鄭 俊，張嘉鐘，于開平，王寶壽，陳瑋琪

（1.江蘇大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；3.中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082）

0 引 言

水黽劃水并在水面上高速運(yùn)動的物理與力學(xué)機(jī)理已得到實(shí)驗(yàn)層面的廣泛揭示[1-10]，然而對水黽等水面昆蟲在水面上劃水推進(jìn)力的計(jì)算卻還沒有得到充分的開展。雖然可以給出推進(jìn)力的一般積分形式，但是由于水黽劃水時(shí)足部與水的接觸區(qū)域處于變化之中，所以積分域也就相應(yīng)地變化，因此要將積分形式的推進(jìn)力展開并得到具體結(jié)果是不現(xiàn)實(shí)的[11-12]。關(guān)于推進(jìn)力的主要理論結(jié)果是基于二維的數(shù)值計(jì)算獲得的[11]，在二維計(jì)算中，只關(guān)注一個(gè)足部橫截面以指定的軌跡運(yùn)動時(shí)產(chǎn)生的流體動力，因此依然無法給出推進(jìn)力的理論表達(dá)形式?？梢?，從微尺度的流固耦合角度來對水黽推進(jìn)進(jìn)行考察，是較為困難的。

因此，目前關(guān)于水黽及仿水黽機(jī)器人的足部受力的分析主要還是針對準(zhǔn)靜態(tài)的情形，也就是主要關(guān)注水黽處于漂浮狀態(tài)時(shí)的足部的靜態(tài)受力以及能夠在水面上保持漂浮狀態(tài)的臨界條件[13-19]。然而當(dāng)水黽處于高速運(yùn)動時(shí)，水黽足部用力劃水，在這過程中當(dāng)中，靜力學(xué)的結(jié)果無法提供足夠且合理的信息。雖然這對水面仿生機(jī)器人研制產(chǎn)生的困難并不明顯，因?yàn)橹灰律鷻C(jī)器人的劃水速度足夠低，那么準(zhǔn)靜態(tài)的結(jié)果就可以適用[15，20-21]，然而對于高速水面運(yùn)動的機(jī)器人而言，動力學(xué)特性的了解是至關(guān)重要的[22-23]。

考慮到水黽在水面劃行時(shí)產(chǎn)生宏觀的類似于半球渦的雙極渦（dipolar vortex）流動結(jié)構(gòu)[4-5，12]，因此可以從其宏觀的流動結(jié)構(gòu)上去考察水黽劃水推進(jìn)的流體動力。關(guān)于水黽產(chǎn)生的雙極渦的僅有實(shí)驗(yàn)測量表明，水黽高速劃水時(shí)，雙極渦內(nèi)流體的動量占水黽輸送到流體中全部動量的64%[24]，非常接近于理論分析結(jié)果2/3[25]。表1中為Akira在實(shí)驗(yàn)室中測量得到的2.5 mg的水黽在不同運(yùn)動速度下時(shí)，流體中的動量以及雙極渦中的動量與動能數(shù)據(jù)[24]。然而關(guān)于雙極渦的大小以及在流體中的移動速度等物理量，該實(shí)驗(yàn)卻并未給出測量結(jié)果。Hu對10 mg的水黽以最大速度100 cm/s在水面飛奔時(shí)，通過觀察，估測半球渦的半徑接近于4 mm而移動速度接近4 cm/s[4，12]，但是在后文，本文會指出這個(gè)估測是不夠合理的。

表1 不同運(yùn)動速度下水黽的流體動力特性的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[24]Tab.1 The experimental measurements on the fluid dynamics of the water strider with different speeds[24]

已有的實(shí)驗(yàn)觀測研究中，另一個(gè)對建立水黽高速運(yùn)動時(shí)宏觀流體動力特性有益的信息是水黽足部劃水的最大速度與身體運(yùn)動的最大速度是基本相等的。Hu發(fā)現(xiàn)大多數(shù)水黽足部劃水的特征速度分布在70±10 cm/s，而對應(yīng)的身體特征速度為60±10 cm/s[5]，而且在其另一研究中也發(fā)現(xiàn)當(dāng)水黽足部最大速度為100 cm/s時(shí)，身體的最大速度也可達(dá)到100 cm/s[4，12]。Akira在實(shí)驗(yàn)中也觀測到身體速度為59 cm/s時(shí)，足部的最大速度約為72 cm/s[24]。這些數(shù)據(jù)對于仿水黽機(jī)器人足部的運(yùn)動規(guī)劃是極為重要的信息。

