任曉崧　鄭玉琴　周球尚

摘要：

建筑結(jié)構(gòu)抗震是土木工程專業(yè)的一門必修專業(yè)課，課程專業(yè)性強(qiáng)，涉及概念廣泛且抽象。為幫助學(xué)生加深對課程知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力，文章借助MATLAB語言的圖形用戶界面編制動力反應(yīng)分析演示軟件，針對課程教學(xué)中地震作用、反應(yīng)譜和動力反應(yīng)分析等要點(diǎn)，探討如何在教學(xué)實(shí)踐中提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)和動手實(shí)踐的能力。

關(guān)鍵詞：建筑結(jié)構(gòu)抗震；課程概念；MATLAB GUI；動力反應(yīng)分析軟件

中圖分類號：

G6423；TU352

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：

10052909（2018）02012205

據(jù)調(diào)查顯示，中國高校的課堂教學(xué)互動機(jī)制不夠完善，知識的傳授主要以“填充式”為主，缺少學(xué)生對課程的反饋，學(xué)生的知識接收過于被動，同時(shí)缺乏動手訓(xùn)練的機(jī)會，學(xué)生自主實(shí)踐能力的培養(yǎng)較少[1]。

文章將結(jié)合課程內(nèi)容詳細(xì)介紹基于MATLAB GUI的自制課程演示軟件。軟件由已修該課程的學(xué)生，同時(shí)也是現(xiàn)在的課程助教編制完成。軟件編制目的是幫助學(xué)生對地震作用、反應(yīng)譜理論和動力反應(yīng)分析有更深刻的認(rèn)識，提高課程教學(xué)效果，同時(shí)也為學(xué)生提供繼續(xù)開發(fā)擴(kuò)展的平臺。

一、抗震課程教學(xué)體會

建筑結(jié)構(gòu)抗震課程作為土木工程專業(yè)一門重要的專業(yè)課，在教學(xué)過程中受到學(xué)生的高度重視[2]。該課程主要介紹結(jié)構(gòu)抗震相關(guān)知識[3]，其中地震作用、反應(yīng)譜和動力反應(yīng)分析3個(gè)知識點(diǎn)，不僅是課程教學(xué)的要點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

1.地震作用

地震作用指地震發(fā)生時(shí)地震波引起的地面運(yùn)動對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響。地震作用區(qū)別于一般的靜力或動力荷載，是一種慣性作用，衡量地震作用的三要素分別為最大幅值、頻譜特性和持續(xù)時(shí)間。最大幅值的概念較直觀，即地震作用時(shí)程曲線中的最大值。頻譜特性是指組成地震動的各簡諧振動振幅和相位特性，頻譜顯示不同頻率分量的強(qiáng)度分布，常用功率譜、幅值譜和反應(yīng)譜來表

示。對學(xué)生而言，幅值和頻譜特性對結(jié)構(gòu)的影響容易理解，但持續(xù)時(shí)間的影響則相對抽象，不易察覺。持續(xù)時(shí)間對結(jié)構(gòu)的破壞累積效應(yīng)、低周疲勞現(xiàn)象和非彈性破壞有非常重要的影響，在時(shí)程分析和反應(yīng)譜計(jì)算中都需考慮其影響。地震作用持續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)，對結(jié)構(gòu)造成破壞的只是地震作用強(qiáng)烈的部分。中國現(xiàn)行規(guī)范考慮了主要特性，即幅值和頻譜特性對結(jié)構(gòu)的影響。

2.反應(yīng)譜

單自由度體系動力計(jì)算是結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的基礎(chǔ)知識。在地震激勵作用下，其動力方程為

x¨（t）+2ξωx·（t）+ω2x（t）=-x¨g（t）（1）

x¨（t）+x¨g（t）=ω∫t0e-ξω（t-τ）sinω'（t-τ）x¨g（t）dτ（2）

方程的解分為自由振動和強(qiáng)迫振動兩部分，其中強(qiáng)迫振動部分可通過杜哈梅積分求解得到。由于阻尼的存在，自由振動部分會很快衰減，強(qiáng)迫振動部分隨之成為結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)，式（2）為絕對加速度反應(yīng)，即杜哈梅積分。結(jié)構(gòu)的反應(yīng)不僅與輸入的地震動記錄有關(guān)，還和結(jié)構(gòu)本身的動力特性相關(guān)。從時(shí)域角度來看，地震動的幅值直接影響反應(yīng)的最大值，持續(xù)時(shí)間則與結(jié)構(gòu)的變形和疲勞有關(guān)。地震動的頻域組成對結(jié)構(gòu)的影響也十分顯著，當(dāng)結(jié)構(gòu)固有頻率靠近地震動卓越頻域，動力反應(yīng)放大作用十分明顯。學(xué)生結(jié)合反應(yīng)譜理論能更直觀地理解地震動頻譜特性對結(jié)構(gòu)的影響。

