鄒 琦 曲海波 郭 盛

北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京，100044

0 引言

可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)兼具并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度大、精度高的特征和可重構(gòu)設(shè)計針對不同任務(wù)的適應(yīng)性較強(qiáng)的特點。可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要分為兩類，一種可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)利用奇異位置重構(gòu)，另一種通過改變機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而改變機(jī)構(gòu)的自由度，即變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)［1-3］。本文所關(guān)注的是一種由于增加了多余的運(yùn)動關(guān)節(jié)，使機(jī)架可重構(gòu)或改變機(jī)構(gòu)裝配關(guān)系的可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。這類機(jī)構(gòu)的目標(biāo)并不是改變動平臺的自由度，而是提升機(jī)構(gòu)的性能。

可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)點突出，然而在航空航天等工業(yè)場合應(yīng)用不多［4］。已有的機(jī)構(gòu)大多比較昂貴、反應(yīng)速度較慢，導(dǎo)致利用率相當(dāng)有限。為此，國內(nèi)外學(xué)者對可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)做了許多研究。PLITEA等［5］設(shè)計的6自由度可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)——Recrob 3-PRRS機(jī)構(gòu)，在不同的條件下該機(jī)構(gòu)可成為2/3/4/5自由度可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，結(jié)構(gòu)簡單且易于控制。SRIVATSAN等［6］研制了3自由度可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)——MaPaMan（the Madras Parallel Ma?nipulator），該機(jī)構(gòu)含有3個相同的支鏈，重構(gòu)成不同的構(gòu)型時，其自由度數(shù)目及類型各不相同。XI等［7］提出了一種在保持驅(qū)動效率時利用不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)增強(qiáng)機(jī)器人的靜力學(xué)和剛度特性的機(jī)構(gòu)。SON等［8］設(shè)計了一種多自由度桌面式可重構(gòu)機(jī)床，該機(jī)床的優(yōu)勢是有2個擺動式的拱形軌道模塊使其結(jié)構(gòu)更加靈活，適應(yīng)性更強(qiáng)。CARBON?ARI等［9］研制了一類源于3-CPU機(jī)構(gòu)的可重構(gòu)模塊并聯(lián)機(jī)器人，其設(shè)計的鎖緊系統(tǒng)允許一個旋轉(zhuǎn)副有選擇地與另一個旋轉(zhuǎn)副固定，從而使機(jī)構(gòu)重構(gòu)成具有不同機(jī)動性的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。ZHANG等［10］設(shè)計的6自由度可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以重構(gòu)為3/4/5自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。COPPOLA等［11］設(shè)計了一種應(yīng)用于可持續(xù)制造領(lǐng)域的6自由度可重構(gòu)混合并聯(lián)機(jī)構(gòu)——ReSI-Bot。上述機(jī)構(gòu)的可重構(gòu)過程幾乎都是同時改變所有支鏈，而關(guān)于對稱地改變部分支鏈情形的研究較少。

本文設(shè)計了一款新型的具有2T1R（2個移動自由度、1個轉(zhuǎn)動自由度）的機(jī)架可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)——2-PRRR+RRR機(jī)構(gòu)，通過對稱改變其中2條支鏈進(jìn)行重構(gòu)。

1 運(yùn)動學(xué)分析

本文提出的2-PRRR+RRR機(jī)構(gòu)構(gòu)型和機(jī)構(gòu)簡圖見圖1。機(jī)構(gòu)的移動副可由圓弧導(dǎo)軌MN實現(xiàn)，其中O為圓弧弧心，對應(yīng)的圓心角為120°。點O與圓弧MN固定，AiBiCi為3條支鏈，AiBi與BiCi分別對應(yīng)相等（i=1，2，3），?C1C2C3為動平臺，G點為動平臺幾何中心，點 A2和 A3可以在圓弧MN上移動。該機(jī)構(gòu)包括10個桿件和11個運(yùn)動副（9個轉(zhuǎn)動副和2個移動副），由修正后的Grübler-Kutzbach公式［12］有

式中，m為機(jī)構(gòu)的自由度；d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)；λ為機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)目，一般地，空間機(jī)構(gòu)的階數(shù)是6，平面機(jī)構(gòu)的階數(shù)是3；n為活動構(gòu)件數(shù)；g為運(yùn)動副數(shù)目；fi為第i個運(yùn)動副所具有的自由度數(shù)目；υ為機(jī)構(gòu)的冗余約束數(shù)。

