陳夢成，謝 力，劉 超，陳娜茹

(1.南昌大學 建筑工程學院，江西 南昌 330031;2.華東交通大學 土木建筑學院，江西 南昌 330013)

隨著建筑物高層化、大規(guī)模化，火災造成的損失也不斷增大，對結(jié)構(gòu)進行抗火設計具有重要意義。在高溫下，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)發(fā)生復雜的物理化學變化，致使結(jié)構(gòu)發(fā)生顯著變形。溫度場分布不僅是力學性能分析的前提，也是火災后修復加固的依據(jù)。由于材料的熱工性能參數(shù)是隨著溫度-時間曲線的變化而變化的，因此鋼筋混凝土構(gòu)件截面的導熱問題是一個非線性瞬態(tài)問題。目前國內(nèi)外學者主要采用有限差分法和有限元法解決受火鋼筋混凝土溫度場計算問題。文獻[1]采用對角線網(wǎng)格法給出了二維溫度場的差分格式。文獻[2]利用有限單元法編制了高溫下鋼筋混凝土異形柱的溫度場分析程序。文獻[3]利用有限單元-差分混合分析法對二維溫度場進行了分析計算。文獻[4]對三面受火鋼筋混凝土柱進行了溫度場以及力學性能試驗研究。文獻[5]分別對一面、兩面、三面受火的簡支梁進行了抗火性能試驗研究。

近年來，元胞自動機已成功應用于模擬混凝土結(jié)構(gòu)耐久性分析中涉及的擴散過程[6]，在建筑物耐火性分析中的溫度場模擬也取得了一定成果[7]。本文基于元胞自動機理論，通過引入高溫下混凝土的熱工性能參數(shù)，建立鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的元胞自動機傳熱模型，分析與討論不同受火方式及時間對鋼筋混凝土梁截面內(nèi)溫度分布的影響。鋼筋混凝土是一種各向異性、非均質(zhì)的復合材料。在實際中，當構(gòu)件的尺寸大于骨料粒徑的4倍，一般可假定混凝土是各向同性材料，而鋼筋在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中所占體積很小，且鋼材的傳導系數(shù)值很大，在計算構(gòu)件截面的溫度場時可以忽略鋼筋的“貢獻”[8]。在元胞自動機理論中，可用鋼筋位置的混凝土元胞溫度代替鋼筋的溫度。

1 高溫下混凝土的熱工性能

1.1 混凝土的導熱系數(shù)

導熱系數(shù)λ采用文獻[9]建議的隨溫度T(20 ℃≤T≤1 200 ℃)變化的公式，按上下限分為：

導熱系數(shù)上限

(1)

導熱系數(shù)下限

(2)

1.2 熱輻射系數(shù)

根據(jù)Stefan-Boltzmann定律[10]，熱輻射系數(shù)為b=σnεrφ。其中史蒂芬-玻爾茲曼常數(shù)σn=5.67×10-8W/(m2K4);εr為綜合輻射系數(shù)，εr=εfεm，εf為與受火構(gòu)件有關(guān)的輻射系數(shù)，一般取0.8,εm為與受火構(gòu)件表面特性有關(guān)的系數(shù)，一般取0.625；φ為視角因子,一般取1。在輻射率較高時可取εr=0.7,較低時可取εr=0.3,當為理想輻射體或黑體時εr=1，一般取εr=0.5。

1.3 表面對流換熱系數(shù)

混凝土表面和火源之間的傳熱主要受空氣流動速度的影響，采用對流換熱系數(shù)h描述，參照文獻[11]，取h=25 W/(m2K)。

1.4 混凝土的質(zhì)量熱容

根據(jù)文獻[9]建議的質(zhì)量熱容公式，含水率僅影響溫度在100～200 ℃之間的質(zhì)量熱容。含水率為1.5%時，在100～115 ℃達到峰值 1 470 J/(kg·K)，在115～200 ℃ 線性下降至 1 000 J/(kg·K)。而含水率為0%時，從100 ℃的900 J/(kg·K)線性增大至200 ℃的 1 000 J/(kg·K)。含水率為0時的質(zhì)量熱容c為

(3)

1.5 混凝土的質(zhì)量密度

在升溫過程中，水分會隨著溫度的升高而損失，混凝土質(zhì)量密度ρ有所下降，取溫度T=20 ℃時，ρ20 ℃=2 300 kg/m3，采用文獻[9]建議的表達式:

(4)

1.6 時間-溫度曲線

為了模擬現(xiàn)場火災的發(fā)展情況，ISO國際標準組織制定了一條理想化的理論試驗曲線，稱為標準時間-溫度曲線[12]。本文除特別申明之處均采用該曲線模擬火災的升溫情況。