抗震設(shè)計(jì)中，一般應(yīng)用反應(yīng)譜得到所關(guān)心的地震作用最大值，式（3）為絕對加速度反應(yīng)最大值。反應(yīng)譜是單自由度體系在地震動作用下，結(jié)構(gòu)的自振周期與最大彈性反應(yīng)之間的關(guān)系，體現(xiàn)了地震動對上部結(jié)構(gòu)的作用，包含了共振效應(yīng)的影響。反應(yīng)譜是一條包含多個(gè)峰值的曲線，不同自振周期的結(jié)構(gòu)在同一地震動作用下的反應(yīng)也不相同。同時(shí)反應(yīng)譜也受阻尼影響，阻尼越大，結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)越小。中國抗震規(guī)范[4]使用的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜是由大量地震記錄統(tǒng)計(jì)、擬合、調(diào)整后得到的標(biāo)準(zhǔn)加速度反應(yīng)譜曲線，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，用于工程設(shè)計(jì)時(shí)，使用方便，克服了動力時(shí)程分析樣本少、隨機(jī)性強(qiáng)的缺點(diǎn)。因簡便實(shí)用的特點(diǎn)，反應(yīng)譜理論成為中國抗震設(shè)計(jì)最為常用的分析方法，但由于無法考慮地震持續(xù)時(shí)間的影響，存在一定的缺陷。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可根據(jù)震害情況和專家的工程經(jīng)驗(yàn)適當(dāng)調(diào)整。

Sa=x¨（t）+x¨g（t）max（3）

3.動力分析

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)常假定為多自由度線彈性系統(tǒng)，其在地面運(yùn)動作用下的運(yùn)動微分方程是相互耦合的?？紤]阻尼影響下，多自由度體系的運(yùn)動方程為

Mx¨（t）+Cx·（t）+Kx（t）=-MIx¨g（t）（4）

采用瑞利阻尼假定，如式（5），使阻尼矩陣也滿足正交條件。

C=α0M+α1K（5）

雖然多自由度動力分析較單自由度體系復(fù)雜，但只要能理解其求解過程的本質(zhì)，便迎刃而解。利用振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性，將多自由度體系解耦為多個(gè)振型對應(yīng)的單自由度體系，采用杜哈梅積分得到各單自由度體系的反應(yīng)，再通過各單自由度體系地震反應(yīng)組合方式得出原結(jié)構(gòu)體系的地震反應(yīng)，這就是振型分解法的思想，如式（6）所示。在課程教學(xué)中，振型分解法是求解多自由度動力反應(yīng)時(shí)重點(diǎn)介紹的方法。實(shí)際工程中，一般著重于最大動力反應(yīng)的求解，因此常應(yīng)用反應(yīng)譜求得各振型對應(yīng)的最大動力作用，進(jìn)而得到各振型對應(yīng)的動力反應(yīng)，再根據(jù)一定的假定將各振型的動力反應(yīng)進(jìn)行組合得到結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)，這就是振型分解反應(yīng)譜法。

x1（t）x2（t）xn（t）=X11X21…Xn1X12X22…Xn2X1nX2n…Xnnq1（t）q2（t）qn（t） （6）

振型分解反應(yīng)譜法中幾種常用的組合方式有絕對值相加法、通用模態(tài)組合法（GMC法）以及中國抗震規(guī)范采用的平方和平方根法（SRSS法）、完全平方根組合法（CQC法）。由于各振型的最大反應(yīng)不會同時(shí)達(dá)到最大值，絕對值相加法過于保守，一般不采用。課程教學(xué)主要介紹的振型組合方法為SRSS法，即采用平方和平方根法，假設(shè)各振型的最大反應(yīng)在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上相互獨(dú)立，各振型間不存在耦合效應(yīng)。這是基于工程經(jīng)驗(yàn)的實(shí)用分析方法，已被證明具有很高的工程精度，當(dāng)僅考慮基本振型的影響時(shí)可推導(dǎo)出更為簡便的底部剪力法。但考慮扭轉(zhuǎn)影響時(shí)，SRSS法則不再適用，規(guī)范中給出了考慮振型耦合的計(jì)算公式。