圖12 -PRRR+RRR機(jī)構(gòu)Fig.1 2-PRRR+RRR mechanism

由式（1）計算出機(jī)構(gòu)的自由度是5，則相應(yīng)的獨立驅(qū)動數(shù)是5。該機(jī)構(gòu)屬于平面機(jī)構(gòu)，動平臺的自由度為3，分別是沿X軸、沿Y軸的移動自由度和繞Z軸的轉(zhuǎn)動自由度。這里僅僅采用3個電機(jī)驅(qū)動，分別安裝于轉(zhuǎn)動副 A1、A2和 A3處，且A2、A3處電機(jī)輸出分別包含兩部分，一部分直接驅(qū)動轉(zhuǎn)動副，另一部分利用離合器與外齒輪傳動系統(tǒng)實現(xiàn)A2、A3處的移動運(yùn)動（該離合器使得機(jī)構(gòu)在任意位置均可安全鎖緊）。這樣，減少了電機(jī)及傳動系統(tǒng)的數(shù)目，也降低了控制系統(tǒng)的難度。另外，可重構(gòu)機(jī)構(gòu)可以通過對稱地改變A2、A3點在圓弧導(dǎo)軌中的位置而產(chǎn)生無窮多的對稱位置，易于控制。

1.1 逆運(yùn)動學(xué)分析

建立圖1b所示的坐標(biāo)系。A1與坐標(biāo)系的原點O重合，X軸水平向右，Y軸豎直向上。桿件AiBi長度為ai，桿件 BiCi長度為bi，圓弧 MN 半徑為R，?C1C2C3邊長為h，AiBi與X軸正方向夾角為 θi，AiBi和 BiCi的夾角為 φi，C1C2與X軸夾角為φ，A1A2和X軸夾角為α，A1A3和X軸夾角為 β，A1M 與Y軸重合，A1N與X軸夾角為-30°。

已知C1點的坐標(biāo)（XC1，YC1）、φ、α和 β，求解 θi（i=1，2，3）。以支鏈 A1B1C1為例，應(yīng)用下面的矢量方程求解：

聯(lián)立方程并寫成坐標(biāo)形式，有

將式（3）兩邊分別平方后相加，即可消去φ1，得到關(guān)于 sin θ1和 cosθ1的方程，用三角萬能公式替代，得到一元二次方程：

求解可得

由結(jié)果可知，θ1解的個數(shù)可能有0、1或2個，對應(yīng)支鏈 A1B1C1分別是無解、有1個或2個位置。用相同的方法，可求解另外2條支鏈。3條支鏈組合，則機(jī)構(gòu)最多有8個可能的解，對應(yīng)不同的α和 β，結(jié)果亦然。

1.2 正運(yùn)動學(xué)分析

正運(yùn)動學(xué)研究是由機(jī)構(gòu)的驅(qū)動關(guān)節(jié)坐標(biāo)確定末端操作器的位姿，具體到該機(jī)構(gòu)則是由輸入變量 θi（i=1，2，3）、α 和 β 求解動平臺的位姿參量XC1、YC1、φ 。

式（3）兩邊分別平方后相加，得到關(guān)于 XC1、的二元二次方程：

同理，由另外2條支鏈可得

式中，Ui、Vi、Wi是θi、φ、α、β的函數(shù)。

聯(lián)立式（6）～式（8）并消去平方項，即可求解出XC1和YC1，代入式（6）中，得到關(guān)于 sin φ 和cosφ的四次方程，用三角萬能公式替代可得1個一元八次方程，即給定機(jī)構(gòu)的輸入?yún)?shù)，最多會有8個可能的位置。

1.3 雅可比矩陣

為了2-PRRR+RRR機(jī)構(gòu)的桿件優(yōu)化設(shè)計，有必要首先推導(dǎo)出該機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，這里選用微分變換法求解雅可比矩陣。由點Ci與點G(XG,YG)的位置關(guān)系和bi桿的約束方程，有

