趙志巖

(遼寧省撫順市新賓滿族自治縣高級中學 113200)

一、已知含參數(shù)直線與圓位置關系，求直線方程中參數(shù)取值范圍問題

畫出圓，利用直線過定點，結合圖形即可確定直線方程中滿足的條件，利用直線與圓的位置關系和點到直線的距離公式，列出關于參數(shù)的不等式或方程，即可求出參數(shù)的范圍.

點評對已知直線與圓或可化為圓的曲線的位置關系求參數(shù)范圍問題，數(shù)形結合是尋找解題思路的關鍵，要熟悉直線與圓的位置關系的判定，正確運用點到直線的距離公式.

二、已知點滿足與圓有關的某個條件，求圓中參數(shù)或點的坐標的取值范圍問題

作出相應的圖形，利用數(shù)形結合思想找出圓中相關量，如圓心坐標、圓心到某點距離、圓的半徑、圓的弦長或圓的弦心距等滿足的條件，列出不等式或方程或函數(shù)關系，再利用相關方法求出參數(shù)的范圍.

例2 設點M(x0,1)，若在圓O:x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是( ).

點評本題主要考查了直線與圓的位置關系及數(shù)形結合思想，解決本問題的關鍵是通過數(shù)形結合找出點M滿足的條件.

三、與距離有關的最值問題

在運動變化中，動點到直線、圓的距離會發(fā)生變化，在變化過程中，就會出現(xiàn)一些最值問題，如距離最小，最大等常常涉及圓上一點到直線的距離最值問題、切線長最值問題、圓上動點與其他曲線兩動點間的距離最值問題、過定點的圓的弦長最值問題等.這些問題常常利用平面幾何知識或圓的參數(shù)方程或設圓上點的坐標，直接求出最值或轉化為函數(shù)的最值問題，利用函數(shù)求最值的方法求解.與圓有關的長度最值問題有以下題型：

①圓外一點A到圓上距離最近為|AO|-r，最遠為|AO|+r；

②過圓內一點的弦最長為圓的直徑，最短為該點為中點的弦；

③直線與圓相離，則圓上點到直線的最遠距離為d+r，最近距離為d-r；

④過兩定點的所有圓中，面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓的面積;

⑤圓上動點與其他曲線上動點間的距離最值問題常轉化為圓心與曲線上的動點距離問題，利用兩點間距離公式轉化為二元函數(shù)的最值問題，利用消元法轉化為一元函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題求解.

點評對于與圓有關的長度最值問題，要掌握相關題型與轉化方法，利用幾何法或函數(shù)法求出最值.

四、與面積相關的最值問題

與圓的面積的最值問題，一般轉化為尋求圓的半徑相關的函數(shù)關系或者幾何圖形的關系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有時可以通過轉化思想，利用數(shù)形結合思想求解.

A．有最大值8π B．有最小值2π

C．有最小值3π D．有最小值4π

∴Smin=πr2=4π.

點評本題主要考查直線與圓的位置關系、轉化與化歸思想及運算求解能力，轉化與化歸思想是解題的關鍵.

五、圓上點的坐標滿足關系式的最值或取值范圍問題

本類問題有三種解題思路，思路1：充分利用所給式子的幾何意義，利用數(shù)形結合思想解題；思路2：設所給式子等于z，代入圓的方程化為一元二次方程，利用判別式即可求出參數(shù)的范圍；思路3：利用圓的參數(shù)方程或消元法化為函數(shù)問題，利用函數(shù)求最值的方法求最值,注意變量的取值范圍.

綜上所述，解決與圓相關的最值問題的關鍵要善于利用數(shù)形結合思想，利用幾何知識求最值，要善于利用轉化與化歸思想將最值問題轉化為函數(shù)的最值求解.

參考文獻：

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