張大洪

(重慶市潼南第二中學 402660)

帶電粒子在重力場、勻強電場、勻強磁場共存的重疊場中運動時，由于重力場、勻強電場對帶電粒子的作用力均為恒力，勻強磁場對帶電粒子的洛侖茲力f=qvB⊥與粒子速度v成正比，故隨粒子速度v的大小、方向的變化其受到的合力大小、方向均可能發(fā)生相應變化，因而粒子的運動情況也會隨之改變，這將使問題的處理與解答變得更為困難；本文從實例的處理入手加以總結，歸納分析處理此類問題的思路與方法.

一、帶電粒子在三種場重疊區(qū)域中作無約束的直線運動、圓周運動問題的分析

例1 如圖1示在一豎直平面內，y軸左方有一水平向右的場強為E1的勻強電場和垂直于紙面向里的磁感應強度為B1的勻強磁場，y軸右方有一豎直向上的場強為E2的勻強電場和另一磁感應強度為B2(大小、方向均未知)的勻強磁場.有一帶電荷量為+q、質量為m的微粒，從x軸上的A點以初速度v與水平方向成θ角沿直線運動到y(tǒng)軸上的P點，A點到坐標原點O的距離為d.微粒進入y軸右側后在豎直面內做圓周運動，然后以與P點運動速度相反的方向打到半徑為r的四分之一絕緣光滑圓管內壁的M點(假設微粒與M點碰后不反彈、電荷量不變，圓管內徑的大小可忽略，電場和磁場不受影響地穿透圓管)，并沿管內壁下滑至N點，設m、q、v、d、r已知，θ=37°，sin370=0.6、cos370=0.8，求：

(1)電場強度E1與E2的大小之比？

(2)y軸右側磁場的磁感應強度B2的大小、方向？

(3)微粒從A點運動到N點所用的時間？

解析(1)微粒沿AP直線運動中其受力右圖1-1示，由于洛侖茲力大小隨粒子運動速度的變化將發(fā)生相應變化而重力、電場力為恒力，故合力將隨粒子運動速度而變化；要使粒子作直線運動則只有讓洛侖茲力恒定即其速度恒定不變，故粒子必作勻速直線運動；因而圖中三力之合必為0即有qE1cosθ=mgsinθ…①；

總結：帶電粒子在三種場重疊的區(qū)域內在無其它約束情況下：

1.粒子作直線運動時——只能作勻速直線運動，故三場力之合必為0；

2.粒子在豎直平面內作圓周運動時:粒子受到的電場力與重力必等大、反向、共線即此二力平衡，粒子只在洛侖茲力作用下作勻速圓周運動，即洛侖茲力作向心力；

練習1 如圖1-2甲所示，虛線間空間存在由勻強電場E和勻強磁場B組成的正交或平行的電場和磁場，有一個帶正電小球(電荷量為+q，質量為m)從正交或平行的電磁混合場上方的某一高度自由落下，那么，帶電小球可能沿直線通過下列的哪個電磁混合場( ).

解析在四種情況中帶電小球進入復合場時受力情況如圖1-2乙所示：A圖中由于小球所受合力不為零，所以洛倫茲力不恒定，因此水平方向合力不可能保持為零，小球不可能沿直線運動；B圖中垂直紙面向外的方向上只有一個洛倫茲力，所以這種情況下小球也不能沿豎直方向運動；C圖中小球所受三個力的合力如果為零，小球就可以沿豎直線運動；D圖中小球只受豎直方向兩個力作用，一定沿豎直線運動．答案：CD

練習2 (2014年杭州高三質檢)如圖1-3所示，已知一帶電小球在光滑絕緣的水平面上從靜止開始經電壓U加速后，水平進入互相垂直的勻強電場E和勻強磁場B的復合場中(E和B已知)，小球在此空間的豎直面內做勻速圓周運動，則( ).