二、動力反應(yīng)分析課程演示軟件編制

MATLAB語言在復(fù)雜的數(shù)值分析、信號處理方面具有明顯優(yōu)勢。當(dāng)制作需要處理大量數(shù)據(jù)的軟件時(shí)，可在GUI中利用MATLAB語言編寫程序[5]。軟件界面要簡潔直觀，操作簡單，可供用戶反復(fù)使用，適合學(xué)生在課程教學(xué)中使用及二次開發(fā)。該自制軟件的流程如圖1所示。

針對課程教學(xué)的需求，基于單自由度體系的課程自制軟件設(shè)計(jì)為地震波輸入、杜哈梅積分、反應(yīng)譜計(jì)算三部分。學(xué)生可根據(jù)場地類型的不同選擇相應(yīng)的地震波輸入，也可自行定義，得到相應(yīng)的加速度時(shí)程、傅里葉譜和功率譜。設(shè)置結(jié)構(gòu)的自振周期和阻尼，軟件可自動計(jì)算加速度反應(yīng)和位移反應(yīng)。此外，通過改變不同的阻尼比，還能得到相應(yīng)的位移反應(yīng)譜和加速度反應(yīng)譜，并與規(guī)范反應(yīng)譜進(jìn)行對比。

1.動力反應(yīng)的對比

外荷載激勵下，結(jié)構(gòu)的反應(yīng)分為強(qiáng)迫振動和自由振動。以地震動和簡諧荷載分別作用于結(jié)構(gòu)的反應(yīng)為例（其中單自由度結(jié)構(gòu)自振周期為0.5，阻尼比0.05），對比兩種情況結(jié)構(gòu)反應(yīng)的差異[6]。運(yùn)用軟件計(jì)算得到周期為0.45 s的正弦激勵和EI Centro地震波作用下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)如圖2所示。

對比可知，簡諧激勵作用反應(yīng)的開始段屬于過渡段振動，振幅和周期均在變化，之后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)反應(yīng)段，即以簡諧荷載頻率ωg的強(qiáng)迫振動，外激勵停止后進(jìn)入自由振動，逐步衰減回到原始位置。EI Centro地震波作用下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)較簡諧激勵作用下的激勵小，因?yàn)楹喼C荷載的頻率與結(jié)構(gòu)固有頻率接近，激起的共振效應(yīng)更明顯。還可添加其他形式的荷載，用軟件算出其動力反應(yīng)進(jìn)行對比，對課程知識進(jìn)行驗(yàn)證，直觀感受不同情況下結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)差異。

自由振動較強(qiáng)迫振動而言，對結(jié)構(gòu)反應(yīng)影響較小。學(xué)生一般認(rèn)為，由于阻尼的存在，自由振動段會快速衰減，且隨著阻尼的增大，結(jié)構(gòu)的反應(yīng)會減小。在課程助教的引導(dǎo)下，學(xué)生對此進(jìn)行了擴(kuò)展性討論[7]。在某些特定情況下，會出現(xiàn)自由振動段響應(yīng)超過強(qiáng)迫振動段，且阻尼取較大值時(shí)，加速度反應(yīng)比小阻尼情況下更大。此外，通過調(diào)整結(jié)構(gòu)的初始速度和位移，發(fā)現(xiàn)雖然過阻尼情況下的阻尼比大于臨界阻尼，但結(jié)構(gòu)衰減后期的響應(yīng)反而會出現(xiàn)比臨界阻尼大的現(xiàn)象。通過課程軟件的幫助，可有效培養(yǎng)擴(kuò)展性思維，在深入理解課程知識的同時(shí)提升思維能力。

2.地震動輸入對結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響

結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)不僅受自身動力特性影響，不同地震動輸入時(shí)反應(yīng)也有所不同。地震動作用時(shí)，不同地震波的頻率分布各有差異，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)反應(yīng)也不同。以二、四類場地地震動輸入為例，學(xué)生用軟件輸出對應(yīng)的傅里葉幅值譜，如圖3所示，顯示了地震波在頻域范圍內(nèi)能量的分布情況。結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的實(shí)質(zhì)就是其共振放大效應(yīng)，結(jié)構(gòu)的固有頻率越接近地震波的卓越頻率，則結(jié)構(gòu)的反應(yīng)越大。掌握地震動輸入的頻譜成分情況，可有效避免結(jié)構(gòu)頻率出現(xiàn)在不利頻段上。

