董 雪，張德平

(南京航空航天大學計算機科學與技術學院，江蘇 南京 210016)

0 引 言

作戰(zhàn)效能是指武器裝備系統(tǒng)在作戰(zhàn)中發(fā)揮作用的有效程度[1]，是衡量武器價值的重要指標。在有限的預算和時間內提升武器的作戰(zhàn)效能，是武器裝備發(fā)展的重點。作戰(zhàn)效能是多指標綜合作用的結果，由于預算和時間的限制，提高武器作戰(zhàn)效能最有效的途徑是找到對武器作戰(zhàn)效能影響較大的影響因素，即對武器作戰(zhàn)效能指標進行敏感性分析與篩選，進而找到與其相關聯(lián)的作戰(zhàn)設備，進行功能的完善與提高，從而提高作戰(zhàn)武器的整體作戰(zhàn)效能。

敏感性分析分為局部敏感性分析和全局敏感性分析[2]。局部敏感性分析通過改變模型中某個參數(shù)的取值，同時固定其他參數(shù)的取值，來探索模型響應的變化。但是局部敏感性分析不能計算變量間的交互作用對輸出結果的影響?；诖?，克服這些問題的全局敏感性分析得到廣泛應用。全局敏感性分析[3-4]方法包括回歸分析法、傅里葉振幅敏感性檢驗法、響應曲面法、互信息指數(shù)法、Sobol指數(shù)法等，其中Sobol指數(shù)法綜合性能更好。

全局敏感性分析方法多用于氣候、動力學方向的研究，Nossent等人[5]為評估復雜環(huán)境模型中參數(shù)的重要度，采用Sobol指數(shù)全局敏感性分析，產生復雜環(huán)境模型參數(shù)使用的關鍵信息。Zhang等人[6]使用基于方差的Sobol靈敏度分析，以中國河流流域為例，分析了干旱、正常、潮濕年份SWAT中參數(shù)的敏感性，從分析獲得的結果中，加深了對土壤水分評估工具(SWAT)中敏感性參數(shù)的理解及不同指標和氣候條件下的潛在水文過程。Mathieu等人[7]則將Sobol指數(shù)法應用在簡化功能性結構植物模型中的參數(shù)，用于增強冬季油菜生長的研究。

傳統(tǒng)Sobol指數(shù)敏感性分析采用蒙特卡洛方法計算敏感系數(shù)，需要大量的數(shù)據(jù)樣本。如果只單純依靠原復雜模型生成這些樣本，計算成本過高。為此，可以采用代理模型替代原模型生成樣本，節(jié)省計算時間，降低計算成本。目前，很多學者對代理模型進行了相關研究。Zhan等人[8]將多變量選擇適應回歸樣條(MARS)作為分布式時變增益模型(DTVGM)的代理模型，進行參數(shù)敏感性分析?？追舱艿热薣9]將支持向量回歸(SVR)引入水文模型構建代理模型，快速有效地定量評估參數(shù)敏感性，識別水文模型的關鍵參數(shù)。Luo等人[10]分別用徑向基人工神經(jīng)網(wǎng)絡(RBFANN)與Kriging模型作為代理函數(shù)，在三氯乙烯(TCE)污染含水層上進行Sobol敏感性分析，以評估水井的修復時間、表面活性劑濃度和注射速率等設計變量對修復效率的敏感性。

當前基于代理模型的Sobol指數(shù)全局敏感性分析方法仍存在以下幾個問題:1)代理模型存在擬合時間緩慢、擬合精度不高的問題。2)實驗樣本質量問題，首先是生成代理模型，需要大量的訓練樣本進行訓練才能達到預訂擬合精度；其次是Sobol指數(shù)法敏感系數(shù)的計算，傳統(tǒng)蒙特卡洛抽樣方法，收斂速度慢，計算量大。為此，本文針對第一個問題，引入擬合精度高、學習速度快的極限學習機[11]作為代理模型，構建一種基于極限學習機的全局靈敏度分析模型，并將該模型應用到武器裝備作戰(zhàn)效能的靈敏度分析。針對第二個問題，為減少代理模型所需樣本數(shù)量，選擇采樣質量高的拉丁超立方體采樣方法，提高擬合精度；同時為提高Sobol指數(shù)法計算效率，引入低差異、分布均勻的擬蒙特卡洛抽樣方法代替蒙特卡洛抽樣方法，減少抽樣次數(shù)，提高收斂速度，降低計算成本。

