李永泉 佘亞中 萬一心 張立杰

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004 2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004 3.燕山大學(xué)河北省重型機(jī)械流體動(dòng)力傳輸與控制實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

0 引言

隨著并聯(lián)機(jī)器人的發(fā)展，高速、輕巧、重載成為并聯(lián)機(jī)器人的發(fā)展方向。當(dāng)輕質(zhì)化的機(jī)器人在重載、高速的環(huán)境下工作時(shí)，由承受重載引起的各分支的彈性變形會(huì)影響機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)性能，并降低機(jī)器人的精度，因此，有必要對(duì)并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行彈性動(dòng)力學(xué)分析。一些學(xué)者已經(jīng)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)做了大量的研究工作。文獻(xiàn)［1］比較分析了6-PSS與8-PSS冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)平臺(tái)的彈性動(dòng)力學(xué)特性。文獻(xiàn)［2-3］考慮連桿的變形，建立了空間3-RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)模型，并分析了其動(dòng)力學(xué)特性。文獻(xiàn)［4］提出了一種簡單而精確的彈性動(dòng)力學(xué)建模方法，建立了柔性并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模。文獻(xiàn)［5］提出了一種3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)彈性動(dòng)力學(xué)建模方法，并通過模態(tài)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法所得的固有頻率和振型。文獻(xiàn)［6］以3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，通過建立其彈性動(dòng)力學(xué)模型，提出了分析其關(guān)節(jié)約束反力的方法。文獻(xiàn)［7］建立了5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床的彈性動(dòng)力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)冗余驅(qū)動(dòng)可以減小因彈性變形引起的誤差，但該種冗余驅(qū)動(dòng)屬于關(guān)節(jié)式冗余驅(qū)動(dòng)。上述并聯(lián)機(jī)構(gòu)彈性動(dòng)力學(xué)分析中均未涉及空間彎桿的彎曲、拉伸和扭轉(zhuǎn)變形問題，同時(shí)關(guān)于分支冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)分析也鮮有報(bào)道。

1 彈性動(dòng)力學(xué)建模

如圖1所示，本文研究的球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)是在球面5R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過添加一個(gè)驅(qū)動(dòng)分支變成的冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，它只包含轉(zhuǎn)動(dòng)副，并且所有轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線匯交于球心O。機(jī)構(gòu)的輸出點(diǎn)為P(x,y,z)，它通過3個(gè)完全相同的3R串聯(lián)分支 PB1A1、PB2A2、PB3A3與正三角形定平臺(tái)A1A2A3相連接。驅(qū)動(dòng)連桿的圓弧半徑為ri1(i=1,2,3)，圓弧角為α1，且驅(qū)動(dòng)軸線與定平臺(tái)中垂線的夾角為 β。分支上連桿的圓弧半徑為ri2(i=1,2,3)，圓弧角為α2。實(shí)驗(yàn)樣機(jī)如圖2所示，其結(jié)構(gòu)參數(shù)為 α1=α2=90°，β=0°。

圖1 機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Mechanism sketch

在保證分析精度的情況下，為了便于分析計(jì)算，本文對(duì)模型進(jìn)行以下簡化［8］：①機(jī)構(gòu)的定平臺(tái)較其他構(gòu)件剛度大，故視為剛體；②輸出軸OP假定為剛體；③機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中，忽略剛體運(yùn)動(dòng)和彈性變形運(yùn)動(dòng)的耦合項(xiàng)，把真實(shí)運(yùn)動(dòng)視為剛體運(yùn)動(dòng)和彈性變形運(yùn)動(dòng)的疊加；④柔性梁單元的位移滿足三次多項(xiàng)式和線性分布；⑤所有的轉(zhuǎn)動(dòng)副均為理想約束，即不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副的變形與間隙。

圖2 實(shí)驗(yàn)樣機(jī)Fig.2 Experimental prototype

1.1 單元?jiǎng)恿W(xué)方程

將球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人中的各構(gòu)件 AiBi和 BiP(i=1,2,3)當(dāng)作柔性桿處理，輸出軸OP當(dāng)作剛體處理。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的系統(tǒng)支鏈一般較短，關(guān)節(jié)柔性變形引起的系統(tǒng)累計(jì)誤差較小，而且并聯(lián)機(jī)構(gòu)為多閉環(huán)系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)中的關(guān)節(jié)變形具有一定的約束作用，故關(guān)節(jié)柔性一般可以忽略不計(jì)。將機(jī)構(gòu)的連桿AiBi和BiP分別設(shè)為單元i1和i2，整個(gè)機(jī)器人系統(tǒng)共包含6個(gè)柔性單元。

