姚建麗，胡紅萍，白艷萍，王建中

(中北大學 理學院， 太原 030051)

在20世紀50年代，矢量水聽器的研制就已經(jīng)出現(xiàn)在美國。它的出現(xiàn)及時地彌補了聲壓水聽器的缺陷，即不能完整地接受聲場的信息[1]。自此，很多研究人員對矢量水聽器進行了研究。其中，矢量水聽器的陣列處理方法和波達方向角是人們研究的重點及熱點[2]。

通常解決DOA估計的方法有兩種。第1種方法是傳統(tǒng)的方法，利用純數(shù)學模型，但要進行大量的運算才能得到最終的結果,比較典型的是1975年Schmidt[3]提出的多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法以及Roy等[4]提出的旋轉不變子空間(estimating signal parameters via rotational Invariance techniques,ESPRIT)算法。在此基礎上，這些算法又衍生出一系列新的算法，如在MUSIC算法的基礎上出現(xiàn)了解求根MUSIC算法[5]、波束空間求根 MUSIC算法[6]等。在ESPIT算法的基礎上也出現(xiàn)了一些算法，比較有代表性的包括LS-ESPRIT算法[7]、TLS-ESPRIT算法[8]等。另一種是利用智能學習、“軟建?！钡姆绞竭M行DOA估計，其中的重要方法是采用神經(jīng)網(wǎng)絡。張旻等[9]選取協(xié)方差矩陣的上三角特征作為網(wǎng)絡的輸入，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡來進行DOA估計。孟非等[10]同樣選取協(xié)方差矩陣的上三角特征作為輸入，運用PSO-BP算法對DOA進行估計。趙曉萌等[11]針對BP神經(jīng)網(wǎng)絡的缺陷，運用模擬退火算法對BP神經(jīng)網(wǎng)絡進行優(yōu)化，提升其效果。

本文對陣列信號的協(xié)方差矩陣依次進行實值化和特征分解，選取信號子空間的基作為網(wǎng)絡的輸入，利用提出的模擬退火粒子群算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡，實現(xiàn)DOA估計。

1 陣列信號模型

收集信號數(shù)據(jù)時通常情況下需要用比較規(guī)律的天線陣元來進行，本文以均勻等間距線陣為例進行討論，如圖1所示。

圖1 DOA估計的一般模型(均勻線性)

考慮N個遠場窄帶信號以{θ1,θ2,…,θN}的角度入射到M元陣列，陣列的接受信號為

Z(t)=A(t)S(t)+N(t)

(1)

其中：Z(t)是陣列輸出矢量；S(t)信號源矢量；N(t)是高斯白噪聲矢量，信號與噪聲是相互獨立的；A(θ)是矢量水聽器的方向矢量矩陣。

A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θN)]=

[a(θ1)?u1,a(θ2)?u2,…,a(θN)?uN]

(2)

R=E[Z(t)Z(t)H]=

AE[S(t)S(t)H]AH+E[N(t)N(t)H]=

ARsAH+σ2I

(3)

其中：Rs是入射信號的協(xié)方差矩陣；σ2是陣列接收信號中噪聲的功率；I是歸一化下噪聲的相關矩陣；(·)H代表復共軛轉置。

根據(jù)子空間分解理論，特征分解為

(4)

其中有特征值為λ1≥λ2≥…≥λN≥…≥λ3M，∑s=diag(λ1,λ2,…,λN)，∑n=diag(λN+1,λN+2,…,λ3M)。Us是信號子空間，它是由前大N個特征值對應矢量張成的子空間，有Us=[e1,e2,…,en]，e1,e2,…,en是它的特征向量。UN是噪聲子空間，它是由 3M-N個特征值對應矢量張成的子空間，UN=[eN+1,eN+2,…,e3M],eN+1,eN+2,…,e3M是它的特征向量。

(5)

2 模擬退火粒子群算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡

2.1 粒子群算法

粒子群(particle swarm optimization，PSO)算法是Eberhart和Kennedy在1995年根據(jù)對鳥類捕食行為的研究提出的一種群優(yōu)化算法[12]。在PSO算法中，每個粒子被看作是一個潛在解，每個粒子對應適應度函數(shù)的適應度值，粒子的速度決定粒子本身的運動方向和距離，粒子的速度根據(jù)自身及其他粒子的運動情況可以進行動態(tài)調節(jié)，從而可以得到最優(yōu)解。

在每一次迭代過程中，粒子更新自身的速度和位置的核心公式如下:

(6)

(7)

本文中所使用的慣性權重公式為：

(8)