1 基本方法與模型

1.1 作戰(zhàn)效能評估模型

武器作戰(zhàn)效能評估方法[12]繁多，主要包括試驗統(tǒng)計法、解析法、作戰(zhàn)模擬法和多指標綜合評估法等。其中，解析法中的ADC模型[13]是美國工業(yè)界武器系統(tǒng)效能咨詢委員會為美國空軍而建立的，其評估模型為：

E(t)=A×D×C

(1)

其中，A=[a1,a2,a3,…,an]為系統(tǒng)的可用性向量，表示系統(tǒng)開始執(zhí)行任務瞬間處于不同狀態(tài)的概率。ai為開始執(zhí)行任務時處于i狀態(tài)的概率；D=(dij)n×n為可信性矩陣，dij表示開始瞬間系統(tǒng)處于i狀態(tài)而在使用過程中轉移到j狀態(tài)的概率；C=(cjk)n×m為系統(tǒng)的能力矩陣，cjk表示在最后的可能狀態(tài)j中達到的第k項效能指標值。利用ADC模型，能夠合理地評估潛艇的作戰(zhàn)效能，但是模型參數(shù)較多，計算復雜。

1.2 基于極限學習機的代理模型

代理模型可以對一組輸入輸出數(shù)據(jù)之間的關系用具體的數(shù)學表達式或數(shù)學模型表示。為精確擬合輸入輸出變量之間的關系，提高計算效率，本文引入極限學習機(ELM)作為代理模型，代替復雜的效能評估模型。ELM是一種單隱層的神經(jīng)網(wǎng)絡算法，ELM可以隨機初始化輸入權重和偏置并得到相應的輸出權重。

假設有N個不同樣本的訓練集{(xi,oi)|xi∈Rn,ti∈Rm,i=1,…,N}，其中輸入樣本xi=(xi1,xi2,…,xin)T，真實值oi。假設隱藏層含有K個節(jié)點，極限學習機[14]可以表示為：

(2)

式(2)中，xj為第j個樣本輸入；βi是第i個隱層節(jié)點與輸出節(jié)點的輸出權重；g(x)是隱層激活函數(shù)；ωi=(ωi1,ωi2,…,ωin)是第i隱層節(jié)點與輸入節(jié)點之間的權重；bi是第i個隱層單元的偏置；tj為模型輸出值。該網(wǎng)絡模型可以用矩陣形式表示：

Hβ=T

(3)

其中，H是隱藏層節(jié)點輸出矩陣：

H(ω1,…,ωL,b1,…,bL,x1,…,xL)=

該方法的學習目標是尋找最優(yōu)權值，使得輸出的誤差最小。數(shù)學模型可表示為：

(4)

式(4)中，e表示模型輸出值與真實值之間的誤差，ej是第j個樣本的模型輸出值與真實值之間的誤差。

單隱層的神經(jīng)網(wǎng)絡可以轉化為求解一個線性模型的問題。由此確定輸出權重：

(5)

1.3 實驗設計

實驗設計方法有很多，常見的經(jīng)典采樣法[15]有中心復合實驗、全因子設計實驗、正交設計實驗等。這些采樣方法，在多變量情況下，需要大量采樣點才能獲得可靠實驗結果，計算成本高。拉丁超立方體采樣法[16]采用等概率隨機正交分布的原則，樣本點的個數(shù)可以靈活設定，適用于多變量問題。所以本文在構建代理模型時，采用拉丁超立方體采樣方法生成訓練樣本的輸入變量集。拉丁超立方體采樣點生成策略如下：

