劉德春，張秀國，姜 微

(1.南陽理工學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，河南 南陽 473000; 2.大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116026)

0 引 言

大學(xué)生對(duì)自主學(xué)習(xí)能力進(jìn)行預(yù)判是提升自我學(xué)習(xí)能力的有效方法。自主學(xué)習(xí)是一種主體驅(qū)動(dòng)，即學(xué)習(xí)目標(biāo)自己確定、內(nèi)容自己選擇、計(jì)劃自定并可以對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行評(píng)估、調(diào)控的學(xué)習(xí)模式[1-3]。對(duì)自主學(xué)習(xí)能力的預(yù)測(cè)技術(shù)可以應(yīng)用馬爾科夫(簡稱馬氏)鏈、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等原理模型。目前，國外對(duì)自主學(xué)習(xí)能力的研究多在能力評(píng)估方面，例如，Belski等人[4]提供了一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)技能的簡易程序(TERISSA)；Roth等人[5]把心理和教育數(shù)據(jù)庫的系統(tǒng)搜索結(jié)果在自我評(píng)估報(bào)告工具中加以應(yīng)用。國內(nèi)有關(guān)自主學(xué)習(xí)的研究，主要在于自主學(xué)習(xí)評(píng)估與涉及學(xué)習(xí)平臺(tái)方面的探討，真正進(jìn)行學(xué)習(xí)能力預(yù)測(cè)的還比較有限。如：劉歌等人[6]用馬氏原理分析學(xué)生學(xué)習(xí)成績狀況及趨勢(shì)，并提供了樣本實(shí)例；文獻(xiàn)[7]用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法構(gòu)建了深度學(xué)習(xí)水平預(yù)測(cè)模型；文獻(xiàn)[8]提出了建立在移動(dòng)學(xué)習(xí)(M-learning)基礎(chǔ)之上的遠(yuǎn)程自主學(xué)習(xí)模型；文獻(xiàn)[9]使用挖掘等技術(shù)結(jié)合Web建立了一種個(gè)性化學(xué)習(xí)模型；文獻(xiàn)[10-11]在考慮學(xué)生的個(gè)體差異后把馬氏模型引入教學(xué)評(píng)價(jià)機(jī)制，通過數(shù)學(xué)方法分析評(píng)估對(duì)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響。

本文利用馬氏原理短期預(yù)測(cè)效果精準(zhǔn)之特長，以期通過建模與算法實(shí)現(xiàn)，對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)潛在能力進(jìn)行可操作性強(qiáng)的預(yù)測(cè)，然后以預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比當(dāng)前實(shí)際學(xué)習(xí)狀態(tài)，使被評(píng)測(cè)者掌握自身潛在學(xué)習(xí)情況及不足，通過不斷自我調(diào)整，達(dá)到改善提高自身學(xué)習(xí)能力之目的。

1 馬爾科夫鏈定義與原理

1)馬爾科夫鏈的定義[12]。

設(shè)一個(gè)隨機(jī)序列{X(t),t∈T}，條件分布函數(shù)滿足等式：

F(x,t|xn,xn-1,…,x2,x1,tn,tn-1,…,t2,t1)=F(x,t|xn,tn)

即：

P{X(t)≤x|X(tn)=xn,…,X(t1)=x1}=

P{X(t)≤x|X(tn)=xn}

此性質(zhì)稱為馬爾可夫性，時(shí)間和狀態(tài)都是離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈。若X(t)為離散型隨機(jī)變量，則馬爾可夫性亦滿足等式：

P{X(t)=x|X(tn)=xn,…,X(t1)=x1}=

P{X(t)=x|X(tn)=xn}

2) 原理性質(zhì)。

序列{X(t)}在t+1時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布只與t時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，與t時(shí)刻以前的狀態(tài)無關(guān)，可以通過現(xiàn)在狀態(tài)推演出來；不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移是隨機(jī)的；設(shè)P是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，其中Pij表示系統(tǒng)在時(shí)刻t處于狀態(tài)i，在下一時(shí)刻t+1處于狀態(tài)j的概率，N是系統(tǒng)所有可能狀態(tài)的個(gè)數(shù)。狀態(tài)集中某一個(gè)元素包含狀態(tài){X(t)}之中某一符號(hào)X(ti)的數(shù)值，則稱該元素集合形成了一個(gè)狀態(tài)序列Si。

3) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。

馬爾科夫鏈特性可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率來描述,對(duì)于有限狀態(tài)空間，則轉(zhuǎn)移概率分布可以表示為一個(gè)具有(i,j)元素的矩陣，稱之為“轉(zhuǎn)移矩陣”：

Pij=P(Xn+1=i|Xn=j)， i,j∈E

離散狀態(tài)空間中k步轉(zhuǎn)移概率的積分即為求和，可以對(duì)轉(zhuǎn)移矩陣求k次冪來求得。就是說，如果是“一步轉(zhuǎn)移概率矩陣”，就是k步轉(zhuǎn)移后的轉(zhuǎn)移矩陣。它滿足：

2 建立基于馬氏原理的自主學(xué)習(xí)能力預(yù)測(cè)模型

設(shè)定已知某學(xué)生的當(dāng)前狀態(tài)，在此基礎(chǔ)上對(duì)下一時(shí)段自主學(xué)習(xí)的能力狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)。人的學(xué)習(xí)能力是指人某一個(gè)時(shí)期或一個(gè)時(shí)段的狀態(tài)反映，通常在短時(shí)間內(nèi)是一種比較穩(wěn)定的狀態(tài)，因此在實(shí)際中有必要把理論上的時(shí)刻延伸為時(shí)段，這里以2周時(shí)間作為考察標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分析研究。根據(jù)馬氏原理可知，狀態(tài)的變化可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣來反映，通俗地說就是該學(xué)生由上一時(shí)刻轉(zhuǎn)為下一時(shí)刻狀態(tài)的概率所組成的矩陣，預(yù)測(cè)模型科學(xué)與否的關(guān)鍵就在于求得相對(duì)準(zhǔn)確的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。當(dāng)時(shí)間時(shí)段為Ti，如果在此時(shí)段利用概率矩陣得到的相對(duì)預(yù)測(cè)誤差很小，即概率矩陣達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，那么就可以據(jù)此對(duì)下一時(shí)刻即本文研究的時(shí)段對(duì)象進(jìn)行預(yù)測(cè)，其理論依據(jù)就是馬爾科夫鏈性質(zhì)所述：下一時(shí)段Ti+1的學(xué)生自主學(xué)習(xí)狀態(tài)與Ti時(shí)段以前的狀態(tài)無關(guān)，只考查當(dāng)前時(shí)段Ti的狀態(tài)情況，從而可求得預(yù)測(cè)結(jié)果。

由以上描述可以把預(yù)測(cè)模型的建立過程歸納概括為3個(gè)主要步驟：1)定義自主學(xué)習(xí)的初始狀態(tài)；2)求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣；3)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)誤差。具體實(shí)現(xiàn)操作：定義初始狀態(tài)時(shí)一次主選12項(xiàng)自主學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)指標(biāo)作為當(dāng)前初始狀態(tài)向量；通過優(yōu)化二次規(guī)劃模型求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，依狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測(cè)自主學(xué)習(xí)能力；利用模型要求，取實(shí)際考查數(shù)據(jù)與歷史預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行平均相對(duì)誤差檢驗(yàn)，從實(shí)際結(jié)果對(duì)比預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度，根據(jù)平均相對(duì)誤差檢驗(yàn)調(diào)整狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，當(dāng)誤差不滿足要求時(shí)，增大歷史調(diào)查樣本次數(shù)，然后再次求解轉(zhuǎn)移概率，一直進(jìn)行下去直至求得一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的誤差狀態(tài)。

建立的預(yù)測(cè)模型流程如圖1所示，預(yù)測(cè)過程詳細(xì)說明如下：

第1步定義自主學(xué)習(xí)初始狀態(tài)。

把自主學(xué)習(xí)能力影響因素(Influencing Factors)定義為IF，把策略(Strategy)記為ST，把動(dòng)機(jī)(Motivation)記為MT，則影響因素的集合為IF，IF={ST，MT}，其中:ST={GM,LH,LP,LS,LE,LM}，MT={SE,IG,LC,LEG,LSM,LA}。