由于6個(gè)柔性單元模型都是結(jié)構(gòu)一樣的空間曲梁單元，故本文對(duì)其中一個(gè)柔性單元BiP進(jìn)行分析。如圖3所示，這里假定空間柔性曲梁單元發(fā)生軸向、橫向、扭轉(zhuǎn)變形，并用 δ =(δ1,δ2,…,δ18)Τ表示梁單元的廣義坐標(biāo)向量，其中，δ1～ δ3與δ10～ δ12、δ4～δ6與 δ13～δ15、δ7～δ9與 δ16～δ18分別表示節(jié)點(diǎn)A、B處的彈性位移、彈性轉(zhuǎn)角和曲率。如圖4所示，依據(jù)有限元法，分別求出空間圓弧曲梁結(jié)構(gòu)的柔性單元BiP的質(zhì)量矩陣與剛度矩陣：

式中，N1、N2、N3、N4均為差值函數(shù)組成的向量，且向量中的各元素均為θ的函數(shù)。

將單元的動(dòng)能與勢(shì)能代入拉格朗日方程，可以得到單元?jiǎng)恿W(xué)方程：

就球面2-DOF并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)而言，F(xiàn)e是單元外加載荷的廣義力列陣，既包括與廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的集中節(jié)點(diǎn)力和力矩，也包括分布力和力矩的等效節(jié)點(diǎn)力，所有的力和力矩都是真實(shí)作用的外載荷；Qe是單元?jiǎng)傮w慣性力列陣。

圖3 空間柔性梁單元廣義坐標(biāo)圖Fig.3 Generalized coordinates of flexible space beam element

圖4 上連桿有限元圖Fig.4 Finite element of the connecting rod

1.2 支鏈動(dòng)力學(xué)方程

圖5 所示為球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的一個(gè)分支 AiBiP，對(duì)于驅(qū)動(dòng)構(gòu)件 AiBi(i=1,2,3)，可以看作懸臂梁，引入邊界條件可以得到Ai點(diǎn)處的彈性位移和轉(zhuǎn)角方向的節(jié)點(diǎn)變形均為零。Bi點(diǎn)處為轉(zhuǎn)動(dòng)副，兩個(gè)相鄰的單元（單元i1和i2）分屬不同的構(gòu)件，因而具有不同的轉(zhuǎn)角，在這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)處，其中，繞Bi點(diǎn)處轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向的兩個(gè)曲率為零。構(gòu)件BiP的節(jié)點(diǎn)P與剛性輸出軸連接，所以P點(diǎn)處轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向的兩個(gè)曲率為零。

圖5 單元坐標(biāo)系下的廣義坐標(biāo)Fig.5 Generalized coordinates in element coordinate system

如圖6所示，支鏈下連桿AiBi有11個(gè)非零廣義坐標(biāo)，支鏈上連桿BiP有16個(gè)非零廣義坐標(biāo)，分支AiBiP一共有27個(gè)廣義非零坐標(biāo)。由于下連桿AiBi與上連桿BiP之間通過轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)軸看作剛性軸連接，可知節(jié)點(diǎn)Bi處的3個(gè)彈性位移相同。此時(shí)，分支AiBiP的節(jié)點(diǎn)變形可用24個(gè)系統(tǒng)坐標(biāo)表示為Ui=[ui1ui2… ui24]Τ，如圖5所示。由單元AiBi與BiP在單元坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程（式（3）），經(jīng)過裝配可得分支AiBiP在定坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程：

式中，Ui為第i個(gè)支鏈 AiBiP上的單元廣義坐標(biāo)，Ui∈R24×1；Mi為支鏈 AiBiP 的質(zhì)量矩陣，Mi∈R24×24；Ki為支鏈 AiBiP 的剛度矩陣，Ki∈R24×24；Fi為支鏈AiBiP 的外加載荷廣義力矩陣，F(xiàn)i∈R24×1；Qi為支鏈AiBiP 的剛體慣性力矩陣，Qi∈R24×1。

圖6 定坐標(biāo)系下的廣義坐標(biāo)Fig.6 Generalized coordinates in fixed coordinate system

1.3 系統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)模型

由于各支鏈桿件的變形引起的輸出軸的位置變化量U0=[uxuyuz]Τ，3個(gè)分支的P點(diǎn)與剛性輸出軸連接，根據(jù)3個(gè)分支與輸出軸的變形協(xié)調(diào)約束，有

式中，UPi為第i個(gè)分支P點(diǎn)的彈性位移；為第i個(gè)分支P點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系之間的變換矩陣。