展開并對時間求導(dǎo)得到

其中，分別為Bi點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。為便于表達(dá)，將式（10）整理成以 X˙G、Y˙G、φ˙及 θ˙i為未知量的方程，系數(shù) JXij、Jqij（i，j=1，2，3）組成了雅可比矩陣中的元素，即

則雅可比矩陣表示為

2 優(yōu)化設(shè)計

2.1 優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)

為了使機(jī)構(gòu)獲得更好的性能，通常以機(jī)構(gòu)的靈巧度和工作空間等作為衡量指標(biāo)。

靈巧度衡量的是機(jī)構(gòu)輸入速度與輸出速度關(guān)系的精度，靈巧度指標(biāo)可以檢測機(jī)構(gòu)是否處于奇異位置或接近奇異位置，表征靈巧度的指標(biāo)有條件數(shù)和可操作度［13］。條件數(shù)定義如下：

其中，W 為加權(quán)矩陣，則有1≤κ(J)≤∞。取條件數(shù)的倒數(shù)為局部條件指標(biāo) ILCI，則0≤ILCI≤1，ILCI越接近1的位姿表明此處機(jī)構(gòu)的運(yùn)動性能越好，因此在工作空間V上的全局條件指標(biāo)IGCI為

且 IGCI越接近1，機(jī)構(gòu)的全局運(yùn)動性能越好。為了體現(xiàn)條件數(shù)的整體分布情況，引入以下函數(shù)：

式中，ε為表征在整個可達(dá)工作空間內(nèi)條件數(shù)的波動程度。

綜合這兩個指標(biāo)，得到

式中，ξ、τi（i=1，2，3）分別是 ε、ξ、IGCI和工作空間的權(quán)重系數(shù)。

f函數(shù)的數(shù)值越小，ILCI的波動程度越小，全局條件數(shù)和機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間越大，因此以f作為目標(biāo)函數(shù)，可同時考慮機(jī)構(gòu)的靈巧度、波動程度及工作空間，得到較好的結(jié)果。

2.2 優(yōu)化計算

遺傳算法是借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機(jī)制發(fā)展起來的隨機(jī)全局搜索和優(yōu)化的算法［14］，其運(yùn)算過程不受所求解目標(biāo)函數(shù)相關(guān)理論的影響，由此求出優(yōu)化解，運(yùn)算速度快而且結(jié)果比較可靠。本文采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化。

假設(shè)3條支鏈桿件對應(yīng)相等，以2.1節(jié)中計算的f為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)，進(jìn)行基于一種十分通用的數(shù)值計算方法——蒙特卡羅法的桿件優(yōu)化。模型參數(shù)中，α和 β的值分別是 π 9和4π/9 ，ξ和 τi（i=1，2，3）取值分別為 14、10、1和1/300，初始種群大小是50，選擇算子選擇隨機(jī)均勻分布，交叉概率為0.8，終止條件的停止代數(shù)為50，停滯代數(shù)為50，設(shè)計變量共4個，根據(jù)設(shè)計要求，自變量（單位mm）的取值范圍為

適應(yīng)度函數(shù)取為f時，優(yōu)化后的變量取值分別為R=100 mm，h=25 mm，ai=76 mm，bi=79 mm。由圖2可知，最佳適應(yīng)度值為0.432 936，平均值為0.447 185。此外，隨著代數(shù)增多，最佳適應(yīng)度函數(shù)值和平均適應(yīng)度函數(shù)值逐漸接近，表明適應(yīng)度函數(shù)已經(jīng)收斂到優(yōu)化解。

圖2 最佳適應(yīng)度與平均適應(yīng)度Fig.2 Best fitness and mean fitness

3 工作空間

采用一種通用的離散邊界搜索算法計算機(jī)構(gòu)的工作空間，該算法直接依據(jù)運(yùn)動學(xué)逆解和幾何約束條件，因此計算過程較簡單，計算時間可以顯著縮短。具體的計算和繪圖步驟如下：

（1）按照設(shè)計要求，分析并設(shè)計出該機(jī)構(gòu)各個維度的參數(shù)。該機(jī)構(gòu)屬于平面機(jī)構(gòu)，所以應(yīng)初步確定 Xmin、Xmax、Ymin、Ymax、φmin和 φmax的值。

（2）確定由機(jī)構(gòu)桿件尺寸及運(yùn)動副約束（主要指轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)角限制）組成的幾何邊界條件，動平臺處于初始位置，為方便計算，初始位置設(shè)計為各個邊界的最小值所表示的位置。