T=T0+345lg(8t+1)

(5)

式中：T0為室溫，一般取20 ℃；t為升溫時間,min；T為升溫tmin后的溫度,℃。

2 元胞自動機與熱擴散

2.1 元胞自動機定義

(6)

式中:φ為元胞自動機的演化規(guī)則;r為元胞鄰居半徑。

由此可見，元胞鄰居的合理選擇直接影響到演化規(guī)則的有效性。圖1給出了一些典型的一維和二維常用元胞鄰居模式，當然還有很多其他更復雜的元胞鄰居模式。一般來說，元胞鄰居模式越復雜，演化規(guī)則的確定就越困難。

圖1 元胞自動機元胞鄰居模式

2.2 元胞自動機與熱擴散關(guān)系

一般情況下任何滿足微分方程的物理系統(tǒng)均可以由一個元胞自動機來描述。傳熱過程也可以用一個元胞自動機描述。本文擬采用二維馮諾依曼型的元胞自動機描述熱擴散過程，其元胞鄰居半徑r為1，元胞自動機演化規(guī)則如下

(7)

(8)

根據(jù)傳熱理論[10],對一個大小為Δx的元胞自動機來說，在時間步長Δt內(nèi)，有

(9)

(10)

(11)

(12)

其中

(13)

式中：D為熱擴散系數(shù)，D=λ/cρ。

基于連續(xù)性原理，中心元胞的自身演化系數(shù)為

(14)

其中

(15)

當元胞鄰居為一個輻射源時

(16)

當元胞鄰居為一個非輻射源時Δφ=0。

為了確保計算結(jié)果滿足精度要求，元胞尺寸Δx和時間步長Δt的選取必須滿足某種穩(wěn)定的平衡關(guān)系。在熱擴散介質(zhì)為各向同性且為均質(zhì)的情況下，初始狀態(tài)時的演化系數(shù)與元胞大小、時間步長以及熱擴散系數(shù)存在初始平衡關(guān)系[13]為

(17)

3 熱傳導方程的元胞自動機求解

3.1 熱傳導方程

根據(jù)能量原理，一個質(zhì)量密度為ρ的微元體dxdydz，忽略微元體內(nèi)部自身發(fā)熱，在單位時間內(nèi)從其表面流入(或流出)的熱量，必等于微體溫度升高所吸收(或溫度降低時放出)的熱量，即可建立熱傳導方程[14]如下

(18)

式中:T為微元體的溫度；c為微元體的質(zhì)量熱容；λ為微元體的導熱系數(shù)；ρ為微元體的質(zhì)量密度。

若桿系結(jié)構(gòu)沿構(gòu)件軸線的溫度相同，式(18)可進一步簡化為二維熱傳導方程，即

(19)

在微小升溫時間段內(nèi)，假定傳熱介質(zhì)為均質(zhì)各向同性材料(構(gòu)件尺寸遠大于骨料粒徑，且在忽略鋼筋影響的情況下，混凝土可視為均質(zhì)各向同性材料[8])，則此時λ，c,ρ為常量，因此，式(18)進一步簡化為

(20)

3.2 元胞自動機求解

(21)

式中,φl是局部演化系數(shù)，且0≤φl<1。

(22)

式中:Δt為元胞自動機進行局部演化規(guī)則的時間差；ΔXl為中心元胞與元胞鄰居之間的距離。

根據(jù)傳熱學原理和熱量守恒定律有

(23)

(24)

將式(24)代入式(23),有

(25)

比較式(25)和式(22)可知

(26)

假定所有元胞形狀為大小相等的正方形，即ΔXl=al=δ,A0=δ·δ=δ2,則

(27)

將式(27)代入式(22)，并注意到δ=Δx=Δy，則方程可改寫為

[T(x,y,t+Δt)-T(x,y,t)]/Δt=

-D·{[T(x,y,t)-T(x-Δx,y,t)]/Δx-

[T(x+Δx,y,t)-T(x,y,t)]/Δx}/Δx- (28)

D·{[T(x,y,t)-T(x,y-Δy,t)]/Δy-

[T(x,y+Δy,t)-T(x,y,t)/Δy]}/Δy

當Δx→0，Δy→0，Δt→0時有

比較式(29)、式(20)可知，CA可復原熱傳導方程。

4 CA模型應用

本節(jié)首先應用元胞自動機模型對現(xiàn)有2個火災下鋼筋混凝土構(gòu)件試驗進行驗算，再就鋼筋混凝土構(gòu)件側(cè)面4種不同受火方式對溫度場分布影響進行分析計算與討論。

