宋 婷，宋 拓，張小力

(1.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 陜西 渭南 714000; 2.西安理工大學(xué)， 西安 710048)

二自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機器人區(qū)別于傳統(tǒng)機器人，它有許多連桿和關(guān)節(jié)，并且結(jié)構(gòu)復(fù)雜、封閉，系非線性動力學(xué)系統(tǒng)，它的復(fù)雜在于具有很多個輸入、輸出，耦合關(guān)系十分復(fù)雜，在系統(tǒng)中存在冗余驅(qū)動，這使得并聯(lián)機器人的動力學(xué)分析和建模非常復(fù)雜。并聯(lián)機器人的動力學(xué)分析建模是一項非常重要的課題，動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性直接影響著并聯(lián)機器人的動態(tài)性能、結(jié)構(gòu)優(yōu)化和結(jié)構(gòu)設(shè)計及動力學(xué)仿真等研究工作。要使并聯(lián)機器人在運動學(xué)方面達到速度高和精度高，就要有一套適用于動力學(xué)效果顯著的控制算法。所以，要研究機器人控制，首先要進行動力學(xué)分析研究。

1 拉格朗日法(Lagrange)

拉格朗日方程是最常用的并聯(lián)機器人建模方法，采用此方法建立的動力學(xué)模型能夠描述各構(gòu)件之間的耦合關(guān)系。其通式如下：

(1)

選取并聯(lián)機器人3個主動關(guān)節(jié)角度變量為廣義坐標(biāo)，構(gòu)造Lagrange動力學(xué)模型：

(2)

(3)

(4)

將式(2)、式(3)、式(4)代入式(1)，可得

(5)

合并后得

(6)

有如下性質(zhì)[7]：

1)M(q)是對稱正定矩陣，即：

MT=M

uTMu>0, ?u∈Rn,u=0

2 拉格朗日—達朗伯法

達朗伯原理將復(fù)雜的動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題求解。在分析力學(xué)領(lǐng)域，把這種變換了形式的求解方法與虛功原理相結(jié)合，產(chǎn)生了拉格朗日——達朗伯方程，該類方程已成為分析和求解動力學(xué)問題行之有效的方程之一[8]。通常將機器人的并聯(lián)結(jié)構(gòu)化簡為開鏈結(jié)構(gòu)再進行動力學(xué)分析。從該閉鏈結(jié)構(gòu)中選擇任意一個非驅(qū)動關(guān)節(jié)，采用虛擬切割法將其切割成開鏈結(jié)構(gòu)，該開鏈結(jié)構(gòu)滿足拉格朗日—達朗伯方程：

(7)

當(dāng)并聯(lián)機構(gòu)在奇異位形外且正常驅(qū)動，則：

(8)

其中：W是q相對于qa的雅可比矩陣；I為單位矩陣。樹形開鏈結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程為：

(9)

若樹形開鏈結(jié)構(gòu)Lagrange函數(shù)L等于閉鏈結(jié)構(gòu)Lagrange函數(shù)Lv，則L=Lv，由此便得到閉鏈關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩τa和樹形開鏈關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩τ的關(guān)系，即WTτ=STτa。因而該并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)方程為：

(10)

3 應(yīng)用拉格朗日—達朗伯方程建立二自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機器人動力學(xué)模型

以固高GPM系列二自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機器人實驗平臺為對象，采用拉格朗日—達朗伯方程建立該系統(tǒng)的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，對其進行動力學(xué)分析，其結(jié)構(gòu)簡圖如圖1，各關(guān)節(jié)位置參數(shù)如表1。

轉(zhuǎn)動副(主動關(guān)節(jié))X/mmY/mm 轉(zhuǎn)動副(被動關(guān)節(jié))X/mmY/mm A10.0250.0B1106.9469.3A2433.00.0B2189.16.9A3433.0500.0 B3471.7259.1

以固定轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)軸方向為Z軸，Z軸與機器人運動平面垂直，以水平向右的射線為x軸、豎直向上的射線為y軸，建立坐標(biāo)系，x軸和y軸的交點即為坐標(biāo)原點。由于此機器人不僅結(jié)構(gòu)對稱而且具有三組同樣的運動分支，所以研究其動力學(xué)方程只需要取其中一個分支進行分析即可，如圖2所示，建立參考坐標(biāo)系oxy，坐標(biāo)系的原點位于該并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)簡圖中正三角形A1A2A3的中心。

令該機器人第i((i=1,2,3))個分支中兩均質(zhì)細(xì)直桿的長度分別是l1和l2，其質(zhì)量分別是mi1和mi2，質(zhì)心坐標(biāo)為(xi1,yi1)和(xi2,yi2)，質(zhì)心即為桿件的中心點，兩桿的質(zhì)心距離桿端部的距離分別為r1和r2，與x軸正方向的夾角分別為αi和βi，由圖2可知兩桿質(zhì)心沿x軸和沿y軸的方程：

(11)

(12)

對式(11)、式(12)求導(dǎo)，可獲得速度方程：

(13)

(14)

1) 該分支在水平面上的運動動能為：

(15)

(16)