圖1 大學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力預(yù)測(cè)過程

基于以上定義，把調(diào)查問卷(調(diào)查對(duì)象自主學(xué)習(xí)能力)各分項(xiàng)影響因素得分的量化值與問卷總分作比值后的占比集合如下式所示：

影響集合：S_IF={S_ST，S_MT}

其中，

策略項(xiàng)：S_ST={S_GM，S_LH，S_LS，S_LP，S_LE，S_LM}

動(dòng)機(jī)項(xiàng)：S_MT={S_SE，S_IG，S_LEG，S_LC，S_LSM，S_LA})

相應(yīng)地，設(shè)考察n個(gè)時(shí)段，共有n個(gè)數(shù)據(jù)狀態(tài)：{S1，S2，…,Si，…，Sn}，i為當(dāng)前第i(i

第2步計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

預(yù)測(cè)模型的建立需要把問題求解分成有限個(gè)狀態(tài)的集合，而狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的獲得過程是，由上一狀態(tài)轉(zhuǎn)為下一狀態(tài)的概率形成的矩陣，其中狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣是馬氏預(yù)測(cè)模型中最至關(guān)重要的一步[13]。對(duì)于時(shí)間狀態(tài)序列S={S1,S2,…,Sn}，每兩兩狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移過程如下：

Si→S1，Si→S2，…，Si→Si，Si→Sj，Si→Sn

假定經(jīng)歷k個(gè)時(shí)間點(diǎn)之后，當(dāng)前時(shí)間序列狀態(tài)為Si轉(zhuǎn)移狀態(tài)變?yōu)镾j，則條件概率在狀態(tài)轉(zhuǎn)換后可以用公式(1)表示：

(1)

當(dāng)k=1時(shí)，式(1)可寫為：

Pij=P{X(m+1)=Sj|X(m)=Si}, Si,Sj∈S

(2)

于是得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣如公式(3)所示：

S1S2… Sn

(3)

矩陣滿足：

Pij(n)≥0, i,j∈I

(4)

∑j∈IPij(n)=1, i∈I

(5)

據(jù)前所述，考查的下次自主學(xué)習(xí)狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，故而選擇一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣求解，對(duì)矩陣的求解使用二次規(guī)劃方法，下面簡述二次規(guī)劃法基本原理。

二次規(guī)劃是計(jì)算數(shù)學(xué)與運(yùn)籌學(xué)相交叉的一門學(xué)科，考慮二次規(guī)劃最優(yōu)化問題[14]：

(6)

其中，f(x)是目標(biāo)函數(shù)，gi(x)(i=1,2,3,…,k)是對(duì)不等式進(jìn)行約束，hj(x)(j=1,2,3,…,m)是對(duì)等式進(jìn)行約束，k和m是相應(yīng)的約束數(shù)量。

假設(shè)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)滿足：f:Rn→R,gi:Rn→R,hj:Rn→R，且f(x),gi,hj是在可行域任意一點(diǎn)x*上連續(xù)可微的，如果x*是一個(gè)局部極小值，則一定有一組常數(shù)λ≥0,ui≥0(i=1,2,3,…,m),vj≥0(j=1,2,3,…,l)，滿足公式(7)：

(7)

以下利用該方法求取一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣最優(yōu)解。

取自主學(xué)習(xí)的時(shí)間序列為Si(i=0,1,2，…，m)，一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P=(Puv)n×n，由于Si+1與SiP存在一定誤差，并不能始終保持一致，故本模型強(qiáng)調(diào)消除兩者之間的誤差平方和，建立優(yōu)化模型如公式(8)所示：

(8)

其中，Q=Si+1-SiP，此模型是二次規(guī)劃優(yōu)化模型。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣模型求解算法可通過C++或Matlab編譯實(shí)現(xiàn)。

第3步建立Markov鏈預(yù)測(cè)模型。

(9)

