郭高潔，蔣 平，李 欣，錢俊璋

(1.中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100190)

0 引言

現(xiàn)今高性能伺服系統(tǒng)對系統(tǒng)帶寬和跟蹤精度提出了越來越高的要求，而伺服系統(tǒng)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)均存在一定的彈性，這就使得伺服控制系統(tǒng)不論采取直接驅(qū)動(dòng)還是齒輪驅(qū)動(dòng)的方式都會(huì)存在諧振現(xiàn)象。諧振會(huì)造成系統(tǒng)在諧振頻率處工作不穩(wěn)定。因此為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定就需要犧牲部分系統(tǒng)帶寬。諧振的存在不僅限制了系統(tǒng)帶寬，同時(shí)也限制了伺服系統(tǒng)的控制器增益的提高，從而導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能下降，限制了系統(tǒng)的控制精度[1]。

在實(shí)際應(yīng)用中，伺服系統(tǒng)的機(jī)械諧振頻率經(jīng)常由于系統(tǒng)磨損、元部件老化、負(fù)載慣量變化等多方面因素而發(fā)生改變。為了保證系統(tǒng)工作穩(wěn)定，需要進(jìn)行諧振的在線檢測?；ハ嚓P(guān)分析法是目前應(yīng)用較多的諧振在線檢測的方式之一，它不需要進(jìn)行額外的系統(tǒng)運(yùn)行次數(shù)且對處于衰減較嚴(yán)重頻帶的諧振依然具有檢測能力。實(shí)時(shí)工業(yè)以太網(wǎng)EtherCAT因?yàn)榫哂袀鬏斔俣瓤?、?shù)據(jù)包容量大、上位機(jī)軟件二次開發(fā)方便等特點(diǎn)，適于進(jìn)行伺服控制系統(tǒng)諧振在線檢測方案的開發(fā)設(shè)計(jì)[2]。

本文結(jié)合EtherCAT總線技術(shù)、Kingstar Motion軟件，采用互相關(guān)分析法設(shè)計(jì)基于EtherCAT架構(gòu)的諧振在線檢測方案，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 諧振的建模與分析

在實(shí)際的伺服控制系統(tǒng)中，諧振是普遍存在的，其原因是伺服系統(tǒng)的傳動(dòng)部分并非是完全剛性的，在工作過程中會(huì)發(fā)生不同程度的彈性形變。尤其是在光電經(jīng)緯儀系統(tǒng)中，由于轉(zhuǎn)臺負(fù)載大、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大、連接軸剛度不夠等原因，諧振現(xiàn)象明顯且對系統(tǒng)危害較大。這就需要對伺服控制系統(tǒng)進(jìn)行簡單的建模并對諧振進(jìn)行分析。

電機(jī)、傳動(dòng)部分、負(fù)載組成的二質(zhì)量負(fù)載模型如圖1所示。

其中K和Cw是傳動(dòng)軸的彈性系數(shù)與阻尼系數(shù)，當(dāng)傳動(dòng)軸工作過程中發(fā)生形變時(shí)會(huì)產(chǎn)生扭矩Tw，也就是電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩,同時(shí)也是傳動(dòng)軸系的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩。驅(qū)動(dòng)器控制電機(jī)運(yùn)行，使電機(jī)的轉(zhuǎn)軸輸出電磁轉(zhuǎn)矩Tm，此時(shí)對于電機(jī)端來說，電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩Tm和傳動(dòng)軸系轉(zhuǎn)矩Tw共同作用于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jm、阻尼系數(shù)為Cm的電機(jī)轉(zhuǎn)軸。在負(fù)載端，負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，阻尼系數(shù)為C1，在驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩Tw和負(fù)載轉(zhuǎn)矩T1的共同作用下決定負(fù)載的轉(zhuǎn)速。因?yàn)橄到y(tǒng)阻尼系數(shù)影響很小，在忽略系統(tǒng)阻尼系數(shù)的情況下，當(dāng)電機(jī)端轉(zhuǎn)過θm、負(fù)載端轉(zhuǎn)過θ1時(shí)，對系統(tǒng)模型建立微分方程并進(jìn)行拉氏變換可得：

(1)

進(jìn)而解得電機(jī)轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)速與電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩之間的傳遞函數(shù)：

(2)

由式(2)可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的諧振頻率點(diǎn)ωml和反諧振頻率點(diǎn)ωl分別為：

(3)

從式(3)可以看出，諧振頻率點(diǎn)及反諧振頻率點(diǎn)與傳動(dòng)軸系的剛度系數(shù)及電機(jī)負(fù)載端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)，如果伺服系統(tǒng)是理想的剛性連接，剛度系數(shù)無窮大，則諧振及反諧振頻率也是無窮大，即不會(huì)出現(xiàn)諧振。但是實(shí)際情況中不存在剛度系數(shù)無窮大的連接軸系，所以諧振是普遍存在于伺服控制系統(tǒng)中的現(xiàn)象。諧振的存在使得系統(tǒng)在特定頻率處的響應(yīng)發(fā)生異常，造成系統(tǒng)工作不穩(wěn)定，進(jìn)而影響跟蹤精度甚至引發(fā)系統(tǒng)部件損害[3]。

