劉一兵， 李榮寬， 沈泓翔

0 引 言

微機電系統(tǒng)(micro-electro-mechancical systems,MEMS) 加速度計由于元件的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、制造工藝以及工作環(huán)境等幾方面的原因，存在測量輸出誤差。其中溫度更是影響微機械加速度計可靠性和精度的關(guān)鍵因素。近幾年國內(nèi)外對溫度補償?shù)难芯浚饕心M硬件設(shè)計和數(shù)字信號處理兩種方法。模擬硬件通常采用與絕對溫度成正比(proportio-nal to absolute temperature,PTAT)[1]和與絕對溫度成正比(CTAT)[2]等技術(shù)設(shè)計讀出電路，不過存在精度不高且需要反復(fù)調(diào)試的局限性；數(shù)字信號處理方法[3～5]大部分僅限于理論研究且不易集成到芯片中。

本文設(shè)計了一種易于工程實現(xiàn)的基于雙指數(shù)模型的溫度補償系統(tǒng)。該系統(tǒng)一方面采用交替迭代法求解雙指數(shù)模型的系數(shù)，另一方面采用硬件描述語言對擴展收斂域的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計算(coordinate rotation digital computation,CORDIC)算法進(jìn)行定點化建模，使得硬件實現(xiàn)變得更為方便，易于集成，因此,具有較強的工程實用價值。

1 溫度補償系統(tǒng)設(shè)計整體方案

溫度補償系統(tǒng)方案框架如圖1所示。首先對含有溫度傳感器的MEMS加速度計進(jìn)行零位溫循環(huán)實驗，得到零位電壓輸出Vout(V)和溫度輸出Vtemp(V)，通過模/數(shù)轉(zhuǎn)換模塊得到二者的數(shù)字量DigitalVout(V)和DigitalVtemp(V)。微處理器或計算機將數(shù)字量進(jìn)行預(yù)處理并將數(shù)據(jù)點擬合得到雙指數(shù)模型的系數(shù)存于數(shù)字補償電路模塊的ROM中。

最后在數(shù)字補償電路中對加速度計的零位輸出進(jìn)行溫度補償。該溫度補償系統(tǒng)有以下優(yōu)點：1) 采用硬件描述語言設(shè)計，易于集成到加速度計中;2) 將擬合系數(shù)存于ROM中，加速度計在任何狀態(tài)工作時只需將溫度信號作為數(shù)字補償電路的輸入，即可得到該溫度下的補償值，直接補償加速度計輸出信號;3) 指數(shù)函數(shù)可以通過CORDIC算法實現(xiàn)，使得數(shù)字補償電路的實現(xiàn)變得更為簡單方便，大幅提升了工程實用性。

圖1 溫度補償系統(tǒng)框架

2 雙指數(shù)模型交替迭代算法

雙指數(shù)函數(shù)模型[6]為

Vout=α1eβ1Vtemp+α2eβ2Vtemp

(1)

式中Vout為加速度計的零位電壓輸出，V；Vtemp為加速度計中溫度傳感器的輸出，V，表示溫度值；α1和α2為線性擬合系數(shù)；β1和β2為非線性擬合系數(shù)。由于系數(shù)可以分為線性和非線性兩類，使用交替迭代法[7]進(jìn)行系數(shù)擬合。假設(shè)給點的數(shù)據(jù)點為{(Vouti,Vtempi)}，i= 1,2,…，n，算法具體步驟如下:

1)給出非線性擬合系數(shù)β1和β2的初值，記為β10和β20。

2)利用線性最小二乘法計算線性擬合系數(shù)α1和α2，其方程矩陣形式為

(2)

(3)

5)重復(fù)步驟(2)～步驟(4)，直到均方誤差Δ滿足給定的范圍為止。

該交替迭代算法在一定程度上降低了初值的選取難度，使得計算效率提升。文獻(xiàn)[8]提出的通倫交替迭代法可以進(jìn)一步改善初值的依賴性問題。

3 擴展的指數(shù)函數(shù)CORDIC算法的定點化建模

3.1 指數(shù)函數(shù)CORDIC算法

在雙曲坐標(biāo)系下，指數(shù)函數(shù)CORDIC算法經(jīng)過n次迭代后的輸出方程為[9]