其中，Si可表示為：

Si=(S_SEi,S_IGi,S_LCi,S_LSMi,S_LEGi,S_LAi,S_GMi,S_LHi,S_LPi,S_LSi，S_LEi,S_LMi)

第4步自主學(xué)習(xí)能力預(yù)測(cè)誤差檢驗(yàn)。

如前所述建立的預(yù)測(cè)模型可以得出下次(后一段)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果，把它與實(shí)際調(diào)查數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，就可以判定誤差的大小(差異度)。設(shè)第i+1次的實(shí)際數(shù)據(jù)序列表示為：

Si+1=(S_SEi+1,S_IGi+1,S_LCi+1,S_LSMi+1,S_LEGi+1,S_LAi+1,S_GMi+1,S_LHi+1,S_LPi+1,S_LSi+1，S_LEi+1,S_LMi+1)

(10)

與其相對(duì)應(yīng)的Markov鏈模型預(yù)測(cè)后的預(yù)測(cè)值序列為：

(11)

進(jìn)而得到殘差數(shù)值序列：

ε=(ε(1),ε(2),…,ε(n))

(12)

(13)

當(dāng)k≤n時(shí)，得：

(14)

式(14)為模型在k點(diǎn)的相對(duì)預(yù)測(cè)誤差。

(15)

式(15)為平均預(yù)測(cè)相對(duì)誤差。

3 模型實(shí)現(xiàn)

實(shí)驗(yàn)選用MyEclipse IDE和Matlab對(duì)基于馬爾科夫鏈的大學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力預(yù)測(cè)模型進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。首先，采用二次規(guī)劃法求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；然后，在預(yù)測(cè)算法中打成jar包并將計(jì)算機(jī)程序封裝成一個(gè)函數(shù)；接下來，在MyEclipse中導(dǎo)入該jar包并使用Java代碼調(diào)用程序中的函數(shù)來實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)功能。

圖2展示了預(yù)測(cè)模型的具體實(shí)現(xiàn)流程。首先，載入自主學(xué)習(xí)的12項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)向量組，列出向量組的二次規(guī)劃模型表達(dá)式；然后，利用Matlab函數(shù)Fmincon求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣；接下來，定義自主學(xué)習(xí)12項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)初始向量，利用初始向量和上面求出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣求出12項(xiàng)指標(biāo)預(yù)測(cè)向量；最后，利用12項(xiàng)指標(biāo)的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值來計(jì)算平均相對(duì)誤差，判斷誤差是否在20%之內(nèi)，如果在則結(jié)束預(yù)測(cè)，否則增加歷史調(diào)查數(shù)據(jù)，繼續(xù)求解，直到達(dá)到一個(gè)誤差相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。

圖2 大學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力預(yù)測(cè)模型實(shí)現(xiàn)流程

4 案例分析

4.1 案例描述

以某校某同學(xué)的一年內(nèi)自主學(xué)習(xí)狀態(tài)評(píng)估指標(biāo)為例，經(jīng)過對(duì)往期考查數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的不斷調(diào)整，利用已有數(shù)據(jù)對(duì)下一次的自主學(xué)習(xí)狀況進(jìn)行預(yù)測(cè)分析實(shí)驗(yàn)，最終確定統(tǒng)計(jì)13次真實(shí)數(shù)據(jù)，其中前12次數(shù)據(jù)作為模型訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)，把第13次問卷調(diào)查數(shù)據(jù)作為實(shí)際數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比，計(jì)算出較小的相對(duì)平均誤差，利用Matlab仿真計(jì)算對(duì)模型公式進(jìn)行求解，給出預(yù)測(cè)過程實(shí)現(xiàn)及預(yù)測(cè)結(jié)果分析和等級(jí)評(píng)估。本案例所采用的數(shù)據(jù)是由課題組通過問卷調(diào)查取得，具體參見文獻(xiàn)[15]。