取單個(gè)支鏈的廣義坐標(biāo)為

球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)約束方程為

其中，Ei×j為 i×j單位矩陣，0i×j為 i×j零矩陣。將式（7）代入式（4），可得

對(duì)式兩邊同乘可得

化簡整理式（9）可得

將式（10）中的分解為

采用系統(tǒng)廣義坐標(biāo)U，并利用系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)約束方程式，把廣義坐標(biāo)表示的各個(gè)支鏈的動(dòng)力學(xué)方程式裝配到一起，形成球面2-DOF并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)的無阻尼彈性動(dòng)力學(xué)方程：

式中，M 為系統(tǒng)總質(zhì)量矩陣，M∈R66×66；K為系統(tǒng)總剛度 矩陣，K∈R66×66；U¨r為 系統(tǒng)剛體加速 度矩陣，U¨r∈R66×1；U 為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)矩陣；U¨為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二次導(dǎo)數(shù)，即彈性加速度矩陣；F為系統(tǒng)廣義力矩陣，F(xiàn)∈R66×1。

2 固有頻率分析

根據(jù)建立的球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)模型，可得無阻尼自由振動(dòng)方程：

由式（12）可得到求解2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的固有頻率方程：

由上式可求出第i階固有頻率ωi，而且可看出，機(jī)構(gòu)的無阻尼固有頻率只與剛度矩陣和質(zhì)量矩陣有關(guān)，而剛度矩陣和質(zhì)量矩陣都與機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸和輸出軸在工作空間內(nèi)的位姿有關(guān)，可以從改善剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的角度來提高固有頻率，從而優(yōu)化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。

2.1 固有頻率的理論計(jì)算

當(dāng)球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出軸在初始位置時(shí)，由式（13）可以算出機(jī)構(gòu)各階固有頻率的理論值，見圖7。

圖7 機(jī)構(gòu)各階固有頻率Fig.7 Each order natural frequency of the mechanism

球面2-DOF并聯(lián)機(jī)器人的無阻尼固有頻率只與剛度矩陣和質(zhì)量矩陣有關(guān)，而質(zhì)量矩陣與剛度矩陣與機(jī)器人的姿態(tài)有關(guān)，因此，在工作空間內(nèi)，機(jī)器人的各階固有頻率會(huì)隨著機(jī)器人輸出軸的姿態(tài)變化而變化。給定工作空間為φ∈(0°,20°)、φ∈(0°,360°)，并將工作空間轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下：

由式（13）可以算出工作空間內(nèi)各階固有頻率，見圖8。由圖8可知，球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的第一、二階固有頻率均在機(jī)器人處于初始位置時(shí)取得最大值，而第三階固有頻率在隨姿態(tài)角φ增大的工作空間邊緣取得最大值，但整體上前3階固有頻率在機(jī)器人的工作空間內(nèi)的變化量較小。

圖8 機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)的各階固有頻率Fig.8 Each order natural frequency of the mechanism in the workspace

2.2 固有頻率的仿真計(jì)算

在有限元分析軟件ANSYS Workbench中，利用其ANSYS Modal模塊功能可以進(jìn)行樣機(jī)的模態(tài)分析。由于前文的理論分析部分不考慮基座對(duì)樣機(jī)模態(tài)分析的影響，故只保留三維模型中的桿件部分，在初始位置時(shí)，將簡化后的模型導(dǎo)入ANSYS，然后進(jìn)行模態(tài)計(jì)算前處理：①定義材料與單元類型；②對(duì)桿件進(jìn)行網(wǎng)格劃分（圖9）；③定義約束與轉(zhuǎn)動(dòng)副連接。最后進(jìn)行模態(tài)仿真計(jì)算，得到機(jī)構(gòu)在初始位置時(shí)的各階固有頻率（圖7）的仿真值。通過圖7中初始位置的各階固有頻率的有限元仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，可以看出，本文理論模型所得結(jié)果與有限元仿真結(jié)果的變化趨勢(shì)基本一致，可以在一定程度上證明本文模型的正確性與有效性。但是由于ANSYS仿真采用的是自由網(wǎng)格，而且網(wǎng)格劃分更加密集，使得初始位置時(shí)的各階固有頻率的有限元仿真結(jié)果比理論計(jì)算結(jié)果偏大。