Sobol指數(shù)法敏感系數(shù)的計算，傳統(tǒng)方法是通過蒙特卡洛抽樣[17]實現(xiàn)，需要大量的實驗樣本，收斂速度慢，計算時間長。為有效減少試驗次數(shù)，提高計算準確性，采用低差異、分布均勻的擬蒙特卡洛方法。常見的擬蒙特卡洛采樣方法有Halton序列、Hammersley序列、Sobol序列等。其中Sobol序列分布均勻且不受樣本數(shù)量限制，可替代蒙特卡洛抽樣進行敏感性分析[18-20]。Sobol序列采樣點生成策略如下：

Sobol序列是基于一組直接數(shù)di構造的隨機序列，設qi是小于2i的正奇數(shù)，則di=qi/2i。

di以及qi的生成需要借助系數(shù)只為0或1的簡單多項式，可表示為：

f(x)=xp+a1xp-1+…+ap-1x+ap

(6)

式(6)中，p為多項式的度數(shù)，a1,a2,…,ap為多項式系數(shù)。對于i>p，由遞推公式求得di：

di=a1di-1⊕a2di-2⊕…⊕apdi-p⊕?di-p/2p」

(7)

式(7)中，⊕表示二進制按位異或。對于qi，遞推公式為：

qi=2a1qi-1⊕22a2qi-2⊕…⊕2papqi-p⊕qi-p

(8)

綜合以上推理，可以利用公式(9)生成Sobol序列x1,x2,x3,…

xn=b1d1⊕b2d2⊕…

(9)

式(9)中，bi是n的二進制形式。

1.4 全局敏感度分析模型

Sobol指數(shù)法是由俄羅斯學者Sobol[21]提出，并以他的名字命名的一種基于方差分解的全局敏感性分析方法。其核心思想是方差分解，把模型以單參數(shù)及參數(shù)之間組合的方式表示，通過計算單個輸入?yún)?shù)或輸入?yún)?shù)集的方差對總輸出方差的影響來分析參數(shù)的重要性以及參數(shù)之間的交互效應。

假設數(shù)學模型為Y=f(X)，平方可積，分解為單個模型參數(shù)及參數(shù)之間相互作用的子項函數(shù)之和：

(10)

其中，X=(x1,x2,…,xn)，xi屬于n維單位立方體Hn，式(10)中一共含有2n個子項。如式(10)滿足：

(11)

(12)

公式(10)兩邊對除xi以外的其他各項求積分得到：

(13)

公式(10)兩邊對除xi、xj以外的其他各項求積分可得：

(14)

以此類推，可以得到公式(10)中等式右邊的各個分解函數(shù)。

基于以上條件，Sobol指數(shù)敏感性分析方法定義了偏方差和總方差，并通過偏方差占總方差的比率來表示模型參數(shù)及其交互作用對目標響應的影響程度，其中模型f(X)的總方差為：

(15)

各子項的偏方差Di1,i2,…,is為：

(16)

變量的敏感性指數(shù)Si1,i2,…,is為：

(17)

式(17)中，Si∈(0,1)表示參數(shù)xi的一階敏感性指數(shù)，描述了參數(shù)xi對輸出的貢獻度。參數(shù)的一階敏感性指數(shù)越大，它對輸出值的影響越大。為描述參數(shù)的整體影響，即參數(shù)的一階敏感性影響及其與其他所有參數(shù)的交互影響對輸出值的貢獻度，引入了參數(shù)總敏感性影響指數(shù)[22]STi，總敏感性指數(shù)包含了變量之間的交互效應。若一個輸入變量的全效應指數(shù)很小，表明該變量的變化不僅對輸出影響小，而且與其他變量之間的交互效應也很小。因此，可以考慮對全效應指數(shù)小的變量取固定值，減少可變變量個數(shù)，從而簡化模型。

