR)對(duì)電離層TEC進(jìn)行預(yù)報(bào)，使用不同的原始數(shù)據(jù)分別向后預(yù)測(cè)2 d、3 d，通過(guò)比較模型的預(yù)報(bào)精度，證明AR模型針對(duì)電離層TEC具有很好的預(yù)報(bào)精度[2]。文獻(xiàn)[3]利用AR模型與誤差反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(back propagation，BP)等組合模型完成電離層TEC預(yù)報(bào)，得到組合模型較單一模型可得到更好的預(yù)報(bào)結(jié)果的結(jié)論[3]。文獻(xiàn)[4]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型完成1 d的電離層TEC預(yù)報(bào)，表明訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能夠充分反映出不同季節(jié)電離層TEC的變化。文獻(xiàn)[5]利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成電離層TEC短期預(yù)報(bào)，在南北高緯度地區(qū)得到較高精度。以上研究均是直接基于IGS公布的數(shù)據(jù)完成預(yù)報(bào)，對(duì)于預(yù)處理方式大多以差分方式使數(shù)據(jù)平穩(wěn)化；但差分方式多是以簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型完成，并不完全遵循數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，只能完成數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理。這類(lèi)模型針對(duì)具有劇烈變化性的電離層TEC數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的預(yù)處理，沒(méi)有考慮到原始數(shù)據(jù)可能有誤差的存在；因此針對(duì)電離層TEC預(yù)報(bào)的預(yù)處理十分必要。

傳統(tǒng)卡爾曼濾波在對(duì)電離層TEC數(shù)據(jù)進(jìn)行處理過(guò)程中存在一定的缺陷，可能會(huì)導(dǎo)致濾波發(fā)散。本文采用方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波，用已有的電離層TEC數(shù)據(jù)對(duì)動(dòng)態(tài)噪聲方差矩陣進(jìn)行同步估計(jì)，減弱濾波模型所造成的誤差。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有良好的學(xué)習(xí)功能，可根據(jù)原始數(shù)據(jù)情況進(jìn)行自我修正，小波分析理論可充分突出不同頻率情況的變化趨勢(shì)；小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)兼具了二者的優(yōu)點(diǎn)，可充分?jǐn)M合變化劇烈的電離層TEC變化情況。將方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波作為數(shù)據(jù)預(yù)處理方式引入小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)電離層TEC進(jìn)行預(yù)報(bào)，用以降低可能存在的噪聲對(duì)預(yù)測(cè)模型及預(yù)測(cè)精度的影響。

1 模型基本原理

1.1 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波能減少隨機(jī)噪聲對(duì)電離層TEC觀測(cè)量的影響。它具有最小無(wú)偏差性，是當(dāng)前應(yīng)用最廣的一種數(shù)據(jù)預(yù)處理方法。它處理數(shù)據(jù)不僅會(huì)去除突變的數(shù)據(jù)，而且會(huì)保持?jǐn)?shù)據(jù)原有的變化趨勢(shì)，這樣有利于預(yù)報(bào)模型的建立。離散線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波方程包括狀態(tài)方程和觀測(cè)方程[6]為

(1)

L(k)=B(k)X(k)+Δ(k)

(2)

通過(guò)最小二乘原理可推得卡爾曼濾波方程為

(3)

(4)

Dx(k)=(E-J(k)×B(k))×Dx(k-1)

(5)

1.2 方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波

方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波就是在數(shù)據(jù)預(yù)處理過(guò)程中使用過(guò)去的電離層TEC數(shù)據(jù)對(duì)動(dòng)態(tài)噪聲方差矩陣進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，用以減少因?yàn)V波模型誤差造成的噪聲。其基本思路為：使用濾波值與真實(shí)值求得估計(jì)剩余，即

(6)

(7)

設(shè)式(7)中B(k)Φ(k)T=O(k,m)；而

(8)