（3）從動平臺的初始位置開始，分別設(shè)計出沿X軸、沿Y軸和繞Z軸的步距。一般地，為了得到更加精準(zhǔn)的計算結(jié)果，步距應(yīng)越小越好。在該案例中為計算定姿態(tài)的工作空間，沿X軸和Y軸的步距均為0.1 mm，φ設(shè)置為定值0°。

（4）增加步距，動平臺從初始位置或前一位置逐漸移動，由前面的分析求解該位置對應(yīng)的運(yùn)動學(xué)逆解。

（5）應(yīng)用步驟（2）得到的機(jī)構(gòu)應(yīng)滿足的約束條件來檢驗動平臺的位姿是否在約束條件的邊界內(nèi)部，若在邊界內(nèi)部，則計數(shù)器（初始值為0）加1，然后返回步驟（4）；否則直接返回到步驟（4）。

（6）幾何邊界內(nèi)的值已經(jīng)被遍歷，動平臺到達(dá)工作空間的邊界，算法終止，于是可以繪制出機(jī)構(gòu)的工作空間。

由該算法繪制機(jī)構(gòu)的定姿態(tài)工作空間（φ=0），桿件尺寸取優(yōu)化后的數(shù)值。不同位置下機(jī)構(gòu)的工作空間見圖3。

圖3 機(jī)構(gòu)的工作空間Fig.3 Workspaces of the mechanism

由圖3可知，案例中的3個工作空間都是對稱圖形，對稱軸數(shù)量分別為1、3、1。機(jī)構(gòu)3條支鏈桿件尺寸分別對應(yīng)相同時，機(jī)構(gòu)的定姿態(tài)工作空間是可變的、對稱的。當(dāng)α和 β在給定范圍內(nèi)（-π/6≤α＜β≤π/2）取任意值時，機(jī)構(gòu)恒具有對稱性，對稱軸的斜率為 tan((α+β)/2)。

4 性能分析

4.1 規(guī)避奇異位形區(qū)域

由1.3節(jié)求解出的雅可比矩陣能夠?qū)C(jī)構(gòu)的奇異性進(jìn)行分析。該2-PRRR+RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一個特例是平面3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)（當(dāng)滿足β-α=π/3時），文獻(xiàn)［15］中關(guān)于平面3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位形的分析對該機(jī)構(gòu)同樣適用。

（1）逆運(yùn)動學(xué)奇異。當(dāng)機(jī)構(gòu)的任一支鏈完全伸展或者折疊時發(fā)生逆運(yùn)動學(xué)奇異，即φi=0或π（i=1，2，3），當(dāng)機(jī)構(gòu)中分別有1、2或者全部支鏈出現(xiàn)這種情況時，并聯(lián)機(jī)構(gòu)相應(yīng)地失去1、2或3個自由度。

（2）正運(yùn)動學(xué)奇異。當(dāng) B1C1、B2C2和 B3C3交于一點（圖4a）或者互相平行（圖4b）時，機(jī)構(gòu)發(fā)生正運(yùn)動學(xué)奇異。由于正運(yùn)動學(xué)奇異的所有可能性不易直接羅列，這里僅僅給出了圖4的2種奇異位形。

圖4 正運(yùn)動學(xué)奇異位姿Fig.4 Singular configurations of forward kinematic

（3）逆運(yùn)動學(xué)奇異和正運(yùn)動學(xué)奇異同時發(fā)生的情況稱為組合奇異，組合奇異受機(jī)構(gòu)的尺寸和位姿的影響，因此設(shè)計時應(yīng)避免會引起奇異的桿件尺寸關(guān)系。

上述奇異位形及其附近區(qū)域會對機(jī)構(gòu)的運(yùn)作及精確控制造成不利影響，而 A2和 A3處的移動副可以解決這一問題。當(dāng)機(jī)構(gòu)陷入奇異位形或臨近奇異位形區(qū)域時，A2和A3處的離合器接合，在電機(jī)的驅(qū)動下，齒輪副開始運(yùn)轉(zhuǎn)，從而帶動A2點或 A3點沿圓弧軌道移動，此時θ2或θ3也在變化，雙重的變動使機(jī)構(gòu)脫離奇異位形或奇異位形區(qū)域。然后，離合器分離，移動副的動力斷開且A2或A3點被鎖緊，機(jī)構(gòu)可以重新正常作業(yè)。