同理：均質(zhì)細(xì)直桿l2繞質(zhì)心B(xi2,yi2)旋轉(zhuǎn)得到的轉(zhuǎn)動慣量為：

(17)

由動能定理可知：

則：E即為連桿做旋轉(zhuǎn)運動的動能。

l1和l2繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的動能為：

(18)

由上可知，該分支的總動能為：

(19)

若設(shè)該機器人運動平面為基準(zhǔn)面，不考慮關(guān)節(jié)間的摩擦，則系統(tǒng)勢能為零，用Pi表示，則Pi=0。拉格朗日算子L=E-P，可知：Li=Ei-Pi=Ei。

根據(jù)式(1)，可得出用關(guān)節(jié)坐標(biāo)αi和βi來表述該分支的動力學(xué)方程：

(21)

(22)

由式(21)、式(22)可得：

(23)

(24)

K3=m2l1r2

將式(23)與式(24)結(jié)合后，可表示成如下形式：

(25)

式中：

合并這3個運動分支的動力學(xué)方程，可獲得閉鏈系統(tǒng)的動力學(xué)通式：

(26)

文獻[11]可知該機器人的速度方程，即：

(27)

式中：di=l1[(x-xi0)sinαi-(y-yi0)cosαi]

ei=x-xi0-l1cosαi

fi=y-yi0-l1sinαi

同理：

(28)

式中：λi=li[-(x-xi0)sinβi+(y-yi0)cosβi]

μi=x-x01-l2cosβi

γi=y-y01-l2sinβi

該機器人速度方程式(27)與式(28)結(jié)合，可寫成如下形式：

(29)

(30)

即：

其中：S和Q是一個η1=η2=η3=0的矩陣

則：將式(29)和式(30)合并后，可得該機器人的速度雅可比矩陣，用J表示，J是一個6×2的矩陣：

由于用質(zhì)心坐標(biāo)表示二自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機器人系統(tǒng)中相互獨立的廣義坐標(biāo)矢量，且由式(10)可得其動力學(xué)方程：

(31)

式中：

u=[xy]T

由式(31)可知，采用拉格朗日—達朗伯方程建立的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，可以直接求得逆動力學(xué)方程，采用此方法建立的動力學(xué)模型和采用達朗伯法或拉格朗日法等方法所建立的動力學(xué)模型相比，具有一致性[12]，說明拉格朗日—達朗伯法在求解機器人動力學(xué)方程和建立模型中具有明顯的優(yōu)越性及可行性。

4 二自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機器人驅(qū)動力優(yōu)化

由于該機器人存在冗余驅(qū)動，驅(qū)動關(guān)節(jié)力和力矩的分配具有不確定性，在式(31)中，若已知驅(qū)動力τa，即機構(gòu)的運動可以確定；若已知機構(gòu)的運動，而不能唯一確定τa，此時則要借助優(yōu)化方法對驅(qū)動力τa進行優(yōu)化分配。通過對τa進行優(yōu)化可以減小機器人各關(guān)節(jié)內(nèi)力，防止驅(qū)動力突變，進而使并聯(lián)機器人的力傳遞性能得到提高，并且還可改善并聯(lián)機器人的動態(tài)性能。

將驅(qū)動力優(yōu)化問題描述如下：

引進Lagrange因子，根據(jù)代數(shù)方法可得Lagrange函數(shù)：

(32)

(33)

(34)

由式(27)和式(28)求得：

(35)

f=Hτa

(36)

將式(29)代入式(30)，得：

(37)

由式(31)可知：

λ=2(H(M-1)THT)-1f

(38)

將式(32)代入式(29)，得：

τa=(M-1)THT(H(M-1)HT)-1f

(39)

若取M為單位矩陣，可求得τa為：

τa=HT(HHT)-1f=JT(JJT)-1f

(40)

式(40)是當(dāng)機器人末端執(zhí)行器所受負(fù)載已知時，求并聯(lián)機器人驅(qū)動力的最優(yōu)解。

平面二自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機器人理論上只需兩個電機即可滿足該機器人的自由度數(shù)，才能夠確定并聯(lián)機器人末端執(zhí)行器的運動情況，而此機器人卻給出了三個驅(qū)動電機，使驅(qū)動構(gòu)件數(shù)目大于機構(gòu)末端執(zhí)行器自由度數(shù)目，則已知末端執(zhí)行器輸出力時，無法唯一確定機器人的驅(qū)動力。分配驅(qū)動力理論上會有許多組解，依據(jù)機構(gòu)運動不同的工作狀況，選擇不同的優(yōu)化目標(biāo)及方法對驅(qū)動力τa進行優(yōu)化分配。該并聯(lián)機器人的優(yōu)化目標(biāo)有兩種：能耗優(yōu)化和輸入力優(yōu)化。依據(jù)二自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機器人的實際工作情況，本節(jié)采用優(yōu)化輸入力的方法[16]對驅(qū)動力進行優(yōu)化分配。

機器人末端執(zhí)行器所受兩個作用力分別為：

1) 并聯(lián)機器人各分支的軸向驅(qū)動力，表示為τa=[τa1,τa2,τa3]；

2) 作用在末端執(zhí)行器處外負(fù)載矢量f，表示為：

f=[fx,fy,fz]

