陳國(guó)林 黃林盛

(1.贛南師范大學(xué)科技學(xué)院 341000;2.廣東省廣州市真光中學(xué) 510000)

一、求解隨機(jī)變量的值

解析答完5道題，可能的結(jié)果是：答對(duì)0道，此時(shí)S5=-25,ξ=25；答對(duì)1道，此時(shí),S5=-15,ξ=15；答對(duì)2道，此時(shí)S5=-5,ξ=5；答對(duì)3道，此時(shí)S5=5,ξ=5;答對(duì)4道，此時(shí)S5=15,ξ=15；答對(duì)5道，此時(shí)S5=25,ξ=25，所以ξ的取值只能是5，15，25.

評(píng)注如果隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按照一定次序列出，叫做離散型隨機(jī)變量，對(duì)于離散型隨機(jī)變量的值的求解過(guò)程中需要注意對(duì)各種情況討論，以免漏解.

二、求解隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果

例2 (河北省石家莊市2017屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè))交強(qiáng)險(xiǎn)是車(chē)主必須為機(jī)動(dòng)車(chē)購(gòu)買(mǎi)的險(xiǎn)種，若普通6座以下私家車(chē)投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車(chē)輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如下表：

交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表浮動(dòng)因素浮動(dòng)比率 A1上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10% A2上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮20% A3上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30% A4上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0% A5上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故上浮10%A6上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮30%

某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車(chē)的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車(chē)齡已滿(mǎn)三年的該品牌同型號(hào)私家車(chē)的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格.

類(lèi)型 A1A2A3A4A5A6 數(shù)量105520155

(1)求一輛普通6座以下私家車(chē)在第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率；

(2)某二手車(chē)銷(xiāo)售商專(zhuān)門(mén)銷(xiāo)售這一品牌的二手車(chē)，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車(chē)輛記為事故車(chē).假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車(chē)虧損5000元，一輛非事故車(chē)盈利10000元.且各種投保類(lèi)型車(chē)的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致，若該銷(xiāo)售商店內(nèi)有六輛(車(chē)齡已滿(mǎn)三年)該品牌二手車(chē)，某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選兩輛車(chē)，求這兩輛車(chē)恰好有一輛為事故車(chē)的概率.

評(píng)注求解隨機(jī)變量實(shí)驗(yàn)結(jié)果的概率問(wèn)題時(shí)，需要注意每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)著不僅僅只有一個(gè)結(jié)果，能夠準(zhǔn)確搞清楚實(shí)驗(yàn)結(jié)果的情況，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.在解決本題時(shí)就必須準(zhǔn)確找出從六輛車(chē)中隨機(jī)挑選兩輛車(chē)的所以情況，并且找出其中兩輛車(chē)恰好有一輛事故車(chē)的情況方可求解出本題的正確結(jié)果.

三、求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望

例3 (2017年4月安慶市重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)為降低汽車(chē)尾氣的排放量，某廠(chǎng)生產(chǎn)甲乙兩種不同型號(hào)的節(jié)排器，分別從甲乙兩種節(jié)排器中各自抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評(píng)估檢測(cè)，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖1所示.

甲型號(hào)節(jié)排器 乙型號(hào)節(jié)排器

圖1

綜合得分k的范圍節(jié)排器等級(jí)節(jié)排器利潤(rùn)率 k≥85一級(jí)品 a 75≤k<85二級(jí)品 5a270≤k<75 三級(jí)品 a2

將視頻率分布直方圖中的頻率為概率，用樣本估計(jì)總數(shù)，若從乙型號(hào)節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，求二級(jí)品數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ).

ξ0123P27642764964164

評(píng)注一般地，離散型隨機(jī)變量ξ可能的取值為X1,X2,…,ξ取得每一個(gè)值Xi(i=1,2,…)的概率為P(ξ=Xi)=pi，其ξ的分布列需滿(mǎn)足pi>0(i=1,2,…；p1+p2+…+pi+…=1.期望E(ξ)=x1p1+x2p2+…xipi+….

四、求離散型隨機(jī)變量的方差

評(píng)注本題根據(jù)概率和為1和期望E(ξ)=1可列出等式，求解出隨機(jī)變量ξ的取值為1和2的概率，再利用方差公式即可求出D(ξ)的值.另外求解方差時(shí)，需要了解D(aξ+b)=a2D(ξ).

五、探究性問(wèn)題

例5 (四川省瀘州市2017屆高三三診)甲，乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分：指標(biāo)大于或等于95為正品，小于95為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩臺(tái)車(chē)床生產(chǎn)的零件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

測(cè)試指標(biāo) [85,90) [90,95)[95,100)[100,105)[105,110] 機(jī)床甲81240328 機(jī)床乙71840296

(1)試分別估計(jì)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的零件為正品的概率；

(2)甲機(jī)床生產(chǎn)一件零件，若是正品可盈利160元，次品則虧損20元；乙機(jī)床生產(chǎn)一件零件，若是正品可盈利200元，次品則虧損40元，在(1)的前提下，現(xiàn)需生產(chǎn)這種零件2件，以獲得利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，應(yīng)該如何安排生產(chǎn)最佳？

評(píng)注本題要求以獲得利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，選擇出最佳安排生產(chǎn)方案，首先需要明確共有3種方案：甲機(jī)床生產(chǎn)2件，甲乙機(jī)床各生產(chǎn)1件，乙機(jī)床生產(chǎn)2件，并根據(jù)其情況分別算出各種方案下所對(duì)應(yīng)的期望值進(jìn)行比較，便可以得出安排乙機(jī)床生產(chǎn)最佳.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中學(xué). 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(數(shù)學(xué)選修2 -1)[M]. 北京:人民教育出版社,2008.