式中：max gen為最大的迭代次數(shù)；wstart和wend分別為初始的慣性權重和最大迭代數(shù)時的慣性權重。本文中wstrat=0.95，wend=0.4。

2.2 模擬退火算法

SA算法最開始是在1953年由N.Metropolis等提出的。1983年，S.kirkpatrick等將SA思想成功地引入組合優(yōu)化領域[13]。SA是一種隨機尋優(yōu)算法，是基于Monte-Carlo迭代方法求解形式進行的，它以物理固體物質的退火過程與一般組合優(yōu)化問題之間的相似性為出發(fā)點。SA算法由于獨特的概率突跳能力，在全局搜索極值中起到了很大的作用，并被應用于很多方面。

用熱力學系統(tǒng)來進行解釋，SA算法的基本思想是把系統(tǒng)的能量看成目標函數(shù)，把系統(tǒng)逐步降溫達到最低能量狀態(tài)的過程看作優(yōu)化過程。SA算法設定一個較高的溫度，從這一個溫度開始，隨著溫度的不斷下降，結合概率突跳的特點在解空間范圍內尋找全局最優(yōu)解。也就是說，當目標函數(shù)得到局部最優(yōu)解時，可以一定的概率跳出局部最優(yōu)并最終趨于全局最優(yōu)解。SA 算法在搜索過程中具有一定概率的突跳能力，能有效地避免在搜索過程陷入局部最優(yōu)解。

2.3 模擬退火粒子群算法

PSO算法所需的參數(shù)少，操作較為簡單，具有很強的適用性。在算法初期時收斂速度快，但在后期容易受到隨機振蕩的影響，從而導致收斂速度降低，陷入局部最小值。本文借鑒模擬退火算法中的概率突跳能力，使粒子以一定的概率跳出已搜索的最優(yōu)區(qū)域在更大空間中開展搜索，提出了模擬退火例子群算法，記為SAPSO算法，具體步驟如下：

1) 對粒子的速度和位置進行初始化，對退火速度進行初始化。

2) 種群中每個粒子根據(jù)適應度函數(shù)計算其適應度值。

3) 比較粒子新位置的適應度值與之前找到的最佳適應度值的大小，如果新位置的適應度值更佳，則更新當前位置為最佳位置。

4) 將所有粒子的歷史最優(yōu)適應度值與群體經(jīng)歷過的最佳位置進行比較，如果目前的位置最佳，則用當前位置取代原來位置作為全局最佳位置。

5) 更新粒子的位置和速度。

6) 判斷是否達到終止條件，若是則將權、閾值賦予BP網(wǎng)絡的初始權值w和閾值B；否則，返回步驟3)繼續(xù)。

7) 引入模擬退火算法繼續(xù)訓練尋優(yōu)，令wi′ =wi+Δwi，Bi′ =Bi+ΔBi，Δw、ΔB均為很小的均勻分布的隨機擾動。目標函數(shù)為

(9)

式中：N是訓練樣本總數(shù)；y(k)是期望輸出；d(k)是實際輸出。得到兩個位置的適應度值變化量為ΔE=E(pi′)-E(pi)。

8) 如果ΔE<0，則把w′,B′作為新的權值和閾值，否則以概率為P=exp(-ΔE/Ti)接受w′、B′為新的當前解，并更新參數(shù)。

9) 重復步驟7)和8)，直到系統(tǒng)得到平衡狀態(tài)。

10) 進行降溫，T逐漸減少，退火機制為

Tk=aT0

(10)

其中：a表示退火速度；T0為初始溫度。

11) 重復步驟7)～9)，直到T=0或者達到預設溫度。

12) 網(wǎng)絡訓練結束，得到的最新權值和閾值為BP神經(jīng)網(wǎng)絡的權、閾值。

2.4 SAPSO優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡

BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡由Rumelhart和McCelland為首的科研人員在1986年提出，它是一種多層反饋網(wǎng)絡，是目前應用最為廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡模型之一[14-19]。BP神經(jīng)網(wǎng)絡由輸入層、隱層和輸出層3部分網(wǎng)絡結構構成。它的學習規(guī)則是梯度下降法，通過信號的正向傳播以及誤差的反向傳播不斷調整網(wǎng)絡的權、閾值，最終實現(xiàn)誤差的平方和最小。

本文采用SAPSO算法得到的最優(yōu)解作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡的初始權、閾值，選取信號子空間的基作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入，經(jīng)過BP神經(jīng)網(wǎng)絡訓練其權、閾值，建立DOA估計預測模型，流程如圖2所示。