當(dāng)末端執(zhí)行器力位于平衡狀態(tài)時，其所受到合力為零，平衡狀態(tài)方程為：

(41)

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

τa=minτai

(42)

將式(41)和式(42)相結(jié)合便可獲得優(yōu)化驅(qū)動力τa。

5 結(jié)論

文章基于二自由度冗余驅(qū)動并聯(lián)機器人的簡化模型，針對該機器人系統(tǒng)動力學(xué)分析建模的復(fù)雜性，采取拉格朗日—達朗伯法對該機器人進行動力學(xué)分析建模，通過該方法建立動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，不僅可以直接求得逆動力學(xué)方程，而且與單獨采用拉格朗日法所建立的動力學(xué)模型相比具有一致性，說明：

1) 拉格朗日—達朗伯法在機器人動力學(xué)模型的求解中具有明顯的優(yōu)越性及可行性；

2) 采用輸入力優(yōu)化法對該機器人驅(qū)動力進行優(yōu)化分配，對改善并聯(lián)機器人動力學(xué)性能提供了充足的理論依據(jù)。

[1] 惠記莊，魏芳勝，高凱，等.基于ADAMS的冗余驅(qū)動并聯(lián)機器人動力學(xué)仿真研究[J].工程設(shè)計學(xué)報，2012，19(5):362-365.

[2] 解本銘，趙詞海.基于ADAMS的3-P4R并聯(lián)打磨機器人運動學(xué)仿真[J].制造業(yè)自動化，2011,33(8):21-25.

[3] 趙景波.MATLAB控制系統(tǒng)仿真與設(shè)計[M].北京：機械工業(yè)出版社，2010.

[4] 贠遠，徐青松，李揚民.并聯(lián)微操作機器人技術(shù)及其應(yīng)用進展[J].機械工程學(xué)報，2008,12:12-23.

[5] TRUNG DO THANH,JENS KOTLARSKI,BODO HEIMANN,et al.Dynamics identification of kinematically redundant parallel robots using the direct search method[J].Mechanism and Machine Theory，2012(52):277-295.

[6] 馮寶奇.LINKS-EXE700R并聯(lián)機床在制造領(lǐng)域的應(yīng)用[J].航空制造技術(shù)，2009,4:96-97.

[7] 張立杰，劉辛軍.平面二自由度驅(qū)動冗余并聯(lián)機器人的機構(gòu)設(shè)計[J].機械工程學(xué)報,2002，38(12):49-53.

[8] 侯錦世.分析力學(xué)中的達朗伯原理[J].山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報,1995，9(4)：65-66.

[9] SU Y X,ZHENG C H.Global asymptotic tracking of robot manipulators with a simple decentralized non-linear PD-like controller.[J].Control Theory&Applications,2010,4(9):1605-1611.

[10] SERDAR KUCUK.Energy minimization for 3-RRR fully planar parallel manipulator using particle swarm optimization[J].Mechanism and Machine Theory.2013(62):129-149.

[11] SUN D,MILLS J K.Adaptive synchronized control for coordination of multirobot assembly tasks[J].IEEE Trans.Robot.Autom.,2002,18(4):498-510.

[12] YOUNG B,HO KIM.SHINICHI HIRAI.Modular and Distributed Forward Dynamic Simulation of Constrained Mechanical Systems——A Comparative Study [C].New Orleans,LA,April 2004.

[13] 高天國.并聯(lián)機床加工中心的研制與應(yīng)用[J].航空制造技術(shù)，2009,5:50-53.

[14] TRUNG DO THANH,JENS KOTLARSKI,BODO HEIMANN,et al.Dynamics identification of kinematically redundant parallel robots using the direct search method[J].Mechanism and Machine Theory.2012(52):277-295.

[15] 趙景山，馮之敬，褚福磊.機器人機構(gòu)自由度分析理論[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[16] 魏立新.6-DOF 并聯(lián)機器人動力學(xué)建模及其控制策略研究[D].秦皇島：燕山大學(xué)，2002：72-86.

[17] 李增剛.ADAMS入門詳解與實例[M].北京:國防工業(yè)出版社，2009:79-81.

[18] WANG Xuanyin,YIN Ruiduo.Six-axis force/torque sensor based on stewart platform[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2008,44(12):118-122.

[19] 劉延斌，張宏敏，趙新華.3-RRRT并聯(lián)機器人魯棒自適應(yīng)模糊滑?？刂芠J].電機與控制學(xué)報，2009，(13)：87-91.

[20] 劉金琨.機器人控制系統(tǒng)的設(shè)計與MATLAB仿真[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[21] 賈振元，李映軍，張軍，等.并聯(lián)式軸用壓電六維力/力矩傳感器[J].機械工程學(xué)報，2010(6):62-63.

[22] 趙景山，馮之敬，褚福磊.機器人機構(gòu)自由度分析理論[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[23] 王凱正，林棻，張華達，等． 基于Arduino的輪式移動機器人速度控制模式比較[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2017(6):70-77.