因?yàn)镋(VT(k)V(k))=trace[E(V(k)VT(k))]=traceDVV，則有

VT(k+i)V(k+i)=traceDVV+δk+i

(9)

式中δk+i為零均值隨機(jī)變量。

令E(k)=VT(k)V(k)-trace[B(k)Φ(k)DX(k)ΦT(k)BT(k)]-traceDΔ(k)，又記

E=[E(k+1),……,E(k+N)]T，δ=[δk+i,……,δk+N]T。則有

E=OdiagDΔΔ+δ

(10)

式(10)是關(guān)于diagDΔΔ的矩陣，當(dāng)N≥m時(shí)，有唯一解；則記diagDΔΔ估計(jì)為

(11)

通過(guò)式(11)完成卡爾曼濾波即式(5)的修正[8-9]。

使用方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波作為電離層TEC預(yù)處理方法。方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波是依據(jù)前一刻電離層TEC的狀態(tài)量，結(jié)合觀測(cè)方程去估計(jì)當(dāng)前時(shí)刻TEC的濾波值，每一個(gè)電離層TEC數(shù)據(jù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)濾波后的濾波值，再以濾波值作為小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入值完成改進(jìn)模型的建立。

1.3 小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(wavelet neural network，WNN)是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為大體框架，將小波分析理論作為核心內(nèi)容的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。從結(jié)構(gòu)形式上來(lái)看是將小波分解與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相融合，用小波函數(shù)的平移因子充當(dāng)隱層閾值作用，用小波函數(shù)代替隱層核心函數(shù)Sigmoid函數(shù)。由于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要參數(shù)較多，極大增強(qiáng)了樣本數(shù)據(jù)與模型的關(guān)聯(lián)度，使得模型比小波分解具有更優(yōu)的逼近能力。不同網(wǎng)絡(luò)層包括的神經(jīng)元個(gè)數(shù)也各不相同。

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)核心部分表達(dá)式為

(12)

Morlet小波函數(shù)表達(dá)式為

(13)

(14)

隱含層與輸出層之間的權(quán)值調(diào)整公式為

(15)

(16)

2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

在利用預(yù)測(cè)模型對(duì)電離層進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，對(duì)于電離層TEC可能存在的誤差很少有人討論；因此筆者使用方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波對(duì)電離層TEC進(jìn)行預(yù)處理，用以降低原始電離層TEC可能存在的誤差，進(jìn)一步提高電離層TEC的預(yù)測(cè)水平?；跉W洲定軌中心(Center for Orbit Determination in Europe，CODE)下載的2016年電離層網(wǎng)格點(diǎn)TEC數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)與分析，因自 2015 年起全球網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)據(jù)以1 h為時(shí)間間隔，限于篇幅，選用2016年1月前10 d的數(shù)據(jù)。為驗(yàn)證該方法是否與數(shù)據(jù)的時(shí)間和緯度有關(guān)，取年積日為第1天至第10天全球不同經(jīng)緯度的格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，格網(wǎng)點(diǎn)的經(jīng)緯度包括(87.5°N，125°E)、(67.5°N，125°E)、(45°N，125°E)、(22.5°N，125°E)、(0°，125°E)、(22.5°S，125°E)、(45°S，125°E)、(67.5°S，125°E)、(87.5°S，125°E)[15-16]。利用AKN模型、KN模型與AN模型完成對(duì)于對(duì)上述基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)，使用前10 d的TEC值分別預(yù)測(cè)后6 d的數(shù)據(jù)，比較不同情況下的預(yù)測(cè)精度。AKN模型使用方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)處理，再利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成預(yù)測(cè)；KN模型使用傳統(tǒng)卡爾曼濾波預(yù)處理，再利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成預(yù)測(cè)；AN模型直接使用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成預(yù)測(cè)。為驗(yàn)證模型在磁暴情況下的預(yù)測(cè)水平，使用2004年第302天至第311天作為原始數(shù)據(jù)，完成2004年第312 天至第316天的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，選擇格網(wǎng)點(diǎn)為(45°N，125°E)[17]。選用預(yù)測(cè)平均精度和殘差值分布數(shù)據(jù)作為精度分析標(biāo)準(zhǔn)。