本文首先對半球渦模型用于近似雙極渦流體動力的合理性進(jìn)行了考察，表1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提供了分析和比較的依據(jù)。在此基礎(chǔ)上，繼而給出半球渦的半徑以及半球渦在液體中移動速度等幾何與動力學(xué)特征及影響因素，并將半球渦內(nèi)動量與動能的理論預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行了比較，進(jìn)一步地又給出了水黽劃水產(chǎn)生推進(jìn)力的理論計(jì)算方法并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果做了對比，繼而給出仿水黽機(jī)器人劃水推進(jìn)時(shí)足部的劃水力矩以及電機(jī)的推進(jìn)功率的計(jì)算方法，從而為高速水面運(yùn)動仿生機(jī)器人的設(shè)計(jì)與動力學(xué)預(yù)測提供了理論參考依據(jù)。

1 水黽主要幾何特征及劃水產(chǎn)生的半球渦流動結(jié)構(gòu)

水黽的典型幾何特征如圖1（a）所示，從已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果已知，水黽足部與水接觸的區(qū)域主要分布在其腿部的第二關(guān)節(jié)（second tarsal）上，因此第二關(guān)節(jié)的長度L2是影響水黽產(chǎn)生半球渦尺度的一個(gè)主要特征量。對于不同的水黽而言，雖然個(gè)體尺寸或質(zhì)量有所差別，但是構(gòu)成其身體材質(zhì)的密度是接近的，即水黽的密度為[12]

其中：下標(biāo)“s”表示為水黽。因此對于不同尺寸的水黽而言，其長度的比值與它們之間質(zhì)量的比值存在以下關(guān)系

其中：ηL，ητ，ηM分別為長度、體積和質(zhì)量的比值。因此Akira實(shí)驗(yàn)中并未給出的水黽腿部的第二關(guān)節(jié)長度L2也可以方便地由Hu實(shí)驗(yàn)中的水黽第二關(guān)節(jié)長度來計(jì)算得到：

其中：MAkira=2.5 mg，MHu=10 mg分別為Akira[24]和Hu[4]實(shí)驗(yàn)中水黽的質(zhì)量，而L2Hu=3 mm則為Hu實(shí)驗(yàn)中水黽腿部第二關(guān)節(jié)的長度。

圖1 （a）水黽的外形特征；（b）水黽產(chǎn)生的雙極渦[4]；（c）雙極渦的理想化模型：半球渦結(jié)構(gòu)流動結(jié)構(gòu)[4]Fig.1(a)The geometric features of a water strider;(b)The dipolar vortices produced by the water strider[4];(c)Idealized model of dipolar vortex:hemispherical vortex[4]

水黽在水面上劃水時(shí)產(chǎn)生的雙極渦流動結(jié)構(gòu)如圖1（b）所示。事實(shí)上圖1（c）中的半球渦流動結(jié)構(gòu)是對圖1（b）中水黽產(chǎn)生的雙極渦的一種理想化的近似，然而尚未有工作對水黽產(chǎn)生的半球渦的尺寸以及水黽輸入到半球渦內(nèi)的動量、動能進(jìn)行過考察，而這正是本文的主要工作之一。值得注意的是，水黽在水面飛奔時(shí)，其后腿也在水中制造出雙極渦的結(jié)構(gòu)，然而后腿產(chǎn)生的雙極渦極小，因此對推進(jìn)力的貢獻(xiàn)很小[12]。

2 水黽劃水產(chǎn)生的半球渦的幾何特征與動力學(xué)特征

圖1（c）中的半球渦流動可以在圖2的坐標(biāo)系下進(jìn)行求解分析。當(dāng)半球渦以速度-Vv沿x軸移動時(shí)，則相當(dāng)于無窮遠(yuǎn)來流以速度Vv繞過半球的流動。