2 EtherCAT控制系統(tǒng)架構(gòu)

EtherCAT系統(tǒng)采用主從式結(jié)構(gòu)，所有通信均由主站發(fā)起。通過以太網(wǎng)設(shè)備運(yùn)行在全雙工模式下，主站發(fā)出的報(bào)文可通過雙向傳輸線返回主站控制單元。這種通信機(jī)制使整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中不會(huì)出現(xiàn)通信沖突，保證數(shù)據(jù)的正確性。數(shù)據(jù)幀的轉(zhuǎn)發(fā)處理由硬件完成，數(shù)據(jù)幀經(jīng)過每個(gè)從站的時(shí)間延遲極小，約為100～500 ns；EtherCAT所搭配的工控機(jī)控制軟件包含相應(yīng)的RTX(Real-Time Extension)模塊，它修改并擴(kuò)展Windows的硬件抽象層(Hardware Abstraction Layer，HAL)，實(shí)現(xiàn)獨(dú)立的內(nèi)核驅(qū)動(dòng)模式，形成與Windows操作系統(tǒng)并列的實(shí)時(shí)子系統(tǒng)RTSS。通過在Windows和RTX線程之間增加獨(dú)立的中斷間隔，提供獨(dú)立的RTSS調(diào)度器，從而保證系統(tǒng)的高度實(shí)時(shí)性[4]。基于EtherCAT架構(gòu)的伺服控制系統(tǒng)主要由工控機(jī)、EtherCAT總線、伺服驅(qū)動(dòng)器、伺服電機(jī)和反饋編碼器五部分組成，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。工控機(jī)與伺服驅(qū)動(dòng)器構(gòu)成EtherCAT主從站結(jié)構(gòu)。工控機(jī)作為主站，負(fù)責(zé)EtherCAT主站配置、主從數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)通信、參數(shù)設(shè)定、狀態(tài)顯示以及數(shù)據(jù)處理等一系列工作，伺服驅(qū)動(dòng)器作為從站，實(shí)現(xiàn)對電機(jī)的驅(qū)動(dòng)控制，主要體現(xiàn)為轉(zhuǎn)矩控制信息的下發(fā)和編碼器數(shù)據(jù)的反饋。

圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

3 諧振在線檢測方案設(shè)計(jì)

3.1 互相關(guān)分析法

EtherCAT架構(gòu)下可以實(shí)現(xiàn)伺服控制系統(tǒng)的數(shù)字化控制，獲得的輸入輸出數(shù)據(jù)是離散的序列，經(jīng)過快速傅里葉變換后可得輸入輸出數(shù)據(jù)的頻域表示形式，利用輸入輸出數(shù)據(jù)的互相關(guān)函數(shù)以及自相關(guān)函數(shù)即可得離散化的系統(tǒng)頻率特性數(shù)據(jù)，進(jìn)而使用參數(shù)辨識算法得到傳遞函數(shù)的待定參數(shù)，最后就可以獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型，由函數(shù)模型獲得系統(tǒng)的頻率特性。首先定義電流輸入序列為u(i)，系統(tǒng)的速度響應(yīng)序列為y(i)，其中i=1，…，N，N為序列的長度。對u(i)和y(i)分別進(jìn)行傅里葉變換(FFT)可以得到U(k)和Y(k)，繼而得到傳遞函數(shù)G(s)：

(4)

令s=jω，系統(tǒng)在特定頻率ω處的響應(yīng)為：

G(jω)=

(5)

然后可以建立誤差函數(shù)模型：

(6)

定義評價(jià)函數(shù)為全部采樣點(diǎn)上的擬合誤差的平方和，在此基礎(chǔ)上用最小二乘法作為辨識算法對系統(tǒng)傳遞函數(shù)的未知系數(shù)進(jìn)行求解[3]。引入加權(quán)因子D(jωi)可以使非線性極小化問題轉(zhuǎn)化成線性極小化問題。從而建立了新的誤差函數(shù)E(jω)并極小化評價(jià)函數(shù)J:

(7)

對J求偏導(dǎo)并整理就可以計(jì)算出擬合誤差最小時(shí)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型的未知參數(shù)。通過辨識出的傳遞函數(shù)模型可以獲知包括諧振頻率在內(nèi)的一系列系統(tǒng)頻率特性。

3.2 諧振在線檢測方案的EtherCAT實(shí)現(xiàn)

互相關(guān)分析法可以不添加額外硬件，在EtherCAT架構(gòu)的上位機(jī)軟件中通過二次開發(fā)即可實(shí)現(xiàn)。首先是對輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)。本方案采用基于頻率抽取算法的快速傅里葉變換，即通過蝶形圖算法來減少運(yùn)算量進(jìn)行加速計(jì)算。實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)臺采用Kingstar Motion的上位機(jī)軟件，可以基于Visual Studio 2013進(jìn)行二次開發(fā)。本方案調(diào)用FFTW庫來進(jìn)行輸入輸出數(shù)據(jù)的快速傅里葉變換。FFTW庫是目前比較完善的可通過Visual Studio直接調(diào)用的數(shù)學(xué)運(yùn)算庫?？梢赃x擇不同的運(yùn)算基數(shù)來進(jìn)行蝶形傅里葉變換，加快計(jì)算速度。

