陳習羽
(廣東省中山市龍山中學 528400)
追及問題是運動學中較為綜合且有實踐意義的一類問題,它往往涉及兩個以上物體的運動過程,每個物體的運動規(guī)律又不盡相同.對此類問題的求解,要求學生要透徹理解基本物理概念,熟練運用運動學公式外,還應仔細審題,挖掘題文中隱含著的重要條件.并盡可能地畫出草圖以幫助分析,確認兩個物體運動的位移關(guān)系、時間關(guān)系和速度關(guān)系,在頭腦中建立起一幅物體運動關(guān)系的圖景.
顯然,追及問題的求解,對圖像的運用有很高的要求.但是由于用一般工具作圖的效率比較低下,且作出來的一般只是靜態(tài)分析圖,作用不大.所以老師在引導學生探究追及問題時,往往只會作出簡單的示意圖,然后采用極值法、臨界法等純數(shù)學手段.雖然答案是很快計算出來了,但是并不能向?qū)W生展示物體的整個運動過程.導致的結(jié)果是,大部分學生把題目算完,還是不清楚物體到底是怎么運動.當題目難度增加,或含有隱藏條件時,他們還是不會分析,最多就只會生硬的照搬原來的解題方法.
圖形計算器能很好的解決上述提到的問題,它可以快速的作出所需要的圖像,既可以做靜態(tài)分析,也可以做動態(tài)圖做動態(tài)分析.能幫助學生更好的探究追及運動過程的中的每一個細節(jié),理解每一個結(jié)論和結(jié)果的來歷.原來在物理探究時不怎么使用圖形計算器,是因為價格昂貴或者計算器操作不便.但現(xiàn)在智能手機已經(jīng)相當普及,在智能手機安裝相應的APP就可以變成一個圖形計算器,把圖形計算器應用到日常教學中已不再是難事.
本文使用的是德州儀器Ti-nspireCXCAS圖形計算器.下面舉兩個例子,來說明圖形計算器在探究追及問題過程中的應用和優(yōu)點.
例1 公共汽車從車站開出以v=4 m/s的速度沿平直公路行駛,t0=3 s后一輛摩托車從同一車站開出勻加速追趕,加速度為a=2 m/s2,試問:
(1)摩托車出發(fā)后,經(jīng)多少時間追上汽車,此時離出發(fā)處多遠?
(2)摩托車追上汽車前,兩車最遠距離是多少?
利用圖形計算器探究問題,要先做一些初始工作.根據(jù)題目輸入相關(guān)物理量,為了顯示簡潔,單位省略不輸入,默認取國際單位.設(shè)追上的時間為x(該計算器作圖自變量只能為x),以車站為初位移,定義汽車位移為s1(x),摩托車位移為s2(x),兩車距離為s(x),如圖(1).
在同一坐標系在作出兩車位移圖像,如圖(2).通過兩線的交點坐標,就可以得到摩托車出發(fā)后6 s,在離車站36 m處追上汽車.
通過圖像法,我們可以很直觀地看到摩托車是如何追上汽車的.而且利用圖形計算器優(yōu)秀的計算能力,可以瞬間得到結(jié)果.通過圖像弄清楚整個追及過程后,再引導學生將上述過程轉(zhuǎn)化為書面解答,如下:
聯(lián)解得追上用時:t=6 s或t=-2 s(舍去)
兩個車的距離,實際就是兩個圖像中相同時刻y坐標的差,我們可以直接在圖2的基礎(chǔ)上作出來代表兩車距離的線段.拖動線段到不同的時刻,就可以動態(tài)顯示這個距離的變化(文章只能以靜態(tài)展示),如圖3.我們直接的就能看出兩車的距離先增大,后減小.(u為單位長度,此時對應單位m)
為了精確的求出最大距離,可以畫出兩車距離的函數(shù)圖象s(x),用計算器找到圖像的最大值,如圖(4).根據(jù)圖示,就可以得到摩托車出發(fā)2s時,兩車有最大距離16m,與圖(3)得到的結(jié)果吻合.同時我們可以找出圖像的零點,則6s時兩車距離為零,與第(1)問吻合.根據(jù)探究過程,轉(zhuǎn)化為書面解答,如下:
(2)追上前兩者距離:
根據(jù)二次函數(shù)規(guī)律,得:t1=2s時,兩車有最大距離:Δsmax=16m
本題還可以進一步探究兩車的速度關(guān)系,進而得到兩車距離最大的臨界條件.在圖4的基礎(chǔ)上,直接疊加兩車的速度圖象.并通過計算器求出兩車速度圖像的交點,如圖5.可以發(fā)現(xiàn),2s末,在兩車距離達到最大的同時,兩車速度相同,此為兩車距離最大的臨界條件.
返回到初始輸入框,如圖6.通過計算驗證可得,2s末兩車速度相同,且距離為16m有最大值.因此,我們得到了求最大距離的第二種方法,臨界條件法.引導學生書面作答,對應的解答過程如下:
(3)當兩車速度同時,有:at1=v,得:t1=2 s
例1是追及問題的規(guī)律探究.可以看到,利用圖形計算器的幫助,可以精確的作出各個物體的運動圖像,能同時呈現(xiàn)多個物體的運動規(guī)律.利用圖形計算器精準的運算能力,可以快速求得圖線的交點、零點、截距、長度等等有用數(shù)據(jù),并且可以動態(tài)顯示其變化過程.這對于過程分析比較弱的、空間想象能力比較差的同學,利用圖形計算器進行圖形分析,是他們學習追及問題、學習好物理最好的選擇.
同時由于作圖和運算在計算器里面是瞬間完成,在數(shù)據(jù)處理上能節(jié)約大量的時間,留給學生更多的思考時間,去探知和理解新的物理問題.人獲取信息的主要通道是視覺,直觀的圖象分析教學,能從感情和理性兩方面同時激發(fā)他們,加速學生對問題的理解.
最后,再舉一個小例子.
例2 甲車以v1=10 m/s的速度在平直的公路上勻速行駛,乙車以v2=4 m/s的速度與甲車平行同向勻速直線運動,甲車經(jīng)過乙車旁邊時開始以a=0.5 m/s2的加速度剎車,從甲車剎車開始計時,求乙車追上甲車所用的時間.
這道題,一般學生的解答是這樣的:
這是一個錯誤的解答.為什么按照例1的解法竟然會得到一個錯誤的答案?我們用圖形計算器,把上面的求解方法,用圖像表示出來看看.
先初始化,如圖(7).其中運動時間為x,甲、乙的位移為s1(x),s2(x),甲的速度為vt(x).選畫出甲、乙的位移圖像,如圖(8),求得圖像交點坐標(24,9).
根據(jù)圖像我們會發(fā)現(xiàn),在24 s前,甲車有一小段是在后退的,這在剎車過程不可能發(fā)生.利用計算器找出甲位移圖象的最大值,同時再作出甲車的速度圖像,得圖(9).
圖像顯示,甲在20 s末開始后退,但實際上此時甲的速度已經(jīng)為零.也就是說,甲在20 s后就保持靜止在位移100 m處.修正甲的運動圖像,得圖(10).通過圖象可得實際追上所用的時間為25 s.
通過例2我們可以看出,用圖形計算器可以實時把物體的整個運動軌跡直觀的呈現(xiàn)出來.原先題目所隱藏的條件或者設(shè)置的陷阱,在此無所遁形.
參考文獻:
[1]康杰. 圖形計算器在中學數(shù)學探究性學習活動中的應用[J].數(shù)學教育學報,2002(05).