許偉湘

(福建省漳州市詔安一中 363500)

一、利用數(shù)形結(jié)合的方法，巧用兩點(diǎn)間的距離求最值問(wèn)題

圖1

其幾何意義是點(diǎn)P(x，0)到點(diǎn)A(1，-2)與點(diǎn)B(2，3)的距離之和的最小值.顯然點(diǎn)P在AB上時(shí)y取最小值|AB|.

分析由于f(x)的解析式中含有兩個(gè)根號(hào)，根號(hào)內(nèi)部都是x的二次式，以中學(xué)的代數(shù)方法很難求出它的最大值，但如果巧妙用兩點(diǎn)間的距離公式的方法，那么問(wèn)題就簡(jiǎn)單了.

圖2

二、利用數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)成直線斜率問(wèn)題解題

圖3

分析單純從代數(shù)角度考慮，當(dāng)x使f(x)的解析式的分子取最大(小)值時(shí)，分母并不是最小(大)值，所以利用sinx和cosx的有界性，難以求得f(x)的最大(小)值，若A(cosx,sinx)，B(2，2)，f(x)就是AB的斜率，而A(cosx,sinx)在單位圓上，這樣就很容易求解.

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，2)，斜率為k的直線l：y-2=k(x-2)與 圓x2+y2=1相切，切點(diǎn)為M1和M2.則函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為斜率的最值.

圖4

設(shè)直線方程為y=kx.

三、利用數(shù)形結(jié)合的方法，解決數(shù)列問(wèn)題

利用數(shù)列的一些相關(guān)性質(zhì)，往往可以把數(shù)列問(wèn)題構(gòu)造為一次函數(shù)來(lái)解題.

例5 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9，求公比q.

解根據(jù)題意知q≠1，由于點(diǎn)(q3,S3)、(q6,S6)、(q9,S9)共線，

即q3(S3-S9)=(1+q3)(S6-S9) (*).

由已知S3-S9=2S9， ∴S3-S9=S9-S6，

四、利用數(shù)形結(jié)合的方法，解決方程的根(函數(shù)的零點(diǎn))的個(gè)數(shù)問(wèn)題

(1)若g(x)=m有零點(diǎn),求m的取值范圍;

(2)確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.

分析：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法:

(1)直接求零點(diǎn):令f(x)=0,如果能求解,則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn);

(2)零點(diǎn)存在性定理:利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0, 還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性等)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn);

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù):畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),有幾個(gè)交點(diǎn)就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

即m的取值范圍為[2e,+∞).

可知若使g(x)=m有零點(diǎn),則只需m≥2e.

即m的取值范圍為[2e,+∞).

(2)若g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根,

即g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,

圖5 圖16

∴其圖象的對(duì)稱軸為x=e,開口向下,最大值為m-1+e2.

故當(dāng)m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1時(shí),g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn),即g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.

∴m的取值范圍是(-e2+2e+1,+∞).

五、利用數(shù)形結(jié)合的方法， 研究方程、曲線、函數(shù)、不等式中參數(shù)問(wèn)題

諸多的關(guān)于方程或不等式的問(wèn)題，往往可以轉(zhuǎn)化為方程與不等式的函數(shù)圖象關(guān)系來(lái)解決.

例7 設(shè)二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0的兩根x1,x2滿足0

圖1

分析構(gòu)造二次函數(shù)y=7x2-(a+13)x+a2-a-2，根據(jù)二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0的兩根取值范圍，來(lái)確定拋物線y=7x2-(a+13)x+a2-a-2與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變化區(qū)域及縱坐標(biāo)的情況.

解設(shè)y=7x2-(a+13)x+a2-a-2,作出此函數(shù)的大致圖象(如圖).

∵0

解此不等式組得：-2

例8 求函數(shù)y=|sinx|+sin|x|的最值.

解分別作出函數(shù)y=|sinx|(如圖1)和y=sin|x|(如圖2)的圖象，二者疊加得圖3，圖3即是y=|sinx|+sin|x|的圖象，由圖3，知ymin=0,ymax=2.

需要特別注意的是，應(yīng)用圖象分析法，除了要對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)深刻理解外，還應(yīng)該對(duì)圖象及其變化趨勢(shì)有準(zhǔn)確的把握.否則出現(xiàn)錯(cuò)誤就在所難免.

六、利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造立體圖形解題

有些代數(shù)問(wèn)題，其幾何意義不是一眼就看出來(lái)的，則需要靈活運(yùn)用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏颓擅顦?gòu)想，使這個(gè)代數(shù)表達(dá)式具有幾何意義.

例9 已知正實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足a2+b2+c2=d2.

分析由已知a2+b2+c2=d2容易聯(lián)系到長(zhǎng)方體的對(duì)角線定理，不妨構(gòu)造一個(gè)三棱分別為a、b、c的長(zhǎng)方體，則對(duì)角線長(zhǎng)為d.根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的結(jié)論，命題就可得證.

在數(shù)形結(jié)合教學(xué)中，通過(guò)各種例子，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，不斷地提高巧妙的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合知識(shí)的能力.有的“數(shù)”其幾何意義不是一眼就看出的，就需要靈活運(yùn)用已學(xué)過(guò)的知識(shí)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏颓擅顦?gòu)思，使“數(shù)”有幾何意義，要重視數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練，這對(duì)于學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)和提高具有重要的意義，對(duì)于發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和一題多解能力有重要作用.

當(dāng)然，上面所舉的例子只是眾多題型的一小部分，其分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力還需同學(xué)們?cè)诮忸}中多摸索和多訓(xùn)練.

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭金洲.基于新課程的課堂教學(xué)改革[M].福州：福建教育出版社，2003.