朱東海

(云南省蒙自市蒙自一中 661199)

在本刊2016年第34期中，我們談了一元函數(shù)不等式的證明方法，本文中我們來看如何證明二元函數(shù)不等式.

對(duì)于二元函數(shù)不等式的證明，首先考慮能不能轉(zhuǎn)化為一元不等式來證明.

一、變型后轉(zhuǎn)化為一元不等式的證明問題

1.利用函數(shù)的單調(diào)性變成同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)(值)間的大小比較

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

解(1)依題意f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),

②若a-1<1,而a>1,故1

則當(dāng)x∈(a-1,1)時(shí)，f′(x)<0;

當(dāng)x∈(0,a-1)或x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0.

故f(x)在(a-1,1)單調(diào)減少，在(0,a-1),(1,+∞)單調(diào)增加.

③若a-1>1,即a>2,同理可得f(x)在(1,a-1)單調(diào)減少，在(0,1),(a-1,+∞)單調(diào)增加.

(2)由于當(dāng)x1>x2>0時(shí),

只需證明f(x)+x在(0,+∞)上是增函數(shù).令函數(shù)

對(duì)于冪、指數(shù)形式的不等式，可以先取對(duì)數(shù)，再化為對(duì)數(shù)不等式來證明

例2 (山東省桓臺(tái)第二中學(xué)2015屆高三數(shù)學(xué)理21)設(shè)函數(shù)f(x)=x-a(x+1)ln(x+1) (a≥0).

(1)如果a=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,e-1)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)證明：當(dāng)m>n>0時(shí)，(1+m)n<(1+n)m.

解(1)依題意f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞)，f′(x)=1-aln(x+1)-a.

當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=-ln(x+1)，令f′(x)<0得x>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞).

由(1)知，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x-(1+x)ln(1+x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)n>0時(shí)，g(m)

例1 (廣州市2015屆高三)已知函數(shù)f(x)=ax2-blnx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為y=1．

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，函數(shù)g(x)=f(x)-x2+m(x-1)的最小值為0，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由；

解(1)f(x)=ax2-blnx，其定義域?yàn)?0,+∞)，

解得a=1,b=2.

(2)g(x)=f(x)-x2+m(x-1)=m(x-1)-2lnx,x∈(0,1]，

①當(dāng)m≤0時(shí)，g′(x)<0，則g(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，

∴g(x)min=g(1)=0.

∴g(x)min≠0.

綜上所述，存在m滿足題意，其取值范圍為(-∞,2].

(3)證明：

令g(x)=x-1-2lnx，由(2)知，當(dāng)m=1時(shí)，g(x)=x-1-2lnx在(0,1)上單調(diào)遞減,

∴x∈(0,1)時(shí)，g(x)>g(1)=0, 即x-1>2lnx.

二、借助第三量

例1 (太原五中2014—2015學(xué)年度第二學(xué)期階段檢測(cè)高三數(shù)學(xué)(理))已知函數(shù)f(x)=lnx.

(2)若直線y=ax+b是曲線y=f(x)的切線，求ab的最大值；

(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3，y3)是曲線y=f(x)上相異三點(diǎn)，其中0

三、用端點(diǎn)變量法構(gòu)造函數(shù)

在某一個(gè)區(qū)間上證明不等式，若不等式涉及的兩變量就是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，則把其中的一個(gè)端點(diǎn)視為自變量來構(gòu)造函數(shù).

例1 (2009年重慶沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)已知f(x)=ex-ln(x+1)-1(x≥0)，

(1)求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)如果求0≤y≤x，求證： ex-y-1>ln(x+1)-ln(y+1).

若不等式涉及的兩個(gè)變量不是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，同樣可以把其中一個(gè)視為自變量來構(gòu)造函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；

(2)若φ(x)=f(x)-g(x)，求證：當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí)，φ(x)≤0恒成立；

(2)當(dāng)a=0,b=1時(shí)，φ(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x,

φ(x)max=φ(0)=0，從而φ(x)≤0成立，故當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí)，φ(x)≤0恒成立.

四、轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式來證明

例1 (貴州省八校聯(lián)盟2015屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理21)已知函數(shù)f(x)=lnx.

(1)求函數(shù)g(x)=f(x+1)-x的最大值；

五、轉(zhuǎn)化為最值之間的關(guān)系

1.|f(x1)-f(x2)|≤M?[f(x)]max-[f(x)]min≤M

(1)若存在x>0，使f(x)≤0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)設(shè)1

x(0,-m)-m(-m,+∞)f ′(x)-0+f(x)↘極小值↗

所以對(duì)?x>0，f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-e，0]．

故?x>0，使f(x)≤0成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞，-e]∪(0，+∞)．

參考文獻(xiàn)：

[1]朱東海. f(x)≥ag(x)恒成立的一個(gè)充要條件[J].語數(shù)外學(xué)習(xí),2012(06).

[2]朱東海.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí)怎樣構(gòu)造函數(shù)[J].語數(shù)外學(xué)習(xí),2013(11).