一、問題的提出

在常規(guī)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們對每個知識點，采用的是按課時進行教學(xué)，最后通過復(fù)習(xí)課對前面的一個學(xué)習(xí)過程進行統(tǒng)整，即遵循“個體—部分—整體”的邏輯。例如，學(xué)習(xí)人教版數(shù)學(xué)九年級上冊“一元二次方程”時，按照常規(guī)的教學(xué)設(shè)計，一般會將一元二次方程的各種基本解法依次進行學(xué)、練，最后是各種基本解法的綜合。這是先讓學(xué)生學(xué)習(xí)“個體”，而后到“部分”，最后到“整體”的方法。

這種教學(xué)的優(yōu)點是將教學(xué)難點分解，利于學(xué)生逐個掌握、逐步提高。但是這種教學(xué)的弊端是顯而易見的，即學(xué)生難以自主地打通這些“孤立”的知識點之間的聯(lián)系，每一個知識點都是碎片化狀態(tài)，難于理解、掌握和運用。

二、在結(jié)構(gòu)中感受數(shù)學(xué)的整體性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解。這就要求學(xué)生把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)視為一個整體，從知識、能力、思維等方面進行整體把握，從而促使學(xué)生得以整體提高、全面發(fā)展。

例如，在教學(xué)“一元二次方程（一）”時，許多教師設(shè)立的學(xué)習(xí)目標(biāo)是這樣的：（1）理解并掌握一元二次方程的定義；（2）理解并掌握一元二次方程的一般表達式。學(xué)習(xí)重點是一元二次方程的定義，學(xué)習(xí)難點是一元二次方程的各項及其系數(shù)的區(qū)別。顯然這樣的學(xué)習(xí)目標(biāo)是不確切、不全面的，而且將“一元二次方程的定義等相關(guān)概念”脫離在“一元二次方程”這個整體之外。

2017年11月，筆者執(zhí)教了“一元二次方程（一）”的展示課。考慮到“知識的結(jié)構(gòu)和體系”“局部知識與整體知識的關(guān)系”“感受數(shù)學(xué)的整體性”等教學(xué)要點，筆者采用了反常規(guī)的教學(xué)方法：引導(dǎo)學(xué)生類比于一次方程（一元一次方程、二元一次方程），自主進行遷移并獲得一元二次方程的定義及一般形式；根據(jù)一元二次方程4種解法的基本思想及相互之間的聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生自主探究各種解法，并建立各種解法的體系框架（即先形成“整體”知識，后面再讓學(xué)生自主而深入地研究知識整體的各個“個體”或“局部”）；采用單元教學(xué)的方式，重組教學(xué)內(nèi)容，達到了較好的教學(xué)效果。本節(jié)課筆者擬定的教學(xué)目標(biāo)為：（1）在具體情境中自主建構(gòu)一元二次方程的定義、一般表達式等；（2）自主探索解一元二次方程的思想方法和理論依據(jù)，建構(gòu)4種解法的知識基礎(chǔ)及相互聯(lián)系。

具體教學(xué)設(shè)計如下。

環(huán)節(jié)一：問題解決，自覺遷移。

1.提問：（1）如何用一張長方形硬紙片做成一個沒有蓋的長方體盒子？（2）如果硬紙片長16厘米，寬12厘米，如何做成一個底面積為96平方厘米的沒有蓋的長方體盒子？

全班交流，列方程求解：設(shè)截去的小正方形的邊長為x厘米。由題意，得（16-2x）（12-2x）＝96，整理后，得 x2-14x+24＝0。

追問：（1）這是什么方程？（2）你是根據(jù)學(xué)什么知識的經(jīng)驗來命名和定義的？

（設(shè)計意圖：將方程整理成一般形式，便于學(xué)生自覺給新方程命名和定義。事實上，學(xué)生都能由學(xué)習(xí)一次方程的經(jīng)驗，仿照地將新方程命名為“一元二次方程”。這里也為學(xué)生初步了解一元二次方程的4種解法及解決實際問題打下伏筆。）