獲得系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的頻域變換之后，就可以進(jìn)行傳遞函數(shù)模型的參數(shù)辨識。本方案采取傳統(tǒng)的最小二乘法對傳遞函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行辨識。最小二乘法有諸多改進(jìn)型算法，其中l(wèi)evy辨識法能夠?qū)φ`差函數(shù)的實(shí)部和虛部進(jìn)行運(yùn)算，是系統(tǒng)辨識中比較常用的一種參數(shù)辨識算法。而FFTW庫可以通過模式選擇進(jìn)行保留實(shí)部和虛部的FFT變化，所以采取FFTW庫搭配最小二乘法來進(jìn)行傳遞函數(shù)的參數(shù)辨識。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)在實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有的EtherCAT架構(gòu)電機(jī)平臺上進(jìn)行。轉(zhuǎn)臺上位機(jī)為倍福公司的多核工控機(jī)，安裝KingStar Motion軟件；從站使用Phase公司的AxN型驅(qū)動(dòng)器，已集成相關(guān)芯片和EtherCAT通信接口，通過網(wǎng)線直接與工控機(jī)相連；所用永磁同步電機(jī)部分參數(shù)如下：額定扭矩為35 Nm，額定轉(zhuǎn)速12 °/s，額定電流3.5 A，轉(zhuǎn)矩常數(shù)為9.72 Nm/A。最大轉(zhuǎn)速1 150 °/s；編碼器采用27位分辨率海德漢絕對式編碼器ECA4000。電機(jī)慣量約為5.4×10-3N·m2，負(fù)載慣量約為2.9×10-3N·m2，軸系剛度系數(shù)為2 036 N·m/rad。計(jì)算得諧振頻率約為126 Hz。

實(shí)驗(yàn)在轉(zhuǎn)臺速度閉環(huán)的情況下進(jìn)行。為了得到更大頻帶范圍內(nèi)的系統(tǒng)頻率特性，選擇頻率變化范圍為0～500 Hz的正弦掃頻信號作為系統(tǒng)的給定參考電流信號，EtherCAT采樣頻率設(shè)為1 kHz，系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間設(shè)置為40 s，系統(tǒng)運(yùn)行得到的輸入輸出數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖3 輸入輸出時(shí)域數(shù)據(jù)

將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)辨識，在選定14階辨識算法的情況下進(jìn)行參數(shù)辨識，程序運(yùn)行得到的原始數(shù)據(jù)經(jīng)MATLAB處理后的bode圖如圖4。

圖4 bode圖

實(shí)驗(yàn)程序給出的諧振頻率為123 Hz，在線運(yùn)算所需時(shí)間為2 361 ms，在考慮到誤差存在的情況下與根據(jù)參數(shù)計(jì)算所得的諧振頻率126 Hz基本一致。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，該實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)臺的諧振頻率處于系統(tǒng)響應(yīng)衰減比較嚴(yán)重的區(qū)域。互相關(guān)分析法對低頻段系統(tǒng)的頻率特性具有良好的辨識效果，諧振處于衰減嚴(yán)重的頻段時(shí)該方案依然具備一定的檢測能力，受到系統(tǒng)響應(yīng)衰減嚴(yán)重的影響，在保證在線檢測運(yùn)行速度的基礎(chǔ)上諧振檢測的精度有所損失，但基本能夠滿足轉(zhuǎn)臺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)在運(yùn)行過程中對諧振頻率的檢測要求。

5 結(jié)論

本文簡要介紹了伺服系統(tǒng)諧振的產(chǎn)生機(jī)理，對伺服系統(tǒng)諧振進(jìn)行建模分析；采用互相關(guān)分析法設(shè)計(jì)了一種基于EtherCAT架構(gòu)的伺服系統(tǒng)諧振在線檢測方案，并且將該諧振檢測方案在轉(zhuǎn)臺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方案能夠切實(shí)檢測到轉(zhuǎn)臺實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)存在的諧振頻率點(diǎn)，在保證一定運(yùn)算速度的前提下基本達(dá)到伺服控制系統(tǒng)諧振在線檢測的精度要求。該諧振在線檢測方案具有上位機(jī)程序開發(fā)方便、易于維護(hù)的特點(diǎn)，適于集成到伺服控制系統(tǒng)主程序中去，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。因?yàn)槭艿綄?shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)臺設(shè)計(jì)條件所限，沒有對諧振頻率靠近剪切頻率或者諧振頻率小于剪切頻率的幾種情況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；在使用其他參數(shù)辨識算法來保證檢測精度、提高運(yùn)算速度等方面也都需要做進(jìn)一步的深入研究。

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