(4)

若選擇初值X1=Y1=1/K，Zin=θ，有

Xn+1=Yn+1=coshZin+sinhZin=eθ

(5)

由于Zin的收斂范圍較小，實際應(yīng)用價值受到限制，所以必須擴大Zin的收斂域。

3.2 區(qū)間壓縮的Zin收斂域擴張方法

若令Zin=Qln 2+θ0，其中Q∈Z表示Zin除以ln 2的整數(shù)部分，θ0表示Zin除以ln 2的余數(shù)部分。此時θ0小于ln 2一定在收斂域內(nèi)，可以直接對其使用CORDIC算法計算

eZin=eQln 2+θ0=2Q×eθ0

(6)

式(6)中，若整數(shù)Q能夠確定，則2Q可以通過左移或者右移|Q|位實現(xiàn)，從而可以把eZin的計算通過轉(zhuǎn)化為對eθ0的計算，通過壓縮區(qū)間的方式實現(xiàn)指數(shù)函數(shù)CORDIC算法的收斂域擴展[10]。

3.3 擴展的Q值和θ0值的定點化求解方法

文獻(xiàn)[10]給出了Q值和θ0值的現(xiàn)場可編程門陣列(field programmable gate array,FPGA)求解方法。不過給出方法中輸入值的范圍為[-26,26)，定點化采用擴大216倍。在本節(jié)中，將該方法的輸入值Zin范圍擴展到[-2N,2N)，定點化擴展到擴大2M倍。因此,輸入角度Zin和其整數(shù)Q值和小數(shù)θ0值定點化關(guān)系式為

Zin/ln2×2M=2M×(Q+θ0/ln 2)

(7)

圖2為擴展的定點化求解整數(shù)部分Q和余數(shù)部分θ0的框架。第一個乘法器計算式(8)，integer表示向下取整，即計算出2M+N+3位的A并將后2M位定點化小數(shù)部分舍棄后得到整數(shù)部分Q值。第二個乘法器計算式(9)，demical_M表示取A的小數(shù)部分的前M位(A[2M-1︰M])，與擴大2M倍的ln 2相乘后得到余數(shù)部分θ0

integer[(Zin×2M)×(2M/ln2)]=2M×2M×Q

(8)

demical_M[(Zin×2M)×(2M/ln 2)]=2M×θ0/ln 2

(9)

通過上述分析和式(6)～式(9)可知，在采用定點化技術(shù)的CORDIC算法的收斂域擴展僅需2個乘法器即可實現(xiàn)輸入Zin在任意范圍內(nèi)(-2N,2N)相對于ln 2的整數(shù)Q和定點化余數(shù)θ0的求解。并且為了滿足實際需要，可選擇任意定點化精度值。

圖2 擴展的Q值和θ值定點化求解框架

4 仿真實驗與分析

4.1 雙指數(shù)函數(shù)擬合

對2只MEMS加速度計M1，M2進(jìn)行實驗和分析。為了定量分析雙指數(shù)函數(shù)擬合的有效性，本文采用均方根誤差(root mean square error,RMSE)和確定系數(shù)(R_square)作為評價指標(biāo)來對雙指數(shù)模型進(jìn)行檢驗。圖3為雙指數(shù)模型對M1和M2溫度曲線擬合的結(jié)果。

圖3 2種加速度計溫度曲線擬合效果

表1和表2為不同函數(shù)模型的擬合效果，其中序號1，2,3分別代表雙指數(shù)函數(shù)模型、3階多項式模型、4階多項式模型。

M1,M2雙指數(shù)模型表分別為

(10)

表1 M1型加速度計不同函數(shù)模型擬合效果

表2 M2型加速度計不同函數(shù)模型擬合效果

從圖3和表1、表2可以得出，M1,M2型加速度計采用本文的雙指數(shù)模型可以達(dá)到4階及以上多項式擬合精度。

4.2 數(shù)字補償電路仿真結(jié)果

數(shù)字補償電路采用Verilog HDL語言進(jìn)行建模。表3為采用M2模型的Modelsim仿真結(jié)果。其中定點化精度選擇擴大了216倍。