圖2 水面下的半球渦流動結(jié)構(gòu)Fig.2 The hemispherical vortex beneath the water surface

2.1 半球渦流動求解及其內(nèi)部的流體動量與動能

如果將水面當(dāng)做映射平面，則利用鏡像原理可知，半球渦的流動相當(dāng)于Hill球渦的流動在鏡面以下的部分，因此可以利用Hill球渦的求解方法來求解水面下半球渦的流動。為簡潔考慮，Hill球渦的求解過程，在這里不再引用，而只簡單地給出Hill球渦內(nèi)流體動量與動能的表達(dá)式，即：

其中：下標(biāo)“H”表示的是Hill球渦對應(yīng)的物理量，而R為半球渦的半徑，ρl則為液體的密度。因此半球渦內(nèi)所含的動量與動能為：

由于水黽中間雙腿產(chǎn)生兩個(gè)半球渦而且后腿也產(chǎn)生兩個(gè)相對較小的半球渦，因此水黽產(chǎn)生的總的半球渦內(nèi)所含有的動量和能量可以表述為：

其中：Φ為后腿產(chǎn)生的半球渦相比較于中間腿產(chǎn)生的半球渦的動量之比，如果半球渦的移動速度相同，則Φ可以認(rèn)為是后腿與中間腿產(chǎn)生的半球渦的尺寸之比。由于對于同一種水黽的不同個(gè)體而言，后腿與中腿的比值是基本不變的，因此Φ對同一種水黽而言是一固定值。對于水黽而言，由于后腿的第二關(guān)節(jié)長度明顯小于中腿的第二關(guān)節(jié)長度，所以

一般對于真實(shí)的水黽而言，后腿對推進(jìn)力的貢獻(xiàn)非常少[12]，因此

然而值得注意的是，對于仿水黽機(jī)器人，如果將后腿的第二關(guān)節(jié)長度設(shè)計(jì)為大于中腿的第二關(guān)節(jié)長度，則Φ顯然可以大于1，而具體取值的大小則要視具體的長度比例而定。

半球渦的理論模型（6）和（7）是否能夠合理預(yù)測水黽產(chǎn)生的雙極渦的動量與動能，有待于基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的考察。如果（6）式和（7）式預(yù)測的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合，則說明半球渦模型用于預(yù)測水黽產(chǎn)生的流體動力是合理的。

2.2 半球渦的半徑

現(xiàn)在根據(jù)（6）式和（7）式以及表1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來對水黽產(chǎn)生的半球渦的半徑進(jìn)行考察。根據(jù)（6）式和（7）式可以得到

于是可以得到

在這其中Φ的值并未確定，但是從（10）式可以看到R是Φ的單調(diào)函數(shù)，所以當(dāng)Φ取0和1時(shí)，R具有最大和最小值。表2中給出了Φ取0，0.125，1時(shí)半球渦的預(yù)測值。可以看到Φ取0時(shí)，對于不同運(yùn)動速度，R的預(yù)測值集中于1.6 mm左右，與（3）式給出的L2的長度1.89 mm極其接近，這也就是說半球渦的半徑與水黽中間腿的第二關(guān)節(jié)長度L2是成正比的而且及其接近，因此半球渦的體積τ則與中間腿的第二關(guān)節(jié)長度L2的立方成正比，即

現(xiàn)在來考察考慮后腿產(chǎn)生半球渦的影響下，半球渦的半徑R的預(yù)測值。根據(jù)（4）式可知，半球渦移動速度相等的情況下，后腿產(chǎn)生的半球渦的動量與中間腿產(chǎn)生的半球渦動量比值Φ等于它們半球渦體積的比值，即