3 仿真實驗

3.1 實驗1： 兩信號源的來波方向估計

實驗的天線陣列為均勻的5元線陣，信號源選用兩個正弦信號，信噪比為10 dB，快拍數(shù)為1 000，進行200次Monte-Carlo仿真實驗。

圖2 基于信號子空間的SAPSO-BP算法流程

訓練數(shù)據(jù)：信號源之間的間隔分別取12和18，當間隔取12時，從-90到65每隔0.5取1個樣本，得到樣本數(shù)311個。如果用向量X1、X2分別表示兩個信號的角度，則X1=[-90,-89.5,-89,…,64.5,65]T，X2=[-78,-77.5,-77,…,76.5,77]T。通常采用的是二維矢量水聽器，可輸出聲壓p(t)、振速vx(t)、vy(t)3路信號，本文采用5元線陣，會產(chǎn)生15路信號。同樣地，當間隔取18時，從-90到65每隔0.5取1個樣本，得到樣本數(shù)311個，兩個信號的角度為：X1=[-90,-89.5,-89,…,64.5,65]T，X2=[-78,-77.5,-77,…,82.5,83]T，同樣會產(chǎn)生15路信號。訓練數(shù)據(jù)的總樣本為622。

測試數(shù)據(jù)：從-90到65每隔1取一個樣本，得到測試樣本156個。

本文分別利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡、PSO-BP網(wǎng)絡、SAPSO-BP網(wǎng)絡對兩信號源的DOA方向進行估計，得到雙信號的DOA估計和估計誤差，分別如圖3～6所示。

圖3 第1個信號的DOA估計輸出曲線

圖4 第2個信號的DOA估計輸出曲線

圖5 第1個信號的DOA估計誤差曲線

圖6 第2個信號的DOA估計誤差曲線

圖3是第1個信號在3種模型下的DOA估計值和實際值，圖4是第2個信號在3種模型下的DOA估計值和實際值。通過圖3、4可以看出：在SAPSO-BP情況下的預測值更接近實際值，而BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測值與實際值的差距最大，PSO-BP網(wǎng)絡的預測值與實際值情況居中。圖5是第1個信號在3種模型下的DOA估計的誤差曲線，圖6是第2個信號在3種模型下的DOA估計的誤差曲線。從圖5、6可以看出：使用SAPSO-BP網(wǎng)絡估計DOA的誤差最小，而BP神經(jīng)網(wǎng)絡估計DOA得到的誤差最大。通過DOA輸出曲線和誤差曲線可以看出，本文提出SAPSO-BP方法用于DOA估計有更高的精度。

表1是3種模型下的MAE、MSE、RMSE值。在不同的模型中，左側一列為第1個信源的各個指標，右側為第2個信源的指標。從數(shù)據(jù)中可以看出：SAPSO-BP的MAE、MSE、RMSE都是最小的，BP的各項指標是最大的，可以得到采用SAPSO-BP對DOA進行估計有一定的優(yōu)勢。

3.2 實驗2： 不同信噪比下的性能分析

仿真條件與實驗1情況相同，依次估計在信噪比-10、-5、0、5、10、15 dB之間的均方根誤差。表2為3種算法在不同的信噪比下的均方根誤差。均方根誤差的公式為

(11)

表2中選取的值為兩個信號源均方根誤差的均值，從表2可以看出：隨著信噪比的不斷增加，信源的均方根誤差在不斷減小。PSO-BP和SAPSO-BP網(wǎng)絡的均方根誤差要比BP網(wǎng)絡好的多，對比PSO-BP和SAPSO-BP，SAPSO-BP整體來說要比PSO-BP的均方根誤差低。因此，本文提出的SAPSO-BP方法有較好的估計精度。

4 結束語

本文針對PSO算法后期容易受到隨機振蕩的影響而導致收斂速度降低的問題，借鑒模擬退火算法中的概率突跳能力，提出了模擬退火粒子群算法(SAPSO算法)優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(SAPSO-BP)，實現(xiàn)雙信號的DOA估計和在不同信噪比下的誤差估計。將矢量水聽器陣列的信號處理模型的協(xié)方差矩陣進行實值化并特征分解，選取信號子空間的基作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡、PSO-BP網(wǎng)絡和SAPSO-BP網(wǎng)絡的輸入。通過比較，本文提出的SAPSO-PSO網(wǎng)絡優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡和PSO-BP網(wǎng)絡，具有更好的估計精度。但由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡自身的局限性，對于DOA估計仍有一定的不足，需要進一步改善。

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