周瀟滔

(浙江省嵊州中學(xué)高二(16)班 312400)

一、問題引入

這看似是一道基礎(chǔ)題，由于圓和橢圓關(guān)于x軸對稱，并且總有橢圓的頂點(diǎn)這一個(gè)交點(diǎn)，所以圓方程和橢圓方程聯(lián)列一下根據(jù)判別式，就可以出結(jié)果了，但事實(shí)正是如此嗎?我們來實(shí)踐一下.

解b2x2+a2y2=a2b2①，

將③代入①整理得：

(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0.

Δ=a6+4a2b2(b2-a2)>0?(a2-2b2)2>0

3x2+4y2=12①,

(x-1)2+y2=1②.

將②代入①得：

8x-x2=12?x1=2,x2=6.

那么問題出在了哪里？

首先我們無法保證該圓與橢圓的值域相同，換句話說，當(dāng)該圓與橢圓值域相同是顯然必有三個(gè)交點(diǎn)，故我們只需討論值域不同時(shí)的情況.

既然值域不同，這必定不是等價(jià)代換.

先前我們已證明方程(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0必有根，且一根為x2=a,

若y2<0即a2(a2-b2)2<(3ab2-a3)2

小結(jié)：所以聯(lián)列方程，用方程判別式來解答并不能保證排除原方程增根的出現(xiàn).也就不能用判別式來判斷實(shí)根的情況了.但是若對聯(lián)列后的方程進(jìn)行定義域的約束，即在0

二、溫故知新

在進(jìn)行二次曲線聯(lián)列時(shí)我們要牢記約束條件，那么，當(dāng)我們將直線與二次曲線聯(lián)列時(shí)，為什么可以“忽略”約束，直接用判別式呢？

整理得(a2k2+b2)x2+2mka2x+m2a2-a2b2=0.

Δ=4m2k2a4-4(a2k2+b2)(m2a2-a2b2)>0?b2+a2k2>m2.

那么滿足這個(gè)條件的兩根就一定落在定義域內(nèi)嗎？

我們不妨算出這兩根.

如果要證明其符合定義域，只要證明-a≤x1

假設(shè)x2≤a成立,

a2k2+b2>0,a2k2+2akm+m2=(ak+m)2≥0，

故假設(shè)成立，同理x1≥-a也成立

的確我們證實(shí)了x1,x2都會落在橢圓內(nèi)部，也就是說只要滿足判別式大于等于0，就會有實(shí)數(shù)根.

那么我們再從等價(jià)代換角度來看這個(gè)問題.

①中的y2必須滿足0≤y2≤b2，而y2=(kx+m)2②中的y2卻只滿足了y2≥0,

所以這并非等價(jià)代換，即必須對x進(jìn)行約束0≤(kx+m)2≤b2.

總結(jié)：直線與二次曲線聯(lián)列并非不需要約束條件,只是在運(yùn)算過程中約束會自動成立.

所以無論二次曲線和二次曲線還是直線和二次曲線聯(lián)列都需要進(jìn)行有效的等價(jià)代換只是一個(gè)有必要寫出約束條件，另一個(gè)約束已成立了.

三、深入研究

1.探索二次曲線聯(lián)列“無需”約束情況

我們來簡單地看一道題

例1 求t的取值范圍使得拋物線y2=2px與拋物線x2=2p(y+t)有交點(diǎn)(p>0).

把③代入②得

用判別式顯然不行，倒不如用導(dǎo)數(shù)來做方便.

記f(y)=y4-8p3y-8p3t,

f(y)′=4y3-8p3.

∴24/3p4-8p421/3-8p3t≤0,

顯然兩條曲線相切時(shí),y2=2px在x軸上方的曲線表示為

因?yàn)閮蓷l曲線在(x0,y0)處的切線為同一條，故其斜率相同,

可以發(fā)現(xiàn)相切時(shí)的t與之前算出來的最小值正好相等而且不難看出當(dāng)t越來越大時(shí)曲線x2=2p(y+t)不斷下移，那么必與曲線y2=2px有交點(diǎn),故答案正確.

我們再回到最初代換.

y2=2px中的x∈[0,+∞)，x2=2p(y+t)中的x∈R.

雖然兩個(gè)x值域并不相同，但y2=2px中x的取值范圍是x2=2p(y+t)中x的子集.

這樣的代換使被代者和代者之間為子集關(guān)系，縮小范圍的代換依然成立.

2.探究直線與二次曲線聯(lián)列“需要”約束的情況

直線與二次曲線聯(lián)列一般無需考慮約束，但也有例外.

我們來看一下

按照常規(guī)思維，我們聯(lián)列利用判別式可得出結(jié)果.

但這真的是最終答案嗎？

有時(shí)簡單的題目不能想當(dāng)然去做，理所當(dāng)然的聯(lián)列使用判別式，有時(shí)也有陷阱，或許畫個(gè)圖進(jìn)行觀察可以發(fā)現(xiàn)一些問題.

故無論二次曲線與二次曲線，還是直線與二次曲線都需要謹(jǐn)慎下筆，沒有什么絕對的成立與不成立，多想一下，繞過題設(shè)的陷阱，用實(shí)踐去檢驗(yàn).

四、走進(jìn)高考

高考中兩個(gè)二次曲線聯(lián)列的問題也屢見不鮮，單近年來似乎為了回避這個(gè)暗區(qū)，這樣的題目漸漸少了，下面我們來看一道2009年的全國卷高考題

如圖，已知拋物線E:y2=x與圓M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A,B,C,D四個(gè)點(diǎn).

(1)求r的取值范圍；

(2)當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求對角線AC,BD的交點(diǎn)p的坐標(biāo).

當(dāng)年許多考生一拿到這道題便將y2=x直接與圓(x-4)2+y2=r2,聯(lián)列運(yùn)用判別式來求解:

y2=x①,

(x-4)2+y2=r2②.

將①代入②得

看似正確的解法卻又不幸掉入了出題者的陷進(jìn)之中很明顯考生沒有抓住“等價(jià)”二字，盲目地替代導(dǎo)致擴(kuò)大了范圍.現(xiàn)在對原方法改進(jìn)一下：

代換得：x2-7x+16-r2=0(4-r≤x≤4+r).

也就是說在x∈[4-r,4+r]范圍內(nèi)，必須保證x2-7x+16-r2=0有兩個(gè)正解.

設(shè)f(x)=x2-7x+16-r2，則

盲目代換只會增加出現(xiàn)增根的可能性，遇見二次曲線的聯(lián)列切忌直接使用判別式.

評析仔細(xì)觀察本題在對x約束時(shí)我們還可以做文章.

上文中的4-r≤x≤r+4是對(x-4)2+y2=r2中的x進(jìn)行約束，約束使得解出來的x滿足在圓內(nèi)，那么我們難道不能對(x-4)2+y2=r2中的y2進(jìn)行約束嗎？

第一種方法固然成立，而第二種方法本質(zhì)是約束y2.因?yàn)閥2=x,

那么方程如果有解，且這個(gè)解是符合y2∈[0,r2],那么對于(x-4)2+y2=r2來說這個(gè)解就不會是增根，因此這個(gè)約束是成立的.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐燕.高中生對圓錐曲線的理解[D].上海：華東師范大學(xué),2009.