對真實(shí)的水黽，從圖1（a）或圖1（c）可見，后腿的第二關(guān)節(jié)長度與中間腿第二關(guān)節(jié)長度之比約為0.5左右，因此從（12）式中可求得表2中給出了Φ=0.125時(shí)半球渦半徑R的測值，主要集中于1.6 mm附近，這與中間腿第二關(guān)節(jié)長度L2=1.89 mm也是極其接近的。特別地，考慮極不符合實(shí)際的情形，即假設(shè)水黽后腿產(chǎn)生的半球渦與中間腿產(chǎn)生的半球渦大小相等，也就是Φ=1時(shí)，則（10）式給出R的預(yù)測值也將完全不符合實(shí)際情況，如表3所示，此時(shí)R預(yù)測值分布在1.3 mm附近，這證明后腿產(chǎn)生的半球渦尺寸不可能接近中間腿產(chǎn)生的半球渦大小。綜上所述，當(dāng)水黽在水面劃水推進(jìn)時(shí)，中間腿產(chǎn)生的半球渦的半徑R與L2接近。但L2并非全部觸水長度，在實(shí)際的問題中，觸水長度或半球渦半徑R可計(jì)算為

其中：ε稱之為觸水長度因子，根據(jù)表2中的結(jié)果，在預(yù)測仿生水黽機(jī)器人劃水所產(chǎn)生的半球渦半徑時(shí)，將其估計(jì)為腿部觸水長度或第二關(guān)節(jié)的長度L2的0.85～0.9是合理而且簡便的。如果在獲得半球渦移動速度的條件下，將（13）式代入（6）式和（7）式中，就可以直接計(jì)算出半球渦內(nèi)的動量與動能，因此下面來考察半球渦移動速度的特征。

2.3 半球渦的移動速度

首先來考察基于（6）式和（7）式預(yù)測的半球渦移動速度是否合理。根據(jù)（6）式和（7）式可得到

因此表1中的水黽在不同速度下產(chǎn)生的半球渦的移動速度可以被計(jì)算得到如表2中所示。從表2中可以看到半球渦在流體中的移動速度為1.81～4.72 cm/s，這與Hu在實(shí)驗(yàn)中觀測到半球渦的移動速度4 cm/s的量級是接近的?？梢姡诎肭驕u模型（6）式和（7）式對水黽產(chǎn)生的半球渦的移動速度在量級上的預(yù)測是合理的。根據(jù)（14）式以及表1中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的半球渦移動速度與水黽運(yùn)動速度之比β，如表2所示。

然而在實(shí)際情況下，事先并不知道半球渦內(nèi)的動量與動能，而只知道仿水黽機(jī)器人的質(zhì)量Ms與仿水黽機(jī)器人期望達(dá)到的速度V，此時(shí)計(jì)算出半球渦的運(yùn)動速度是設(shè)計(jì)中最為關(guān)注的問題。已有的理論和實(shí)驗(yàn)研究指出[24-25]，當(dāng)水黽以較高速度運(yùn)動時(shí)（＞72 cm/s），半球渦內(nèi)的動量可達(dá)到水黽輸入到流體中總動量的2/3，

其中：γ為2/3，V為水黽的速度，而If，Is則是流體和水黽的動量，由于流體和水黽之間的動量交換，這兩者是相等的。于是，根據(jù)（13）式給出的半球渦半徑以及（6）式就可計(jì)算出半球渦內(nèi)的動量，并將（6）式代入（15）式可以得到

考慮到水黽的質(zhì)量與體積成正比且水黽身體幾何形狀相似，因此水黽質(zhì)量可以表達(dá)為

其中：λ為一系數(shù)，該系數(shù)對于水黽而言可以認(rèn)為是一固定值，比如對Hu實(shí)驗(yàn)和Akira實(shí)驗(yàn)中的水黽，都可以計(jì)算得到

將（17）式代入（16）式變形后可以得到

從（18）式可知，不考慮任何偶然因素的影響下，半球渦移動速度與水黽運(yùn)動速度之比β可以認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。對于Akira實(shí)驗(yàn)中的水黽，利用常數(shù)Φ=0.125，γ=2/3，ε=0.85就可以計(jì)算得到

對比表2中β的觀測數(shù)據(jù)來看，半球渦移動速度與水黽速度比值β的計(jì)算方法（18）式是合理的，基于該系數(shù)計(jì)算得到水黽不同運(yùn)動速度下半球渦移動速度如表2中Vv2所示。因此對于水黽和仿水黽機(jī)器人而言，半球渦的移動速度可以直接估測為