圖9 機(jī)構(gòu)連桿網(wǎng)格Fig.9 Grid chart of connecting rods

3 動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

3.1 彈性動(dòng)力學(xué)方程的求解

為了方便計(jì)算，將式（11）改寫為

綜合考慮系統(tǒng)方程式求解的穩(wěn)定性、精度和計(jì)算速度等方面因素，本文采用Newmark法求解球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，Newmark法是根據(jù)拉格朗日中值定理對(duì)t+?t時(shí)刻的速度向量作了近似假設(shè)，在參數(shù)滿足一定條件時(shí)，Newmark法是無條件穩(wěn)定的。當(dāng)已知系統(tǒng)方程在時(shí)刻t的解，推導(dǎo)t+?t時(shí)刻系統(tǒng)方程的解時(shí)，Newmark算法的積分形式為

其中，0≤μ1≤1和 0≤μ2≤0.5是根據(jù)積分精度和穩(wěn)定性要求來確定的參數(shù)。由算法穩(wěn)定性分析知，當(dāng) μ1≥0.5，μ2≥0.25(μ1+0.5)2時(shí)，Newmark積分是無條件穩(wěn)定的，這時(shí)可以根據(jù)精度要求選擇時(shí)間步長?t。主要計(jì)算步驟［3］如下。

（1）通過對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行建模分析，得到系統(tǒng)總質(zhì)量矩陣M、總剛度矩陣K和阻尼矩陣C；

（2）根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性分析，獲得系統(tǒng)初始狀態(tài)向量 U0、U˙0、U¨0；

（3）選擇合適的時(shí)間步長?t以及參數(shù) μ1和μ，并計(jì)算下列有關(guān)常數(shù)

2

（4）計(jì)算系統(tǒng)有效剛度矩陣：

（5）計(jì)算t+?t時(shí)刻的有效載荷向量：

（6）分別計(jì)算t+?t時(shí)刻的位移、速度、加速度：

3.2 數(shù)值計(jì)算

設(shè)置時(shí)間步長?t=0.01 s以及參數(shù)μ1=0.6和μ2=0.4，運(yùn)動(dòng)時(shí)間T=10 s。已知球面2-DOF并聯(lián)機(jī)器人樣機(jī)的材質(zhì)為鋼，密度 ρ=7 800 kg/m3，拉壓彈性模量 E=210 GPa；剪切彈性模量G=80 GPa；各連桿都是矩形截面，長h=8 mm，寬b=20 mm。

球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人末端軌跡見圖10，其軌跡分為3段：第1段為 φ=0°，φ為0°～20°，用時(shí)2 s；第2段為 φ=20°，φ 為 0°～360°，用時(shí)6 s；第 3段為 φ=0°，φ 為 20°～0°，用時(shí) 2 s。為保證末端位移、速度、加速度平滑連續(xù)，每一段路徑均采用組合正弦函數(shù)軌跡規(guī)劃方法［9］對(duì)其進(jìn)行軌跡規(guī)劃，得到機(jī)構(gòu)輸出軸末端的理論位移、速度、加速度。由式（20）可以計(jì)算得到球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人輸出軸末端的彈性線位移動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線，見圖11。球面5R并聯(lián)機(jī)器人與球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的彈性動(dòng)力學(xué)模型的建模方法一致，只是少1個(gè)分支，同理可以得到球面5R并聯(lián)機(jī)器人輸出軸末端的彈性線位移動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線，見圖12。

圖10 機(jī)器人末端軌跡曲線Fig.10 Terminal trajectory curve of the robot

由圖11可以看出，系統(tǒng)中連桿的彈性變形會(huì)對(duì)球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的輸出軸端點(diǎn)線位移產(chǎn)生影響，x方向線位移的最大誤差為0.069 mm，y方向線位移的最大誤差為0.042 mm，z方向線位移的最大誤差為0.058 mm。

圖11 球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人末端彈性位移曲線Fig.11 Elastic displacement curve of the spherical 2-DOF redundantly actuated parallel robot's end

圖12 球面5R并聯(lián)機(jī)器人末端彈性位移曲線Fig.12 Elastic displacement curve of the spherical 5R parallel robot's end