根據(jù)文獻[22]，上述一階敏感性指數(shù)可用公式(18)計算：

(18)

總敏感性指數(shù)：

(19)

2 武器裝備作戰(zhàn)效能敏感性分析

為解決基于ADC模型的作戰(zhàn)效能評估存在的計算成本高、計算時間長的問題，本文提出基于極限學習機的武器裝備作戰(zhàn)效能全局敏感性分析模型，目的是找到影響作戰(zhàn)效能的關鍵指標，進行功能完善與提高。模型計算流程如下：

算法1基于極限學習機的Sobol指數(shù)法

Step1明確作戰(zhàn)任務，構建指標體系。

Step2采樣設計，生成訓練樣本輸入集，輸入原效能模型，計算并輸出訓練樣本結果集。

Step3訓練樣本集歸一化處理。

Step4輸入訓練樣本集，構建代理模型。

Step5采樣設計，生成計算樣本輸入集并歸一化，運行代理模型，輸出計算樣本結果集。

Step6計算樣本集反歸一化處理，利用Sobol指數(shù)敏感性分析，篩選敏感指標。

Step7根據(jù)敏感指標找到對應作戰(zhàn)武器裝備，對其進行功能優(yōu)化。

算法1各步驟說明如下：

Step1針對潛艇具體作戰(zhàn)任務，構建潛艇作戰(zhàn)效能評估模型及其指標體系，效能評估模型為ADC模型。

Step2確定各指標的取值范圍，采用拉丁超立方體采樣方法生成N組訓練樣本輸入變量，通過公式(1)計算出相應的效能值，得到N組訓練樣本集。

Step3進行樣本預處理，對效能指標進行無量綱化處理，將樣本值歸一化到[0，1]。歸一化公式為：

(20)

Step4生成代理模型，利用生成的訓練樣本集代入公式(4)訓練極限學習機，擬合精度達到預先設定值，訓練結束。代理模型擬合優(yōu)度用均方誤差(MES)和平均絕對誤差(MAE)來衡量，值越小，預測結果越好。其中yi表示真實值，yi′為預測值，n為樣本個數(shù)。

均方誤差計算公式：

(21)

平均絕對誤差計算公式：

(22)

Step5進行敏感性分析，利用擬蒙特卡洛方法中的Sobol序列，根據(jù)公式(6)～公式(9)生成計算樣本輸入集，由公式(20)歸一化，通過代理模型計算效能值，生成計算樣本集，進行反歸一化處理，得到敏感性分析數(shù)據(jù)。

Step6根據(jù)公式(18)～公式(19)計算每個指標的一階敏感性系數(shù)及總體敏感性系數(shù)。

Step7篩選出影響武器裝備作戰(zhàn)效能的敏感性指標，找到該指標對應的性能指標，進而得到影響武器效能的關鍵裝備。

3 實例分析

本章包含2個實驗，實例1為潛艇攻擊海面艦艇的實例，將極限學習機作為代理模型進行敏感性分析，并與BP代理模型、SVR代理模型對比，證明方法的可行性和有效性。實例2為方法的應用，將本文提出的方法應用到新的案例中，驗證方法的可用性。

3.1 實例1

實例1將潛艇作戰(zhàn)系統(tǒng)劃分為潛艇平臺系統(tǒng)和武器系統(tǒng)這2部分，每個系統(tǒng)的初始狀態(tài)分為故障和正常2種。本例構建潛艇作戰(zhàn)能力評估指標如圖1所示。

圖1 潛艇作戰(zhàn)效能評估指標

潛艇效能評估ADC模型中，能力矩陣C是各指標綜合計算的結果，本例以潛艇各系統(tǒng)正常狀態(tài)工作下的作戰(zhàn)效能為例進行敏感性分析。由于效能指標多，本實驗選取火力打擊能力為敏感性分析的目標，其中，武器類型取值為離散型數(shù)值，分別為1、2、3，對應3種不同的武器類型。剩余5個子指標，如表1所示。根據(jù)每個指標的屬性，確定取值范圍。