3.對反應(yīng)譜的理解

地震作用下結(jié)構(gòu)最大反應(yīng)的計(jì)算可通過反應(yīng)譜理論得到，與結(jié)構(gòu)自振周期和阻尼比有關(guān)。設(shè)計(jì)反應(yīng)譜是經(jīng)過大量地震記錄的統(tǒng)計(jì)分析和擬合得到的結(jié)果。中國抗震設(shè)計(jì)規(guī)范針對不同的場地類型和阻尼比，對設(shè)計(jì)反應(yīng)譜進(jìn)行了修正。圖4為軟件計(jì)算得到的不同條件下加速度反應(yīng)譜和位移反應(yīng)譜，通過添加設(shè)計(jì)反應(yīng)譜加以對比。

從圖中可以看出，阻尼越大，反應(yīng)譜的值越小。實(shí)際反應(yīng)譜是具有多個(gè)峰值的曲線，設(shè)計(jì)反應(yīng)譜在實(shí)際反應(yīng)譜的基礎(chǔ)上經(jīng)過平滑處理，便于工程應(yīng)用。對于某些頻域段，降低設(shè)計(jì)反應(yīng)譜值是出于實(shí)際工程的需求，但其合理性還有待驗(yàn)證。通過軟件對比實(shí)際反應(yīng)譜和設(shè)計(jì)反應(yīng)譜，可以幫助理解反應(yīng)譜的實(shí)質(zhì)及影響因素，進(jìn)而探討設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的合理性。

三、多自由度體系反應(yīng)動力分析設(shè)想

實(shí)際工程中常見的多自由度體系，由于自由度的增加使其動力反應(yīng)的求解變得復(fù)雜。目前有很多商業(yè)軟件可進(jìn)行多自由度體系的動力反應(yīng)計(jì)算，如ANSYS、SAP2000、ABAQUOS等。這些軟件操作簡便，易于掌握，

可作為課程教學(xué)輔助工具，但其計(jì)算過程可視性不足，無法對比各影響因素對結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響，缺乏較好的教學(xué)示范性，缺乏體系動力反應(yīng)求解過程和影響因素的分析[8-10]，對學(xué)生理解振型分解法、振型分解反應(yīng)譜法的幫助并不明顯。

文章介紹的動力反應(yīng)分析課程演示軟件是針對單自由度體系編制的，能幫助學(xué)生加深對地震作用、單自由度體系地震反應(yīng)分析、反應(yīng)譜及其設(shè)計(jì)反應(yīng)譜等教學(xué)要點(diǎn)的認(rèn)識。多自由度體系動力反應(yīng)的求解也是課程教學(xué)中十分重要的一部分，該內(nèi)容在課程演示軟件中尚未實(shí)現(xiàn)，并非軟件編寫和實(shí)現(xiàn)方面的困難，而是由于多自由度體系的動力計(jì)算較為復(fù)雜，影響其動力反應(yīng)的因素較多，除了與單自由度體系共有的影響因素之外，還涉及各振型之間的相互關(guān)系，通過軟件演示，并不容易起到教學(xué)示范的效果。對于較規(guī)則的結(jié)構(gòu)，且當(dāng)樓層參數(shù)（質(zhì)量、剛度等）變化不大時(shí)，其動力求解的影響因素減少，可簡化為糖葫蘆串模型，作為編寫演示軟件的對象。軟件的編寫強(qiáng)調(diào)對比性，旨在起到較好的教學(xué)示范性。在課程教學(xué)中，對比是非常有效的一種學(xué)習(xí)方法。通過各影響因素改變后結(jié)構(gòu)反應(yīng)的對比，幫助理解并快速掌握相關(guān)知識。主要體現(xiàn)在以下幾方面：

第一，單自由度和多自由度整體的對比。多自由度體系求解基于單自由度體系的解耦過程，再由多個(gè)單自由度體系動力反應(yīng)通過某種組合方式得到結(jié)構(gòu)整體的反應(yīng)。課程教學(xué)中，學(xué)生反映多自由度體系與單自由度體系相互轉(zhuǎn)換的過程不直觀。因此，在軟件設(shè)計(jì)時(shí)，可選擇合適的參數(shù)，分別演示各振型對應(yīng)的單自由度體系反應(yīng)及結(jié)構(gòu)整體反應(yīng)，并互相對比分析，動態(tài)展現(xiàn)由多自由度到單自由度再到多自由度的整個(gè)過程，便于學(xué)生熟悉多自由度體系動力反應(yīng)的計(jì)算過程。