環(huán)節(jié)二：類比遷移，自主概括。

1.提問：為什么把方程x2-14x+24=0叫作一元二次方程？什么樣的方程叫作一元二次方程？它的一般形式是怎樣的？

2.練習(xí)：（1）下列關(guān)于x的方程是不是一元二次方程？說明判斷根據(jù)。

（2）將下列方程化成一元二次方程的一般形式后，說出各項及其系數(shù)。

教學(xué)方式：讓學(xué)生先獨立思考，然后在小組里交流（你是怎么判斷的？判斷的依據(jù)是什么？），最后全班交流。

（設(shè)計意圖：突出一元二次方程的一般形式中的條件“a≠0”，強化學(xué)生對一元二次方程的定義的認識。）

環(huán)節(jié)三：自主探究，自覺生成。

1.思考：根據(jù)已有經(jīng)驗，解一元二次方程的基本思路是怎樣的？

2.研究解法：求方程①x2-4＝0的解。

方法一：由 x2-4＝0 得 x2＝4，∴x＝±2，即 x1＝2，x2＝-2。（解法名稱：直接開平方法）

追問：（1）方程 x2+4＝0怎么求解？方程（x-1）2＝4 呢？（2）可以用直接開平方法來解的一元二次方程有何條件？

說明：所舉的例子旨在向?qū)W生說明，能用直接開平方法解的一元二次方程一定能變形為“等號的左邊是完全平方式，等號的右邊是一個非負數(shù)”的形式。

方法二：由 x2-4＝0 得（x+2）（x-2）＝0，∴x+2＝0 或 x-2＝0 ∴x1＝-2，x2＝2。（解法名稱：因式分解法）

追問：根據(jù)因式分解的知識來解方程的依據(jù)是什么？

3.小組研究：求方程②3x2-5x＝0和方程③x2-2x-15＝0的解法。

追問：（1）如何用直接開平方法來解方程x2-2x-15＝0？

（2）類比一元一次方程的一般形式ax+b=0（a≠0）的解的表示，用配方法可以解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），若有解，那么它的解用什么來表示？

（設(shè)計意圖：把方程③變形為左邊是一個完全平方式，如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法求出方程的解，由此引出配方法。用配方法來解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），若有解，那么它的解是用含系數(shù)a、b、c的式子來表示的，這就是一元二次方程的求根公式，以后直接用這個公式來求一元二次方程的解，由此得到第4種解法——“公式法”。）

4.學(xué)生自主求出做無蓋盒子需要在四個角截去的相同的小正方形的邊長。

（設(shè)計意圖：根據(jù)四種解法的知識基礎(chǔ)和四種解法之間的相互聯(lián)系，探討了一元二次方程的四種基本解法。突出了本節(jié)課的教學(xué)重點——建立解方程的基本思想、具體方法和理論依據(jù)的知識體系框架；突破了教學(xué)難點——用配方法解一元二次方程。充分地發(fā)揮和發(fā)展學(xué)生的主體創(chuàng)造性。）

環(huán)節(jié)四：共同回顧，總結(jié)提升。

引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題思考交流：（1）我們是如何得到一元二次方程及其解法的？（2）在學(xué)習(xí)的過程中體會到哪些重要的學(xué)習(xí)方法或經(jīng)驗？

師生共同總結(jié)：（1）完善板書如下：

（2）對每個新知，要學(xué)會觀察現(xiàn)象，概括本質(zhì)或規(guī)律，善于積極主動猜想、聯(lián)想，用已有的知識經(jīng)驗去自主探究未知，從而把未知轉(zhuǎn)化為已知。

三、對“學(xué)材再建構(gòu)”的幾點說明和思考

首先，所謂“學(xué)材”，簡單地說就是學(xué)習(xí)材料，或者說是學(xué)習(xí)資源。狹義的“學(xué)材”是學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所用到的一些直接相關(guān)的材料、資源，譬如教科書、教輔資料等；廣義的“學(xué)材”是與學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的一切材料（對數(shù)學(xué)教材文本之外其他學(xué)習(xí)資源的整合和重構(gòu)）。課堂教學(xué)中，我們尤其要用好那些隱性學(xué)材（變化的、動態(tài)的、隱蔽的學(xué)習(xí)材料，如學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)經(jīng)驗、師生關(guān)系等）。