由圖12可以看出，連桿的彈性變形會(huì)使球面5R并聯(lián)機(jī)器人的輸出軸端點(diǎn)的線位移產(chǎn)生不可忽略的誤差，x方向線位移的最大誤差為0.12 mm，y方向線位移的最大誤差為0.032 mm，z方向線位移的最大誤差為0.062 mm。通過對(duì)比圖11與圖12中球面5R并聯(lián)機(jī)器人與球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人輸出端的彈性位移，可以看出輸出端彈性位移均沿x方向取得最大。由于本文所建的球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人彈性動(dòng)力學(xué)模型考慮了空間彎桿的彎曲、拉伸和扭轉(zhuǎn)變形，情況比較復(fù)雜，而且與球面5R非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)比較，冗余分支的引入增加了1個(gè)分支在輸出端點(diǎn)處的彈性變形協(xié)調(diào)方程，使得3個(gè)分支在輸出端點(diǎn)處彈性位移之間在各方向不同程度互相抵消，導(dǎo)致本文機(jī)構(gòu)與5R機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)位移偏差在不同方向的優(yōu)劣不同。同時(shí)由于冗余分支引入了變形協(xié)調(diào)方程，即過約束，可以明顯提高機(jī)器人的輸出剛度，減小機(jī)器人輸出端的3個(gè)最大輸出彈性位移，從而減小了因彈性變形引起的誤差，即提高了球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的精度。

4 結(jié)論

（1）基于有限元法建立了球面2-DOF冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的彈性動(dòng)力學(xué)模型。

（2）比較了球面2-DOF非冗余與冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人輸出端的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，證明了冗余驅(qū)動(dòng)的引入可以明顯減小機(jī)器人的輸出端的最大彈性位移，提高機(jī)器人的彈性動(dòng)力學(xué)特性。

（3）采用本文方法可以對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)可以快速分析并聯(lián)機(jī)器人在整個(gè)工作空間下的動(dòng)態(tài)特性，為包含空間彎桿的并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。

［1］ ZHAO Yongjie，GAO Feng，DONG Xingjian，et al.Elastodynamic Characteristics Comparison of the 8-PSS Redundant Parallel Manipulator and Its Non-re?dundant Counterpart the 6-PSS Parallel Manipulator［J］.Mechanism and Machine Theory，2010，45（2）：291-303.

［2］ LIU Shanzeng，YU Yueqing，ZHU Zhencai，et al.Dy?namic Modeling and Analysis of 3-RRS Parallel Manip?ulator with Flexible Links［J］.Journal of Central South University，2010，17：323-331.

［3］ 劉善增，余躍慶，蘇麗穎，等.3-RRS并聯(lián)柔性機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模與頻率特性分析［J］.中國機(jī)械工程，2008，19（10）：1219-1224.LIU Shanzeng，YU Yueqing，SU Liying，et al.Dynam?ics Modeling and Frequency Analysis of a 3-RRS Flex?ible Parallel Manipulator［J］.China Mechanical Engi?neering，2008，19（10）：1219-1224.

［4］ 胡俊峰，張憲民，朱大昌，等.柔性并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2011，42（11）：209-211.HU Junfeng，ZHANG Xianmin，ZHU Dachang，et al.Elastodynamics Modeling of Flexible Parallel Robot［J］.Chinese Journal of Agricultural Machinery，2011，42（11）：209-211.

［5］ 落海偉，張俊，王輝，等.3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)彈性動(dòng)力學(xué)建模方法［J］.機(jī)器人，2014，36（6）：739-742.LUO Haiwei，ZHANG Jun，WANG Hui，et al.Elastody?namics Modeling Methode of 3-RPS Flexible Parallel Mechanism［J］.Robot，2014，36（6）：739-742.

［6］ ZHANG Jun，ZHAO Yanqin.Elastodynamic Modeling and Joint Reaction Prediction for 3-PRS PKM［J］.Jour?nal of Central South University，2015，22（8）：2971-2979.

［7］ 周鑫，許允斗，姚建濤，等.5-UPS/PRPU冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)床彈性動(dòng)力學(xué)分析［J］.中國機(jī)械工程，2016，27（9）：1139-1141.ZHOU Xin，XU Yundou，YAO Jiantao，et al.Elastody?namics Analysis of a 5-UPS/PRPU Redundantly Actu?ated Parallel Machine Tool［J］.China Mechanical En?gineering，2016，27（9）：1139-1141.

［8］ 盛東義，趙勇，王皓，等.Tricept并聯(lián)機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)性能［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2012，28（6）：24-27.SHEN Dongyi，ZHAO Yong，WANG Hao，et al.Kine?to-Elastic-Dynamics（KED）Analysis of Tricept Paral?lel Mechanism［J］.Machine Design and Research，2012，28（6）：24-27.

［9］ 李永泉.球面2-DOF并聯(lián)機(jī)構(gòu)的理論分析與實(shí)驗(yàn)研究［D］.秦皇島：燕山大學(xué)，2012.LI Yongquan.Theory Analysis and Experiment Re?search of Spherical 2-DOF Parallel Manipulator［D］.Qinhuangdao：Yanshan University，2012.