4.1 試驗驗證

4.1.1 基準示例1

文獻[3]對鋼筋混凝土矩形梁三面受火情況進行了試驗研究。矩形梁截面尺寸為200 mm×300 mm,受火時間為120 min，熱電偶沿矩形梁截面豎向?qū)ΨQ軸之上進行布置，分別在距梁底面25,75,150 mm 處，如圖2所示。在使用元胞自動機模型數(shù)值計算過程中，單個元胞尺寸取Δx=5 mm，時間步長Δt=0.07 min，b=0.7σn，h=25 W/(m2·K)，導熱系數(shù)采用上限由式(1)得到，含水率為0時的混凝土質(zhì)量熱容、混凝土質(zhì)量密度和時間-溫度曲線分別采用方程式(3)—式(5)。如圖2中各點處升溫曲線的元胞自動機模型進行計算結(jié)果參見圖3，圖3同時給出了文獻[3]的試驗結(jié)果，可以看出，兩者吻合程度良好；圖中兩者之間有些誤差的主要原因可能是CA計算所取的導熱系數(shù)、質(zhì)量熱容與實際值有所偏差所致 。

圖2 實測點位置(單位:mm)圖3 溫度分布

4.1.2 基準示例2

2002年，胡海濤對三面受火的高強度混凝土壓彎構(gòu)件進行了試驗研究[15]。構(gòu)件截面尺寸為150 mm×200 mm，熱電偶位置分布如圖4所示。在利用元胞自動機CA模型對該試件溫度場進行數(shù)值分析的過程中，取元胞尺寸Δx=1.874 mm，時間步長Δt=0.01 min，b=0.5σn，h=25 W/(m2·K),導熱系數(shù)采用下限，由式(2)計算得到，含水率為1.5%的混凝土質(zhì)量熱容和混凝土質(zhì)量密度采用文獻[9]建議的表達式，分別參見本文式(3)和式(4)，混凝土的溫控曲線采用文獻[15]試驗爐實測數(shù)據(jù)擬合出的升溫曲線T=20+425.79lg(0.041t+1.056)，其中T為升溫tmin后的溫度。三面受火的高強混凝土壓彎構(gòu)件內(nèi)沿其截面對稱軸A-A和對稱軸B-B上溫度分布的元胞自動機CA模型數(shù)值計算結(jié)果分別如圖5和圖6所示，圖中還相應地給出了文獻[15]的實測結(jié)果。從圖5可以看出，對稱軸A-A上溫度分布的元胞自動機數(shù)值模擬結(jié)果與文獻[15]的實測結(jié)果吻合得比較好，但從圖6來看，對稱軸B-B上溫度分布的元胞自動機數(shù)值模擬結(jié)果與文獻[15]的實測結(jié)果吻合得不是很理想，誤差相對較大。這主要有2方面的原因：①元胞自動機數(shù)值模擬中所用的混凝土熱工性能值都是源于規(guī)范，這與試驗中混凝土熱工性能的實際值(文獻[15]未給出)可能存在一定誤差；②試驗受周圍環(huán)境的影響存在一定的離散性。

圖4 熱電偶位置(單位:mm)圖5 截面對稱軸A-A上溫度分布曲線

圖6 截面對稱軸B-B上溫度分布曲線

從以上2個試驗基準示例的驗證結(jié)果可以看出，元胞自動機的數(shù)值模擬結(jié)果與現(xiàn)有試驗結(jié)果總體上吻合良好，說明本文運用的元胞自動機CA模型是可行、有效的。

4.2 應用算例

以矩形鋼筋混凝土梁柱為例，研究不同受火方式對鋼筋混凝土梁柱截面內(nèi)溫度場分布的影響。眾所周知，在火災作用下，混凝土的抗壓強度會隨著溫度的升高而不斷降低。當溫度到達500 ℃時，混凝土的抗壓強度損傷較為嚴重，約占常溫下抗壓強度的50%。本文參照文獻[16]將截面溫度>500 ℃的區(qū)域稱為損傷嚴重區(qū)域。鋼筋混凝土梁柱截面尺寸、鋼筋布置和受火方式如圖7所示。其中鋼筋Bar 1形心的坐標為(40，40)。按受火方式分為4種不同工況。

圖7 受火模型(單位：mm)