其次，“學(xué)材再建構(gòu)”由三個部分組成：一是教師獨立地對學(xué)材進行建構(gòu)；二是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下獨立地對學(xué)材進行建構(gòu)；三是師生共同對學(xué)材進行建構(gòu)。這三者合起來就是一個完整的學(xué)材再建構(gòu)過程?！皩W(xué)材再建構(gòu)”的本質(zhì)就是將相關(guān)知識點納入一個結(jié)構(gòu)或框架中，使習(xí)得的知識結(jié)構(gòu)化、能力結(jié)構(gòu)化（結(jié)構(gòu)性能力是指一種個體或組織的綜合能力、整合能力，并且是結(jié)構(gòu)性的、體系性的綜合能力），其基本形式為一個教學(xué)環(huán)節(jié)的再建構(gòu)、一課時的再建構(gòu)、一個知識板塊的再建構(gòu)、一個單元的再建構(gòu)、一周時間內(nèi)學(xué)習(xí)內(nèi)容的再建構(gòu)等（本課例屬于一個單元的再建構(gòu)，即單元再建構(gòu)）。不管哪種形式的再建構(gòu)，都必須是與學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和自學(xué)能力同步，與學(xué)生的知識體系、認知結(jié)構(gòu)相匹配，與學(xué)生思維能力和思維品質(zhì)的提升相呼應(yīng)，與學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和價值認同相吻合的。

最后，“學(xué)材再建構(gòu)”必須從四個“順應(yīng)”入手。一是必須順應(yīng)知識本身的邏輯關(guān)系，如上文環(huán)節(jié)三中的幾處追問，引導(dǎo)學(xué)生自主研究、合作交流，這樣他們不僅掌握了配方法，而且自主建構(gòu)了配方法與直接開平方法、公式法之間的邏輯聯(lián)系。二是必須順應(yīng)學(xué)生原有的認知基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)一元二次方程，必須要知道學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中自主建構(gòu)一元二次方程的定義和一般形式等；根據(jù)學(xué)生解二元一次方程組的經(jīng)驗，幫助學(xué)生自主探索解一元二次方程的思想方法和理論依據(jù)，建構(gòu)4種解法的知識基礎(chǔ)及相互聯(lián)系。三是必須順應(yīng)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。根據(jù)學(xué)生已有的發(fā)展水平，引導(dǎo)學(xué)生利用知識和方法的遷移，自主猜想解一元二次方程的基本思路是變形轉(zhuǎn)化為“x＝a”的形式。從而促成了學(xué)生自主探究，以舊引新，盡可能達到潛在的發(fā)展水平。四是必須順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)參與、激活思維。當(dāng)學(xué)生對學(xué)習(xí)發(fā)生興趣時，自然會主動想去學(xué)，從而逐漸學(xué)會，乃至?xí)W(xué)；當(dāng)學(xué)生會學(xué)時，自然會興趣盎然，學(xué)習(xí)興趣和積極性得到進一步激發(fā)。當(dāng)然，如果通過努力，問題始終不能得到解決，興趣就不能保持，自主發(fā)展就沒有空間。

綜上，“學(xué)材再建構(gòu)”的結(jié)果就是引導(dǎo)學(xué)生自主接納新認知并融入原有認知結(jié)構(gòu)，在生生之間、師生之間深度交流激發(fā)火花，啟迪思維，形成共識，產(chǎn)生創(chuàng)新成果。這就要求教師要從整體上把握和架構(gòu)教材，合理重組教材內(nèi)容，關(guān)注數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和知識結(jié)構(gòu)的完整性，考慮數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教和學(xué)的方法的完整性，引領(lǐng)學(xué)生“在結(jié)構(gòu)之中感受數(shù)學(xué)的整體性”，“讓學(xué)生所學(xué)的知識能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)化”，從而真正促進學(xué)生的數(shù)學(xué)氣質(zhì)、素養(yǎng)和能力的整體提高。

［1］教育部.義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

［2］李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［3］李庾南，陳育彬.中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計30例：學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

［4］李庾南，祁國斌.自學(xué)·議論·引導(dǎo)：涵育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要范式［J］.課程·教材·教法，2017（09）.

［5］施俊進，徐小建.例談初中數(shù)學(xué)“學(xué)材再建構(gòu)”的實施策略和原則［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（11）.

［6］施俊進.“學(xué)程單”：優(yōu)化“學(xué)”的智慧選擇——以“多邊形的內(nèi)角和”教學(xué)為例［J］.江蘇教育：中學(xué)教學(xué)，2017（02）.

［7］施俊進.初中數(shù)學(xué)“學(xué)材再建構(gòu)”研究初探［J］.學(xué)校管理，2016（06）.