A．小球可能帶正電

D．若電壓U增大，則小球做勻速圓周運動的周期增加

二、帶電粒子在三種場重疊區(qū)域中作有約束的直線運動、圓周運動問題分析

(1)小球帶何種電荷？

(2)小球在半圓軌道部分克服摩擦力所做的功？

(3) 小球從P點飛出時磁場同時消失，小球離開P點后的運動軌跡與直線AC(或延長線)的交點為G點(未標出)，求G點到D點的距離？

(4) 若只將半圓軌道改成光滑且小球到達點C的速度不變、圖中的原有電場與磁場均不變，則小球在半圓軌道上運動中對軌道的最大壓力及最小壓力各多少？

解析(1)由于小球從C向D的直線運動中是不受約束的，故小球在CD間必將作勻速直線運動，其受到重力，靜電力、洛倫茲力如圖2示，且三力之合力必為0，因此帶電小球應帶正電荷．

練習3 (2013年江西八校聯(lián)考)如圖2-1所示，在水平勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場中，有一豎直足夠長固定絕緣桿MN，小球P套在桿上，已知P的質量為m，電荷量為+q，電場強度為E、磁感應強度為B，P與桿間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g.小球由靜止開始下滑直到穩(wěn)定的過程中( ).

A．小球的加速度一直減小

B．小球的機械能和電勢能的總和保持不變

方法總結：1.帶電粒子在三種場重疊區(qū)域并受到輕桿、軌道、平面等約束情況下的直線運動——抓住洛侖茲力f=qvB隨速度的變化引發(fā)的相應各力的變化，從而導致物體運動情況也會產生相應的變化；找準物理過程中力、運動的轉折點(極值點、臨界點)，靈活應用動力學、動能定理及能量守恒定律處理；

2.注意粒子受到的等效重力及平衡位置：

等效重力G等——將重力與電場力之合力G等來替代此二力即稱G等為等效重力；

平衡位置——帶電粒子或小球在約束下能保持靜止時的位置；

3.帶電粒子在三種場重疊區(qū)域并受到輕桿、輕繩、圓環(huán)、軌道等約束下的圓周運動：

①粒子圓周運動中的物理最高點——粒子或小球的平衡位置相對于圓心的對稱點.

②粒子受輕繩、內軌道約束下繞圓心作圓周運動的臨界條件——粒子經過物理最高點時受到的約束力大于或等于0即T最高點≥0；

③粒子受輕桿、圓環(huán)約束下繞圓心作圓周運動的臨界條件——粒子經過物理最高點時的速度大于或等于0即v最高點≥0；

④粒子變速運動中經過平衡位置時其受到的約束力必最大；粒子或小球受輕繩、內軌道約束時其經過物理最高點時受到的約束力最小且方向必沿半徑向圓心；粒子或小球受輕桿、圓環(huán)約束時其經過物理最高點時受到的約束力的大小與方向將隨其經過此位置的速度大小而不同；

⑤粒子變速運動中靈活應用動力學、動能定理及能量守恒定律處理；

⑥粒子作勻速圓周運動的條件——粒子受到的電場力與重力(或此二力在其圓周平面上的分力)必等大、反向、共線即此二力平衡，粒子只在洛侖茲力作用下作勻速圓周運動，即洛侖茲力作向心力；

三、帶電粒子在重疊場區(qū)域中作一般曲線運動的分析

例3 (2013年高考福建理綜)如圖3甲，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B.讓質量為m，電荷量為q(q>0)的粒子從坐標原點O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場中．不計重力和粒子間的影響．

(1)若粒子以初速度v1沿y軸正向入射，恰好能經過x軸上的A(a,0)點，求v1的大小．

(2)已知一粒子的初速度大小為v(v>v1)，為使該粒子能經過A(a,0)點，其入射角θ(粒子初速度與x軸正向的夾角)有幾個？并求出對應的sinθ值．

(3)如圖3乙，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強電場，一粒子從O點以初速度v0沿y軸正向發(fā)射．研究表明：粒子在xOy平面內做周期性運動，且在任一時刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標成正比，比例系數(shù)與場強大小E無關．求該粒子運動過程中的最大速度值vm.

圖4

總結：粒子在一般曲線運動中其速度大小、方向均是變化的，故其受到的洛侖力f=qvB必為變力，對運動中的特殊狀態(tài)可用動力學方法處理相關的運動和力的關系問題，對運動過程則要充分利用動能定理與能量守恒定律加以處理，特別注意洛侖茲力始終不做功.

參考文獻：

[1]李鳳環(huán).帶電粒子在電場中的直線運動[J].數(shù)理化學習(高中版),2004(12).