表1 火力打擊能力子指標

指標取值范圍最小值最大值發(fā)射速度/(km·h-1)50120射程距離/km60110制導精度/°140武器數(shù)量/個310毀傷半徑/m1050

實驗采用基于拉丁超立方體采樣的ELM代理模型(L-ELM)、BP代理模型(L-BP)、SVR代理模型(L-SVR)進行對比試驗。隱層神經(jīng)元個數(shù)為20，激活函數(shù)設置為sigmoid函數(shù)。訓練樣本選取樣本集的90%，測試樣本為樣本集的10%。樣本集設定為300個，分別運行3種代理模型。

表2 實例1代理模型實驗結果與真實值對比

衡量指標模型名稱L-ELML-BPL-SVRMSE0.0030.0100.020MAE0.0420.0660.135

由表2可知，3種代理模型分別對測試樣本運算，結果與真實結果相比，其中L-ELM模型的MSE值、MAE值最小，說明L-ELM代理模型的擬合度最優(yōu)。

圖2為3種代理模型測試樣本值與真實樣本值擬合效果圖。ADC曲線為真實效能值，從圖中可以看出，L-ELM代理模型擬合效果優(yōu)于L-BP模型、L-SVR模型，擬合效果最好。

圖2 代理模型與真實模型效能值對比

圖3為3種代理模型計算不同樣本數(shù)量所用的時間，樣本數(shù)量取[10，100，1000，10000，100000]進行測試，當樣本數(shù)量超過10000時，L-BP模型與L-SVR模型運行時間變慢，L-ELM模型速度保持基本不變。

潛艇效能敏感性分析，設置3組對比試驗與真實敏感系數(shù)進行對比，抽樣方法為低差異的Sobol序列，設置樣本數(shù)為10000。對比試驗為：1)基于L-BP模型的敏感性分析；2)基于L-ELM模型的敏感性分析；3)基于L-SVR模型的敏感性分析。實驗結果如表3所示。

圖3 測試時間對比圖

表3 火力打擊能力指標敏感系數(shù)

模型名稱S1S2S3S4S5S6真實值0.0910.0450.4830.00013.95e-050.234L-ELM0.0850.0480.5160.00040.00020.245L-BP0.0690.0430.4830.02430.00430.188L-SVR0.0660.0380.6290.0009-2.28e-050.231

由表3可知，基于L-ELM模型計算的敏感性系數(shù)整體與真實的敏感性系數(shù)非常接近且穩(wěn)定，而基于L-BP模型與L-SVR模型計算的敏感性系數(shù)不穩(wěn)定，有些與真實值非常接近，如L-BP模型中敏感系數(shù)S3，L-SVR模型中S6與真實值非常接近，但有些偏離過大，如L-BP模型中S4、S5，L-SVR模型中S1、S3。

表4為火力打擊能力指標的總敏感系數(shù)，可以看出，基于L-ELM代理模型計算得到的總敏感系數(shù)與真實值更接近，整體效果較好，而基于L-BP模型、L-SVR模型計算得到的總敏感系數(shù)與真實值差別較大，尤其是St4和St5與真實值差別明顯。

表4 火力打擊能力指標總敏感系數(shù)

模型名稱St1St2St3St4St5St6真實值0.13910.07300.60043.09e-059.70e-050.3346L-ELM0.11430.08190.59320.00790.00650.2999L-BP0.14940.10940.57710.11790.08750.2770L-SVR0.07790.04440.65600.00380.00250.2500