綜上所述，給定一個(gè)水黽，根據(jù)（13）式可獲得其產(chǎn)生半球渦大小的信息，而根據(jù)（19）式就可以估計(jì)出水黽不同運(yùn)動速度下半球渦的移動速度，相應(yīng)地根據(jù)（6）式與（7）式就能較合理地計(jì)算出水黽在水面運(yùn)動時(shí)傳遞到半球渦內(nèi)的動量與動能。

2.4 半球渦內(nèi)流體動量與動能的理論計(jì)算

根據(jù)已經(jīng)獲得的半球渦尺寸以及半球渦移動速度Vv2，利用（6）式與（7）式，并取半球渦半徑為R=1.6 mm以及Φ=0.125，可以預(yù)測得到半球渦內(nèi)流體的動量Iv_p與動能Ev_p，如表2所示，其中誤差定義為

從表2中可以看到動量預(yù)測的最大誤差為9.52%，而動能預(yù)測的最大誤差為23.5%?？梢娎茫?）～（7）式以及（13）式給出的半徑R以及（19）式給出的水黽產(chǎn)生的半球渦的移動速度，就可以較為準(zhǔn)確地獲得半球渦內(nèi)的動量與動能，這也進(jìn)一步證明半球渦模型計(jì)算水黽產(chǎn)生的雙極渦內(nèi)的動量與動能是合理的。

為了進(jìn)一步考核半球渦模型（6）、（7）、（13）式和（19）式的合理性，圖 3 給出了 R 取 0.8～0.9L2范圍內(nèi)，不同速度下半球渦內(nèi)動量的計(jì)算誤差。從圖中可見，在該范圍中半球渦動量的計(jì)算誤差最大不超過25%，特別是在0.84～0.87L2的范圍內(nèi)，不同速度下的動量預(yù)測誤差不超過13%。這說明半球渦模型（6）、（7）、（13）式和（19）式對于計(jì)算水黽產(chǎn)生的雙極渦內(nèi)的動量與動能是完全合理的。對于其它研究者的實(shí)驗(yàn)對象，以上結(jié)果同樣可以給出合理的預(yù)測結(jié)果。Hu實(shí)驗(yàn)中水黽質(zhì)量為10 mg，而最大速度為100 cm/s，中間腿的第二關(guān)節(jié)長度 L2=3 mm，利用（6）、（13）、（19）式可預(yù)測到水黽輸入到半球渦內(nèi)總動量為

而水黽的總體動量為 Is=1.0×10-5kg·m·s-1，因此根據(jù)（15）式計(jì)算可以得到，Iv占 Is的比例為 0.669 1，接近于2/3。然而值得注意的是，Hu在研究中曾估測半球渦的移動速度為4 cm/s以及半球渦的半徑為4 cm，并直接認(rèn)為水黽交換到流體中的動量全部為半球渦內(nèi)的流體質(zhì)量與半球渦移動速度的乘積，即Iv=Is，展開可得到

從以上分析可見，Hu對半球渦半徑R及半球渦內(nèi)流體動量的計(jì)算是不合理的[4，12]。

圖3 不同半徑取值下半球渦內(nèi)流體動量的預(yù)測誤差Fig.3 The error of predicted momentum in the hemispherical vortex

表2 基于半球渦模型的水黽的流體動力計(jì)算Tab.2 The fluid dynamics of the water strider based on the hemispherical vortex

續(xù)表2

3 仿水黽機(jī)器人劃水推進(jìn)的推進(jìn)力模型及推進(jìn)特性分析

根據(jù)以上的理論和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析可知，在仿生機(jī)器人的表面超疏水特性接近真實(shí)水黽表面的超疏水特性的條件下，給定機(jī)器人的質(zhì)量Ms之后，那么根據(jù)（1）式確定的機(jī)器人密度ρs及（17）式確定的機(jī)器人足部第二關(guān)節(jié)長度L2來設(shè)計(jì)的仿生水黽機(jī)器人，其足部產(chǎn)生的半球渦幾何特征滿足（13）式而運(yùn)動特征則滿足（19）式。與此同時(shí)，在實(shí)驗(yàn)中還發(fā)現(xiàn)，對于同一只水黽，不同劃水速度下，其劃水持續(xù)的時(shí)間ts基本不變[24]。而且在引言中已經(jīng)指出，足部劃水的最高速度Ul與身體運(yùn)動的最高速度V，兩者接近[5，24]，即