預(yù)測(cè)平均精度

(17)

式中：pi為不同預(yù)測(cè)模型i時(shí)刻的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)；qi為CODE公布的對(duì)應(yīng)時(shí)刻實(shí)際TEC數(shù)據(jù)。

殘差值V表達(dá)式為

V=pi-qi

(18)

圖1為2016-01-10—2016-01-16不同緯度的3個(gè)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)情況比較。圖1中橫坐標(biāo)為預(yù)測(cè)歷元，其中歷元間隔為1 h；縱坐標(biāo)表示TEC值，以總電子含量單位(total electron content units，TECU)的個(gè)數(shù)計(jì)，1個(gè)TECU等于1016個(gè)電子每平方米。

圖1 不同天數(shù)的預(yù)測(cè)情況比較

由圖1中可以看出：在不同緯度完成預(yù)測(cè)不同天數(shù)情況下，3個(gè)模型都有很高的擬合程度；利用方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波完成對(duì)于原始數(shù)據(jù)的預(yù)處理，相對(duì)另外2種模型具有更高的平均精度。

表1為3種不同模型在各個(gè)緯度下使用10 d數(shù)據(jù)完成預(yù)測(cè)的1～6 d的平均精度。

表1 不同緯度的相對(duì)精度統(tǒng)計(jì)

從表1中可以看出，在南半球AN模型、KN模型、AKN模型能夠取得較好的預(yù)測(cè)精度，而且在(87.5°S，125°E)區(qū)域預(yù)測(cè)精度最高，在該區(qū)域經(jīng)過(guò)方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)處理的數(shù)據(jù)再利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)會(huì)有更高的預(yù)測(cè)精度。由于是由小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成預(yù)測(cè)，可能導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度在某一區(qū)域較低，如(0°，125°E)區(qū)域，可能是由于該區(qū)域在這一時(shí)段不穩(wěn)定造成的；但是經(jīng)過(guò)卡爾曼濾波的預(yù)處理，提高了模型的總體預(yù)測(cè)精度：從表中可得出AKN模型預(yù)測(cè)精度相對(duì)KN模型和AN模型有不同程度的提高。從表中亦可看出緯度越高預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)精度相應(yīng)提高，(87.5°N，125°E)和(87.5°S，125°E)是各自半球預(yù)測(cè)精度最高的。高緯度地區(qū)是電離層異?；钴S的地區(qū)，結(jié)合本次實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)結(jié)果和原始數(shù)據(jù)曲線可以發(fā)現(xiàn)，在實(shí)驗(yàn)區(qū)間處2個(gè)高緯度區(qū)域的電離層TEC變化雖然不規(guī)律，但是電離層TEC變化范圍相對(duì)其他緯度更小，可能是導(dǎo)致預(yù)測(cè)模型精度更高的原因。

圖2為2004年磁暴現(xiàn)象預(yù)測(cè)結(jié)果，2004年CODE公布的數(shù)據(jù)歷元為2 h，5 d共有60個(gè)TEC數(shù)據(jù)，圖中第20個(gè)歷元至第28個(gè)歷元能明顯看出與周?chē)鷶?shù)據(jù)不同，通過(guò)比較3種模型擬合情況結(jié)合表1中數(shù)據(jù)可以看出，在磁暴預(yù)測(cè)情況下，AKN模型相對(duì)AN模型、KN模型有更好的預(yù)測(cè)效果。圖3為不同模型不同緯度的平均預(yù)測(cè)精度。

表2為不同模型在不同緯度預(yù)測(cè)殘差小于1個(gè)TECU的統(tǒng)計(jì)情況(預(yù)測(cè)1～6 d的平均值)。從表中可知：AN模型有16.64 %的殘差值小于1個(gè)TECU；AKN模型有20.37 %的殘差值小于1個(gè)TECU；在各個(gè)緯度AKN模型預(yù)測(cè)殘差小于1個(gè)TECU所占的比重相對(duì)另外2個(gè)模型都有不同程度的提高。