表3 M2模型的Modelsim仿真結(jié)果

從表中可以看出，相對誤差最大為0.019 %，可以滿足實際工程上的精度要求，擴大定點化倍數(shù)可繼續(xù)提升精度，因此,具有工程實用價值。

4.3 數(shù)字補償電路補償結(jié)果

圖4所示為將2種MEMS加速度計的Modelsim仿真結(jié)果導(dǎo)入MATLAB中與原數(shù)據(jù)點進(jìn)行補償，并與補償前數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。

圖4 零位輸出溫度補償結(jié)果

M1型溫度曲線峰峰值從補償前的0.003 9 V降到了3.687 1×10-4V；M2型從0.001 9 V降到了1.841 3×10-4V。實現(xiàn)了降低1個數(shù)量級的目標(biāo)，可以看出，溫度曲線有了較好的改善。由于雙指數(shù)函數(shù)模型的對稱性，整個數(shù)字電路模塊由3個乘法器和1個流水線CORDIC算法模塊組成，頂層計算時僅用實例化2次，并行運行相加即可。因此，在速度和面積上較4階以上多項式更有優(yōu)勢。

5 結(jié)束語

基于現(xiàn)有溫度補償算法較為復(fù)雜，大部分僅限于理論研究的局限性，設(shè)計了一種基于雙指數(shù)模型的易集成的溫度補償系統(tǒng)。補償系統(tǒng)采用交替迭代法計算雙指數(shù)模型系數(shù)，同時為了解決CORDIC算法計算指數(shù)函數(shù)輸入角度收斂域較小的問題，采用區(qū)間壓縮法擴展收斂域，并提出了一種擴展的定點化求解方法進(jìn)行硬件模塊設(shè)計，使得數(shù)字電路實現(xiàn)簡單，易于集成到芯片中。根據(jù)實驗可以看出：零位溫漂減少了1個數(shù)量級，進(jìn)一步提高了零偏穩(wěn)定性，因此，具有很強的工程使用價值。

參考文獻(xiàn):

[1] Zhang C,Wu Q,Yin T,et al.A MEMS gyroscope readout circuit with temperature compensation[C]∥The 5th IEEE International Conference on Nano/Micro Engineered and Molecular Systems (NEMS),2010:458-462.

[2] Yin T,Wu H,Wu Q,et al.A TIA-based readout circuit with temperature compensation for MEMS capacitive gyroscope[C]∥IEEE International Conference on Nano/Micro Engineered and Molecular Systems (NEMS),2011:401-405.

[3] Xia D,Chen S,Wang S,et al.Microgyroscope temperature effects and compensation-control methods[J].International Journal of Sensors，2009,9(10):8349-8376.

[4] Ji X,Wang S,Xu Y,et al.Application of the digital signal procession in the MEMS gyroscope de-drift[C]∥The 1st IEEE International Conference on Nano/Micro Engineered and Molecular Systems,NEMS’06,2006:218-221.

[5] Wu X,Duan L,Chen W.A Kalman filter approach based on random drift data of fiber-optic gyro[C]∥The 6th IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications (ICIEA),2011:1933-1937.

[6] 韓 丹,江 春,付鵬濤,等.探測器信號波形離散序列的多項式與雙指數(shù)曲線擬合及其在數(shù)字化核能譜中的應(yīng)用[J].核電子學(xué)與探測技術(shù),2010,30(8):1075-1078.

[7] 趙林明,習(xí)華勇.數(shù)據(jù)擬合方法程序設(shè)計及其應(yīng)用[M].石家莊:河北科學(xué)技術(shù)出版社,2000:79-80.

[8] 陳 華,鄧少貴,范宜仁.同倫交替迭代法在雙指數(shù)擬合中的應(yīng)用[J].計算機工程與應(yīng)用,2007,43(25):204-205.

[9] 周曉青，李合生，陶榮輝，等.基于 CORDIC 算法的雙曲正余弦函數(shù) FPGA實現(xiàn)[J].信息與電子工程,2010,8(2):211-214.

[10] 唐文明,劉桂雄.指數(shù)函數(shù) CORDIC 算法的 FPGA 定點化技術(shù)[J].華南理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2016,44(7):9-14.