根據(jù)這兩個(gè)信息，可以建立水黽劃水推進(jìn)力與足部劃水速度之間的關(guān)系。由于機(jī)器人劃水產(chǎn)生的半球渦大小及半球渦移動速度都已獲得，因此可根據(jù)（6）式以及（15）式獲得全部流體內(nèi)的動量。根據(jù)已獲得的動量，則可以獲得水黽在劃水持續(xù)的時(shí)間內(nèi)的平均推進(jìn)力。

3.1 水黽劃水推進(jìn)的平均推進(jìn)力

根據(jù)動量守恒，可以獲得在時(shí)間間隔內(nèi)水黽劃水的平均推進(jìn)力為

根據(jù)（15）、（6）、（13）、（19）式和（21）式可以立刻獲得

根據(jù)推進(jìn)力的模型，就可以近似計(jì)算得到水黽的加速度a。表2中給出了不同速度下，水黽的推進(jìn)力和水黽加速度的計(jì)算值，計(jì)算時(shí)取劃水時(shí)間為表1中的14 ms。實(shí)驗(yàn)Case1中測得水黽速度為72 cm/s的情況下，加速度為57.4 m·s-2而對應(yīng)的推進(jìn)力為14.85 dynes[24]，對比表2中的計(jì)算結(jié)果，可見兩者的數(shù)值是非常接近的。因此采用（23）式計(jì)算水黽足部總推進(jìn)力是合理的。

3.2 仿水黽機(jī)器人推進(jìn)特性的分析

從（23）式可看到水黽劃水時(shí)產(chǎn)生推進(jìn)力大小的幾個(gè)重要的影響因素，即L2，Ul，ts?？梢园l(fā)現(xiàn)，劃水速度越高、劃水時(shí)間越短則產(chǎn)生的推進(jìn)力越大。而水黽足部的第二關(guān)節(jié)L2，其產(chǎn)生的推進(jìn)力也越大，這是符合物理事實(shí)的。從圖1（a）中可見，當(dāng)水黽劃水時(shí)，水黽的腿繞著與身體的連接點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在這過程中，只有第二關(guān)節(jié)與水接觸，因此半球渦的形成主要決定于第二關(guān)節(jié)在水面的運(yùn)動，而第二關(guān)節(jié)越長，根據(jù)（13）式可知，形成的半球渦就越大，從而根據(jù)（6）式可知，其半球渦內(nèi)動量就越大，水黽獲得反沖量也越大。

考慮到水黽在水面的推進(jìn)主要由于水黽的腿部在水面上繞著與身體連接的連接處旋轉(zhuǎn)來獲得推進(jìn)力，因此根據(jù)（23）式就可以獲得水黽劃水時(shí)足部需要施加的力矩。根據(jù)（23）式給出的兩根腿上的總推進(jìn)力，于是可獲得每根腿部第二關(guān)節(jié)平均長度上的推進(jìn)力為

根據(jù)圖1（a）可知，不考慮第二關(guān)節(jié)繞第一關(guān)節(jié)附加轉(zhuǎn)動時(shí)，那么（23）式中劃水速度與劃水的角速度關(guān)系為

其中：L，ω分別為總的腿長與角速度，而θ為腿部劃水的角位移。那么第二關(guān)節(jié)某微小距離上的力矩為

其中：r為第二關(guān)節(jié)上某點(diǎn)到腿部與身體連接部位的距離。于是整根腿部上的力矩為

如果設(shè)水黽腿部劃水時(shí)，劃水速度經(jīng)歷勻加速與勻減速兩個(gè)階段，那么劃水時(shí)間ts則可近似估算為

考慮到劃水持續(xù)時(shí)間ts在同一個(gè)水黽或機(jī)器人中被設(shè)定為常數(shù)，于是水黽推進(jìn)時(shí)，足部的力矩可以計(jì)算為