4.2.1 溫度損傷嚴重區(qū)域損傷分析

在元胞自動機CA模型數(shù)值模擬過程中，元胞尺寸取Δx=5 mm，時間步長Δt=0.07 min的元胞自動機，b=0.5σn,h=25 W/(m2·K)，導熱系數(shù)采用上限，含水率為0時的混凝土質(zhì)量熱容、混凝土質(zhì)量密度和時間-溫度曲線分別采用式(3)—式(5)。利用元胞自動機CA模型計算得到的升溫時間為1.0，2.0，3.0 h時的溫度損傷嚴重區(qū)域截面分布圖，參見圖8。圖中η代表的是溫度損傷嚴重區(qū)域(云圖部分)占矩形梁截面的面積，稱為溫度損傷嚴重區(qū)域損傷度。

從圖8可知，鋼筋混凝土受火方式對混凝土的損傷影響很大，在升溫3.0 h內(nèi)四面受火工況4混凝土損傷程度最大(78%)，其次為三面受火工況3，鄰面受火工況2，單面受火工況1。隨著升溫時間的延長溫度損傷區(qū)域所占面積不斷增加，混凝土的最高溫度不斷提升，且總是從受火面向內(nèi)部擴散，截面外表層溫度梯度大，沿著截面向內(nèi)溫度逐漸下降，梯度亦呈下降趨勢。

在4種受火形式下，除鄰面受火工況2，其余工況下的溫度均沿梁的截面軸線對稱分布。各種工況下0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0 h時的鋼筋混凝土梁柱溫度損傷嚴重區(qū)域的損傷度η的CA模擬結(jié)果見圖9，鋼筋Bar 1溫度隨升溫時間變化關(guān)系如圖10所示。

圖8 溫度損傷嚴重區(qū)域截面分布

圖9 η-升溫時間關(guān)系曲線(單位：℃)

圖10 Bar 1溫度-升溫時間關(guān)系

從圖9可知，隨著升溫時間的延長，受火方式對溫度損傷嚴重區(qū)域損傷度η不斷增大，其中工況4的損傷度η變化最明顯。鋼筋混凝土梁柱受火溫度損傷呈非線性變化，隨著受火時間的推移，受火溫度損傷將達到100%。

從圖10可知，鋼筋溫度隨升溫時間的延長而不斷增大，在工況1中，鋼筋Bar 1離受火面較遠，受火面引起的混凝土熱傳導在3.0 h內(nèi)對鋼筋溫度的影響較小，致使鋼筋的溫度累積基本保持不變；在工況2，工況3中鋼筋的溫度變化趨勢類似，是因為在這2種工況中僅一側(cè)受火面離鋼筋Bar 1較近，與工況1一樣，受火面引起的熱傳導對其溫度的影響較少，鋼筋升溫過程隨受火面呈非線性增長，升溫速度先快后慢；在工況4中，鋼筋Bar 1因離兩受火面較近，致使其升溫加快，在3.0 h迅速達到876 ℃，但其升溫過程表現(xiàn)出的規(guī)律與工況2、工況3類似。

4.2.2 溫度-路徑分布規(guī)律

如圖11所示定義了2條升溫路徑，通過提取路徑上的溫度值，分析不同路徑上的溫度分布規(guī)律。圖12(a)和圖12(b)為升溫3 h時各路徑上的溫度分布規(guī)律。

圖11 路徑示意

圖12 溫度-路徑關(guān)系曲線(升溫3 h)

從圖12可知，在受火一側(cè)溫度最高，背火面一側(cè)溫度最低，溫度沿截面軸線方向呈非線性變化，越靠近受火面，溫度增速越快，當受火面對稱時，溫度亦呈對稱分布，如工況1、工況3、工況4。

5 結(jié)論

本文建立了火災下鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)內(nèi)部溫度場分析的元胞自動機模型，并得到了現(xiàn)有試驗結(jié)果的驗證，說明本文建立的元胞自動機方法在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)溫度場分析方面有效可行，而且應用潛力廣闊。通過使用元胞自動機對不同受火方式下鋼筋混凝土梁柱溫度場分布的分析研究，得到以下結(jié)論：

1)通過選取合適的高溫下混凝土的熱工性能參數(shù)，元胞自動機模型可以實現(xiàn)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)溫度場的高效、準確分析。

2)火災下矩形鋼筋混凝土梁柱溫度損傷嚴重區(qū)域與受火方式、升溫時間等緊密相關(guān)。四面受火情況下，溫度損傷最為嚴重。

3)溫度沿梁柱截面軸線方向呈非線性變化，越靠近受火面，溫度增速越快;受火方式為對稱受火時，溫度亦對稱分布。

4)鋼筋混凝土梁柱受火損傷演化過程呈非線性變化，隨著受火時間的推移，損傷程度達到100%。

5)鋼筋升溫速度與受火面數(shù)量及其位置有關(guān)，受火面越多，離鋼筋越近，鋼筋的升溫速度越快；鋼筋的升溫過程呈非線性增長，先快后慢。

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