徐加華

(山東省新泰市第一中學(xué) 271200)

在近幾年的高考和各地的高考模擬試題中，與函數(shù)有關(guān)的不等式證明問題逐漸受到命題專家的青睞，這類問題具有極強(qiáng)的綜合性和技巧性，考查的內(nèi)容豐富，思想深刻，對(duì)于考查考生是否具有扎實(shí)的基本功和良好的基本素養(yǎng)不失為一個(gè)好的載體.本文立足于當(dāng)前高中知識(shí)，對(duì)此類不等式進(jìn)行了深入的研究.從技巧的角度總結(jié)了證明函數(shù)不等式的五個(gè)策略——構(gòu)、移、放、分、拆.現(xiàn)結(jié)合一些具體例子與大家共享.

一、構(gòu)

二、移

“移”指的是移項(xiàng)，即移動(dòng)不等式中有關(guān)字母符號(hào)，調(diào)整其在不等式中的位置，將所證不等式的結(jié)構(gòu)調(diào)整優(yōu)化到合理的形式，將問題解決.

(2)注意：當(dāng)x∈(a,b)時(shí)，f(x)min>g(x)max?f(x)>g(x)；

當(dāng)x∈(a,b)時(shí)，f(x)>g(x)推不出f(x)min>g(x)max.

三、放

“放”指的是將不等式的一側(cè)的值放大或者放小，將不等式的結(jié)構(gòu)優(yōu)化成合理結(jié)構(gòu)，然后獲得解決.放縮的依據(jù)是常用的幾個(gè)不等式: ex≥x+1，lnx≤x-1，sinx≤x(x≥0)等.

例3 (2013全國(guó)數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅱ理科) 已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)，

(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.

解析(1)略.

綜上，命題得證.

點(diǎn)評(píng)本題從已知條件的重要不等式ln(x+1)≤x出發(fā)，直接進(jìn)行證明，思路自然，過程流暢.在各類考試中，以ex≥x+1、ln(x+1)≤x為題根的試題屢見不鮮，應(yīng)引起足夠的重視，而且這些不等式源于課本上的習(xí)題.

四、分

“分”指的是分類討論，當(dāng)所證不等式情況復(fù)雜不能統(tǒng)一說明時(shí)，可根據(jù)題目的情況分情況討論加以證明即可．

(1)當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)≤x-1.

解析(1)略.

綜上所述，結(jié)論成立．

說明本題根據(jù)n的奇偶性來分類討論進(jìn)行證明.

五、拆

“拆”指的是將所證不等式的一側(cè)拆成兩部分(或者多個(gè)部分)的和或者乘積的形式，然后分別研究每個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、最值或者正負(fù)等情況，最后再綜合起來考慮.

基本模式為：(1)要證f(x)>0(或者f(x)<0)先令f(x)=h(x)+m(x),將問題轉(zhuǎn)化為證h(x)+m(x)>0(或者h(yuǎn)(x)+m(x)<0)，具體操作上可以通過研究函數(shù)h(x)和m(x)的單調(diào)性、最值或者正負(fù)即可．(2)要證f(x)>0(或者f(x)<0)先令f(x)=h(x)m(x)將問題轉(zhuǎn)化為證h(x)m(x)>0(或者h(yuǎn)(x)m(x)<0)，具體操作上可以通過研究函數(shù)h(x)和m(x)的單調(diào)性、最值或者正負(fù)即可．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

解析(1)略.

在利用這幾種技巧來證明函數(shù)不等式時(shí)，我們的思路可以打開，具體操作上可根據(jù)題目合理選擇方法.

從以上幾例可以看出，要想利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，掌握好相關(guān)的技巧是解決問題的關(guān)鍵，而“構(gòu)、移、分、拆、放”這些技巧不是孤立的，應(yīng)是相互交融，相互依賴的，真正期待“構(gòu)、移、分、拆、放”五個(gè)絕招能幫助考生升入理想的高等學(xué)府.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐加華．利用搭橋法處理不等式中恒成立與能成立的“混搭”問題[J].數(shù)學(xué)通訊，2013(12)：26-28.