根據(jù)表3敏感系數(shù)Si從大到小排序S3>S6>S1>S2>S4>S5，得到影響火力打擊能力的指標從強到弱依次為制導精度、毀傷半徑、發(fā)射速度、射程距離、武器類型、武器數(shù)量。根據(jù)表4總敏感系數(shù)Sti從大到小排序St3>St6>St1>St2>St5>St4，得到火力打擊能力指標間相互影響程度從強到弱依次為制導精度、毀傷半徑、發(fā)射速度、射程距離、武器數(shù)量、武器類型。分析發(fā)現(xiàn)，制導精度、毀傷半徑、發(fā)射速度是火力打擊能力的關鍵因素，可以通過提高其相應的設備來提高火力打擊能力。而射程距離、武器數(shù)量、武器類型自身的變化對效能值的影響較小，且對其他效能指標影響較小，所以在效能優(yōu)化中，其值可以設定為固定值，減少計算成本及計算時間。

3.2 實例2

潛艇裝備防空導彈對于空中威脅目標是十分必要的，在潛艇對空作戰(zhàn)中，根據(jù)防空導彈裝備體系的構成，作戰(zhàn)能力劃分為戰(zhàn)場感知能力、指揮控制能力、火力打擊能力，防空導彈效能值計算所需指標及取值范圍如表5所示。

表5 防空導彈武器作戰(zhàn)指標

指標名稱最小值最大值雷達平均發(fā)射功率/kw410脈沖寬度/μs15脈沖重復頻率/Hz5001000雷達電磁波長/cm3.757.5雷達天線增益/dBi1020雷達目標截面積/m215距離/km20004000接收機帶寬/MHz30500接收機等效噪聲系數(shù)12決策時間/min410戰(zhàn)斗準備時間/min68目標停留時間/min25制導精度/m50200殺傷半徑/m100200

訓練樣本集設為1000，通過拉丁超立方體取樣，將3種代理模型與真實模型仿真結果進行對比，結果如表6所示。由表6可知，L-EML模型計算結果與真實結果更加相近，擬合效果優(yōu)于L-BP，L-SVR模型。

表6 實例2代理模型實驗結果與真實值對比

評價指標模型名稱L-ELML-BPL-SVRMSE0.00680.01070.0133MAE0.06350.08400.0981

防空導彈作戰(zhàn)效能指標一階敏感性分析結果、總敏感性分析結果分別如圖4、圖5所示。

圖4 防空導彈作戰(zhàn)效能指標一階敏感性分析結果

圖5 防空導彈作戰(zhàn)效能指標總敏感性分析結果

從圖4可以看出，影響防空導彈作戰(zhàn)效能的指標敏感系數(shù)最大為雷達目標截面積S7，最小為決策時間S10、戰(zhàn)斗準備時間S11。根據(jù)圖4和圖5分析對比，可以將總敏感系數(shù)小的指標設置為常數(shù)，表示它們的變化與其他指標間的相互影響較小，如決策時間St10、戰(zhàn)斗準備時間St11、目標停留時間St3等，而雷達目標截面積S6、敵我距離S7、雷達電磁波長指標一階敏感性指數(shù)與總敏感指數(shù)都很高，對提高防空導彈的效能影響較大，可以針對性地改進雷達中與其相關的裝置，提高作戰(zhàn)效能。

4 結束語

為提高武器裝備的作戰(zhàn)效能，通過全局敏感性分析找到影響作戰(zhàn)效能的關鍵指標，引入ELM學習機可有效解決效能評估模型及仿真計算模型中計算成本高、時間長的問題。將本文方法與BP神經(jīng)網(wǎng)、SVR支持向量回歸模型進行對比，在計算精度相同的前提下，本文方法可節(jié)省大量計算時間。通過實例分析，基于ELM的全局敏感性分析方法分析得到的敏感系數(shù)合理，同時通過與真實結果的比對，驗證了本方法的可行性，并且在樣本數(shù)量極大的情況下，基于ELM的全局敏感性分析方法的時間消耗與其他算法相比，有明顯的降低，使得在有限時間和預算內提升潛艇作戰(zhàn)效能評估成為可能。

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