圖2 磁暴現(xiàn)象預(yù)測(cè)5 d結(jié)果

圖3 不同緯度的相對(duì)精度統(tǒng)計(jì)圖

結(jié)合表1、表2會(huì)發(fā)現(xiàn)：在各個(gè)緯度殘差分布情況和預(yù)測(cè)的相對(duì)精度趨勢(shì)不相同，這是由于預(yù)測(cè)精度的計(jì)算結(jié)果在很大程度上取決于基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的大小，相同或相近的預(yù)報(bào)殘差，若基值不同，相對(duì)精度會(huì)有較大差異；各個(gè)緯度原始TEC數(shù)據(jù)有很大差異，如(67.5°N，125°E)的數(shù)量級(jí)是5個(gè)TECU，(0°，125°E)的數(shù)量級(jí)是50個(gè)TECU，所以即使殘差較大，也可能具有略高的平均精度。綜合2種精度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)講，使用方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)處理可以提高模型的預(yù)測(cè)精度，是一種比較理想的提高預(yù)測(cè)精度的方式。

表2 不同模型預(yù)測(cè)殘差小于1個(gè)TECU所占百分比

表3給出預(yù)測(cè)不同天數(shù)平均精度的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

表3 預(yù)測(cè)不同天數(shù)的平均精度統(tǒng)計(jì)

圖4為預(yù)測(cè)不同天數(shù)各模型平均精度的比較情況，由AKN模型變化趨勢(shì)結(jié)合表3可知，預(yù)測(cè)不同天數(shù)情況下的AKN模型預(yù)測(cè)精度在54 %～69 %范圍內(nèi)，預(yù)測(cè)平均精度為60.27 %，預(yù)測(cè)平均精度相對(duì)直接使用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)提高4.93 %，且在預(yù)測(cè)6 d過(guò)程中保持逐步降低的總體趨勢(shì)，超過(guò)4 d其相對(duì)精度將隨時(shí)間明顯降低。

圖4 不同天數(shù)各模型的相對(duì)精度比較

圖5、表4為預(yù)測(cè)不同天數(shù)各模型殘差小于1個(gè)TECU的統(tǒng)計(jì)情況，從中可知：根據(jù)AKN模型的變化過(guò)程，預(yù)報(bào)殘差小于1個(gè)TECU的占20.37 %，相對(duì)直接使用原始數(shù)據(jù)建模提高3.73 %；且根據(jù)變化曲線來(lái)看，AKN模型隨著預(yù)測(cè)天數(shù)的變化，殘差也在略微改變，但是仍然優(yōu)于另外2個(gè)模型。

圖5 不同模型預(yù)測(cè)殘差小于1個(gè)TECU預(yù)測(cè)天數(shù)統(tǒng)計(jì)

預(yù)測(cè)時(shí)間/dAN模型的百分比/(%)KN模型的百分比/(%)AKN模型的百分比/(%)116.6722.6827.77219.4420.6021.29316.2017.5921.45416.2015.1616.55516.5715.2718.24613.1915.6616.24平均值16.6417.8320.37

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究表明，使用方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波對(duì)電離層TEC進(jìn)行預(yù)處理，再利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成預(yù)測(cè)結(jié)果較為理想。無(wú)論是高緯度、中緯度，還是低緯度地區(qū)，經(jīng)過(guò)自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)處理的電離層數(shù)據(jù)，再利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型完成預(yù)測(cè)，能夠在不同程度上提高預(yù)測(cè)精度，降低殘差值的影響。使用該方法預(yù)測(cè)樣本長(zhǎng)度會(huì)對(duì)模型有很大影響，其大體規(guī)律為隨時(shí)間增加，模型預(yù)測(cè)精度隨之降低。

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