楊偉達

(廣東省廣州市花都區(qū)第二中學 510820)

眾所周知，數(shù)學和古詩詞一樣講究對偶.而這種“對偶”常常滲透到中學數(shù)學的各個領域，體現(xiàn)了數(shù)學的和諧、統(tǒng)一、對稱、簡潔. 它的美極大地吸引無數(shù)數(shù)學愛好者，去體驗數(shù)學的魅力，去感受到數(shù)學的樂趣. 因此，在解題教學中有意識滲透這種對偶思想，對培養(yǎng)和發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維大有幫助.筆者就對偶思想的統(tǒng)一性、和諧性、對稱性逐一舉例說明，以饗讀者.

一、對偶思想的統(tǒng)一性

對偶思想的統(tǒng)一性體現(xiàn)了整個命題的完整性，導出了部分與整體、部分與部分的關系.它滲透到集合與映射、函數(shù)、二項式的排列組合、數(shù)列的倒序、立體幾何的倒放等.

例1 設(1-x+x2)50=a0+a1x+a2x2+…+a99x99+a100x100.求下列間隔為3的系數(shù)之和：

M1=a0+a4+a8+…+a96+a100；

M2=a1+a5+a9+…+a93+a97；

M3=a2+a6+a10+…+a94+a98；

M4=a3+a7+a11+…+a95+a99.

分析觀察各個系數(shù)之和的特點，發(fā)現(xiàn)系數(shù)很有規(guī)律，系數(shù)的下標是公差為4的等差數(shù)列.其中M1+M2+M3+M4為全部系數(shù)之和；M1+M3為偶數(shù)系數(shù)之和；M2+M4為奇數(shù)系數(shù)之和.由此可見，求系數(shù)之和常常采用賦值法.不妨賦值為1，-1，i，-i即可.

解對上述二項式x的分別為1，-1，i，-i代入得：

a0+a1+a2+a3+…+a99+a100=1 (1)

a0-a1+a2-a3+…-a99+a100=350(2)

a0+a1i-a2-a3i+…-a99i+a100=-1 (3)

a0-a1i-a2+a3i+…+a99i+a100=-1 (4)

根據(jù)各系數(shù)的特點，聯(lián)立(1)，(2)，(3)，(4)方程

a0-a2+a4+…-a98+a100=-1, (7)

a1-a3+a5+…+a97-a99=0. (8)

再分別將方程(5)，(6)，(7)，(8)聯(lián)立,

分析在所給數(shù)值中發(fā)現(xiàn)兩兩互為倒數(shù)，故不妨從倒數(shù)變換入手.

二、對偶思想的和諧性

對偶思想的和諧性：關鍵在于一個與之對應的有效式子，雙雙參與運算.體現(xiàn)在函數(shù)(如：af(x)+bg(x)=?或af(x)-bg(x)=?)、三角函數(shù)、解幾、方程、復數(shù)的共軛化等.

例3 求x=cos20°cos40°cos80°的值.

分析此題涉及三角化簡求值.觀察題設的條件是以乘積的形式出現(xiàn)，且角度成2倍關系，不難想象到用二倍角公式處理.因此需要“補形還原”即可.

解除常規(guī)的積化和差外，還可以用對偶化,

再利用sin2α=2sinαcosα得：

xy=cos20°cos40°cos80°sin20°sin40°sin80°

分析此題涉及解析幾何的常規(guī)題型.因已知出現(xiàn)左右焦點，不難想象用概念定義，通過聯(lián)立方程組即可求解.

兩式相減可得(A+B)(A-B)=4cx，

解得A=a+ex，即|MF1|=a+ex.

分析一般情況不妨設Z=a+bi，Z=a+bi(a,b∈R),代入后利用復數(shù)相等的條件，可求a,b的值.除常規(guī)的代入法外，可采用復數(shù)共軛化列出方程組，避開了復數(shù)的代數(shù)式，直接變?yōu)閺拖禂?shù)的一元二次方程即可求解.

解將復數(shù)方程共軛化：

代入原方程可化為一元二次方程,即

Z2+(2-3i)Z+(1-3i)=0.

Δ=(2-3i)2-4×1×(1-3i)=-9,

所以原方程的解為

三、對偶思想的對稱性

對偶思想的對稱性表現(xiàn)在命題本身具有對稱性，從而使命題簡單化.如函數(shù)、立幾、解幾等.形如圓、球，長(正)方形、長(正)方體等圖形都可以通過它們的中心找到其特性(對稱性)，從而快速、巧妙地解決了與之相關的數(shù)學問題.

例6 如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是A1B1、CD的中點，求直線AB與平面AEC1F所成角的正切值.

分析按常規(guī)思路，學生總是通過B點作平面AEC1F的垂線BH，H為垂足，然后再證明在正方體的對角線AC1上.我們?nèi)糇⒁獾秸襟w中諸多的對稱性，就不難發(fā)現(xiàn)面ABB1E與面ABCF是關于面ABC1D1對稱的，E、F是關于AC1對稱的，從而B在面AEC1F內(nèi)的射影H必須在AC1上，故找到直線AB與平面AEC1F所成角為∠BAC1.

在Rt△BAC1中即可求得∠BAC1的正切值.

例7 如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱AB的中點為P，若光線從點P出發(fā)，依次經(jīng)三個側(cè)面BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1反射后，落到側(cè)面ABB1A1內(nèi)(不包括邊界)，則入射光線PQ與側(cè)面BCC1B1所成角的正切值的范圍是____．

分析本題涉及光線鏡面反射問題.解決此問題其實是數(shù)學上的對稱問題.可以先從直線的反射說起，然后把面對稱過去，最后成了一條直線.不妨通過補形轉(zhuǎn)化為求兩點間的距離最小，再利用極限思想即可將問題解決.

在解題教學中，筆者認為能夠有意識地提及對偶思想，對激發(fā)學生的思維，選用合理簡捷的解法，可以節(jié)省時間和精力，還可以化難為易，化繁為簡,對提高學生的興趣，培養(yǎng)和發(fā)展的創(chuàng)造性思維，從而實現(xiàn)素質(zhì)教育.

參考文獻：

[1]李成友.感悟?qū)ε妓枷胪卣菇虒W空間[J].數(shù)學通訊,2012(05).

[2]韓毅.對偶思想在解題中的應用[J].數(shù)學教學通訊,1993(03).