第二，振型相關(guān)概念的對比演示。在多自由度體系動力分析教學(xué)中，振型、振型參與系數(shù)、振型參與質(zhì)量是很重要的概念。振型即單自由度體系在振動的任一時(shí)刻，各質(zhì)點(diǎn)位移的比值保持不變的振動形式。振型參與系數(shù)和振型參與質(zhì)量都具有明確的物理定義。振型形式和振型參與系數(shù)直接影響各振型中質(zhì)點(diǎn)的動力作用，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)整體的反應(yīng)。而振型參與質(zhì)量決定參與計(jì)算的振型數(shù)量，即振型參與質(zhì)量不少于總質(zhì)量的90%。軟件編制時(shí)通過一定的設(shè)計(jì)，展現(xiàn)各振型的形式及振型參與系數(shù)和參與質(zhì)量的數(shù)值大小。借助軟件，改變參與計(jì)算的振型數(shù)量、結(jié)構(gòu)參數(shù)等，振型相關(guān)量的值也會隨之變化，從而得到不同的動力反應(yīng)。

第三，反應(yīng)譜方法的應(yīng)用。反應(yīng)譜的應(yīng)用對象是單自由度體系，多自由度體系計(jì)算時(shí)每個(gè)振型對應(yīng)的單自由度體系反應(yīng)可用反應(yīng)譜求解。在已有軟件的基礎(chǔ)上計(jì)算得到反應(yīng)譜，根據(jù)每個(gè)振型的周期，求出對應(yīng)的動力反應(yīng)。結(jié)構(gòu)整體的反應(yīng)由各振型對應(yīng)的反應(yīng)通過一定的組合方式得到。軟件編制時(shí)涵蓋各種組合方式，學(xué)生可任意選擇，并對不同組合方式產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行對比，分析不同組合下結(jié)構(gòu)反應(yīng)的區(qū)別，理解平方和平方根法（SRSS法）。圖5為多自由度體系動力計(jì)算流程的示意圖。

第四，底部剪力法的對比演示。當(dāng)結(jié)構(gòu)響應(yīng)以第一振型為主時(shí)，振型分解法便可簡化為底部剪力法，即只有第一振型參與。各質(zhì)點(diǎn)的動力作用可近似地取為第一振型各質(zhì)點(diǎn)對應(yīng)的動力作用。當(dāng)結(jié)構(gòu)基本周期較長時(shí)，計(jì)算得到的頂部動力作用偏小，需在頂點(diǎn)附加地震作用。對于突出屋面的小房間，質(zhì)量和剛度突然減小，動力反應(yīng)增大，對此處的動力作用乘以系數(shù)3，且不往下傳遞。軟件編制時(shí)可設(shè)計(jì)多質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的模型，分別展示每個(gè)質(zhì)點(diǎn)對應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、動力作用及動力響應(yīng)，建立簡單直觀的力學(xué)模型。通過模型能直觀地看到結(jié)構(gòu)每層動力作用和動力反應(yīng)相應(yīng)的變化，以及對結(jié)構(gòu)整體反應(yīng)的影響程度，進(jìn)而對底部剪力法計(jì)算過程的認(rèn)識更加清晰，便于理解底部剪力法與振型分解法的區(qū)別和聯(lián)系。

四、結(jié)語

基于教學(xué)實(shí)踐，編寫了動力反應(yīng)課程演示軟件，通過不同情況的對比模擬，將抽象概念可視化和直觀化。作為一種新穎有效的教學(xué)輔助工具，演示軟件可幫助學(xué)生克服概念理解上的困難，深化對地震作用、反應(yīng)譜和動力分析等知識點(diǎn)的理解。學(xué)生在運(yùn)用軟件時(shí)，通過改變不同的參數(shù)，對比分析相應(yīng)結(jié)果，不僅可加深對概念的理解，還能培養(yǎng)學(xué)生的動手實(shí)踐能力，激發(fā)創(chuàng)新性思維。該課程演示軟件應(yīng)用方便，操作簡單，具有一定的繼續(xù)開發(fā)價(jià)值，下一步將針對多自由度體系的反應(yīng)分析深化開發(fā)，力求在建筑結(jié)構(gòu)抗震課程教學(xué)實(shí)踐中有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值。參考文獻(xiàn)：

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Abstract：

Structural seismic design is a professional course for the undergraduate students in the college of civil engineering. As for the strong professional background， its content is widely involved with the noninstinctive content. In order to deepen the knowledge of this course and train the ability of practice for the student，the dynamic analysis demonstration software is written by MATLAB GUI. Focusing on the key issues as earthquake action， response spectrum and dynamic response analysis， improving teaching effect is discussed for better learning and practice of students.

Keywords： structural seismic design； course concept； MATLAB GUI； dynamic analysis demonstration software

（編輯周沫）