而電機(jī)需要輸出的功率則為

從（29）式可知劃水時(shí)腿的角位移θ越大，則水黽劃水獲得的力矩也越大；而且水黽輸出的功率與角位移的平方成正比，因此角位移越大，水黽獲得的動能也越大。

3.3 仿水黽機(jī)器人最大推進(jìn)功率

設(shè)水黽腿部第二關(guān)節(jié)與腿長的比例為

顯然s對于同一類水黽可以認(rèn)為是定值，于是（30）式成為

很顯然，其中的系數(shù)

對任何水黽或仿水黽的機(jī)器人，是基本相同或接近的。從圖1（a）可以看到水黽角位移θ的最大值約接近于180°，由（32）式可知，θ=π時(shí)仿生水黽機(jī)器人可以從電機(jī)內(nèi)獲得的最大功率為

從該式可以看到，提高仿生水黽機(jī)器人獲得動能的途徑是將腿的長度L加長或?qū)澦臅r(shí)間ts縮短。因此為了讓仿水黽機(jī)器人獲得超越真實(shí)水黽的運(yùn)動速度，那么可以在保證條件（1）中密度ρs和質(zhì)量Ms不變的前提下，盡可能讓L變得越長，于是根據(jù)（31）式可知L2就越大，于是根據(jù)（13）式可知半球渦的半徑就越大，繼而根據(jù)（6）式可知，半球渦內(nèi)動量就越大，從而仿水黽機(jī)器人從流體中可獲得反作用力就越大，于是同樣質(zhì)量下的仿水黽機(jī)器人，其加速度就越大。由于密度（1）和質(zhì)量Ms都不變，因此機(jī)器人的總體積不變，所以當(dāng)L變得更長時(shí)，仿水黽機(jī)器人身體上其余部位的體積就要相應(yīng)縮小?？梢姡诒ＷC總體積不變的情況下，適當(dāng)設(shè)計(jì)仿水黽機(jī)器人的形狀，確實(shí)是可以達(dá)到水面仿生機(jī)器人超過真實(shí)水黽運(yùn)動速度的目的。

4 結(jié) 論

本文基于半球渦模型分析了水黽劃水推進(jìn)時(shí)產(chǎn)生的半球渦的半徑以及半球渦在流體中的運(yùn)動速度。研究表明半球渦的半徑與水黽腿部第二關(guān)節(jié)長度是接近的，比值接近0.85，而半球渦的移動速度與水黽運(yùn)動速度或劃水速度成正比，比值為0.056 9，這兩個(gè)比值對于所有水黽可認(rèn)為是接近或相同的常數(shù)。根據(jù)水黽的身體幾何信息以及水黽的運(yùn)動速度以及半球渦理論模型，計(jì)算了水黽產(chǎn)生的雙極渦中的動量與能量并與相關(guān)實(shí)驗(yàn)做了對比。對比表明，動量的理論計(jì)算誤差小于10%，而動能的計(jì)算誤差小于23.5%，說明了半球渦模型用于計(jì)算水黽劃水產(chǎn)生的流體動力是合理的。

根據(jù)半球渦理論模型并根據(jù)動量定理給出了水黽劃水獲得推進(jìn)力的理論模型并獲得了水黽劃水時(shí)腿部的力矩以及功率，并給出了仿水黽機(jī)器人劃水時(shí)最大電機(jī)功率的計(jì)算表達(dá)式，從而為仿水黽機(jī)器人電機(jī)特性的選取提供了理論依據(jù)。公式表明最大推進(jìn)功率與腿的長度五次方成正比而與劃水持續(xù)時(shí)間的立方成反比，因此仿水黽機(jī)器人的推進(jìn)機(jī)械機(jī)構(gòu)可以通過縮短運(yùn)動周期來提高每個(gè)劃水周期內(nèi)的推進(jìn)力。

本文研究為仿生水黽機(jī)器人的形狀設(shè)計(jì)也提供了參考依據(jù)，即在保證材料超疏水特性以及密度與真實(shí)水黽相同的條件下以及在保證腿部第二關(guān)節(jié)長度與腿的總長比例不變的前提下，同樣質(zhì)量的機(jī)器人，可以通過形狀設(shè)計(jì)將腿的長度加長來獲得更大的推進(jìn)力或推進(jìn)功率，從而獲得比真實(shí)水黽更大的運(yùn)動加速度。

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