4.2 預(yù)測(cè)過程

如前所述，所統(tǒng)計(jì)的某學(xué)生自主學(xué)習(xí)的歷史數(shù)據(jù)信息12次，每個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)為數(shù)據(jù)問卷調(diào)查的單項(xiàng)得分與卷面總分的百分比，反映了該同學(xué)自主學(xué)習(xí)能力各指標(biāo)的總體分布情況。由于在第12次時(shí)該學(xué)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣基本處于平穩(wěn)狀態(tài)(即根據(jù)第11次數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)第12次能力狀態(tài)數(shù)據(jù)時(shí)，所得計(jì)算預(yù)測(cè)誤差為最小值，從而可求解出穩(wěn)定的概率矩陣)，前12次基本數(shù)據(jù)情況匯總后，如表1所示。

根據(jù)表1提供的自主學(xué)習(xí)實(shí)際數(shù)據(jù)，應(yīng)用公式(9)進(jìn)行求解，可求出轉(zhuǎn)移概率矩陣P。將表1中的最后一行即第12次的狀態(tài)序列作為初始狀態(tài)，使用S′(1)=S(0)P來預(yù)測(cè)第13次的自主學(xué)習(xí)能力，結(jié)果如表2所示。

表1 前12次自主學(xué)習(xí)的實(shí)際值

次數(shù)自我效能內(nèi)在目標(biāo)學(xué)習(xí)控制學(xué)習(xí)意義外在目標(biāo)學(xué)習(xí)焦慮一般方法學(xué)習(xí)求助學(xué)習(xí)計(jì)劃安排學(xué)習(xí)總結(jié)學(xué)習(xí)評(píng)估學(xué)習(xí)管理10.220.350.430.200.190.160.560.140.280.250.180.1620.200.370.450.210.230.200.580.160.300.220.150.1230.150.330.400.150.160.130.500.100.220.220.150.1340.170.340.410.160.170.140.510.120.230.230.160.1550.200.360.440.250.150.120.530.100.250.220.120.1460.270.300.460.200.250.300.600.220.330.300.230.2070.250.280.440.180.230.280.580.200.310.290.210.1780.220.260.420.160.210.260.560.180.280.250.190.1590.200.240.400.140.190.230.520.160.240.230.170.13100.240.260.430.180.230.240.540.170.290.270.200.16110.250.320.460.240.230.270.600.200.170.200.220.20120.190.290.460.270.220.170.570.210.250.220.200.13

表2 第13次的自主學(xué)習(xí)能力預(yù)測(cè)值

情況說明自我效能內(nèi)在目標(biāo)學(xué)習(xí)控制學(xué)習(xí)意義外在目標(biāo)學(xué)習(xí)焦慮一般方法學(xué)習(xí)求助學(xué)習(xí)計(jì)劃安排學(xué)習(xí)總結(jié)學(xué)習(xí)評(píng)估學(xué)習(xí)管理預(yù)測(cè)值0.200.370.480.260.270.220.530.160.280.280.170.19實(shí)際值0.180.410.460.240.290.260.480.170.300.260.190.17

4.3 預(yù)測(cè)誤差分析

對(duì)該學(xué)生的能力狀態(tài)實(shí)際情況和預(yù)測(cè)情況進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖3所示。

圖3 預(yù)測(cè)值和實(shí)際值對(duì)比

利用公式(15)進(jìn)行求解、計(jì)算平均相對(duì)誤差，得出相對(duì)誤差結(jié)果為8%，遠(yuǎn)小于閾值，因此符合檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。

5 結(jié)束語

經(jīng)分析研究提出大學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力預(yù)測(cè)模型，通過實(shí)踐檢驗(yàn)并結(jié)合預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)的比較分析，采用直觀圖表方式的結(jié)果對(duì)比，表明其能夠預(yù)測(cè)和反映自主學(xué)習(xí)能力的客觀情況。建立的數(shù)學(xué)模型描述精確，預(yù)測(cè)結(jié)果穩(wěn)定、高效。所提供的算法平臺(tái)能夠應(yīng)用于大學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力全程預(yù)測(cè)，分析結(jié)果有助于發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)能力之不足和缺陷，從而及時(shí)調(diào)整自我狀態(tài)、保持高效的自主學(xué)習(xí)能力，因此算法模型可應(yīng)用到知識(shí)學(xué)習(xí)類軟件的開發(fā)當(dāng)中。

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