當(dāng)α和 β確定后，軌跡規(guī)劃中并聯(lián)機(jī)構(gòu)需要經(jīng)過奇異位形的情況下，可以選擇按照既定方案運(yùn)動，在奇異位形附近，更改α或 β的值，以非奇異的位形實現(xiàn)該軌跡。這一特性體現(xiàn)了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)較強(qiáng)的運(yùn)動能力，同時也表明該可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)于普通并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

4.2 轉(zhuǎn)動性能

如前所述，該可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)和平面3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)均屬于平面機(jī)構(gòu)，具有2個移動自由度和1個轉(zhuǎn)動自由度。并聯(lián)機(jī)構(gòu)在不同位置下的轉(zhuǎn)動性能對其應(yīng)用影響較大，因此有必要討論該機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動能力。此處以動平臺上繞C1點的φc=φmax-φmin值來表征機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動性能。機(jī)構(gòu)的桿件尺寸取值為R=130 mm，h=10 mm，ai=20 mm，bi=60 mm，i=1、2、3。忽略機(jī)構(gòu)中間關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍，依據(jù)1.1節(jié)中的位置逆解分別計算2種機(jī)構(gòu)在不同位置下的轉(zhuǎn)動能力，圖5a和圖5b所示分別表示3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)和2-PRRR+RRR機(jī)構(gòu)在不同位置的轉(zhuǎn)動能力，圖中每個位置的轉(zhuǎn)動能力為封閉幾何體的上界，即沿Z軸的最大值。對比可知：①相比平面3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，所設(shè)計機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間明顯增大；②由計算可知，平面3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動能力最大值為3.665 2，且圖5a幾何體上平面較尖，表明只有小部分的位置能達(dá)到這種姿態(tài)范圍，而該機(jī)構(gòu)大部分位置都可以達(dá)到6.283的轉(zhuǎn)動能力，因此圖5b幾何體的上平面接近水平；③同一位置點時，圖5b比圖5a的Z軸值大，表明在可達(dá)工作空間的同一位置，該機(jī)構(gòu)能達(dá)到更大的轉(zhuǎn)角范圍。

4.3 容錯工作空間

圖5 轉(zhuǎn)動性能Fig.5 Rotation capability

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動器和關(guān)節(jié)是故障多發(fā)部件，這些故障會對所設(shè)計機(jī)構(gòu)的工作能力產(chǎn)生嚴(yán)重影響，還有可能造成較大的經(jīng)濟(jì)損失，隨著機(jī)器人應(yīng)用的領(lǐng)域越來越廣闊，這些問題得到了廣泛的關(guān)注。以下分兩種情況進(jìn)行討論。

（1）關(guān)節(jié) A1故障，此時 A1處關(guān)節(jié)被鎖緊，桿件 A1B1固定。假設(shè)θ1=π/3，C1點的軌跡在以B1(a cosπ/3,a sin π/3)為圓心、 ||B1C1為半徑的圓上。

（2）關(guān)節(jié) B1故障，桿件 A1B1和 B1C1合為一個構(gòu)件。如給定φ1=3π/2，A1B1C1形成一個三角形，由余弦定理可知，| A1C1|=，顯然，C1點的軌跡在以A1點為圓心以 | A1C1|為半徑的圓上。

同樣地，依據(jù)1.1節(jié)中的運(yùn)動學(xué)逆解，分析2個并聯(lián)機(jī)構(gòu)在A1點和B1點故障時G點的工作空間，分別見圖6、圖7。由圖6和圖7可知：①2個案例中3-RRR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)G點位置均為一小段屬于右半部分的圓弧，而可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)G點能達(dá)到的位置為幾個沒有交集的圓，并且前者軌跡包含在后者中；②可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)G點位置在案例1中為5個圓和1段圓弧，案例2中為5個圓和3段圓弧，表明案例2下G點的工作空間更大，然而各圓或圓弧之間相互沒有交集，所以在不同位置故障時，G點運(yùn)動受限，最大軌跡為1個圓；③案例1、2中，無論在何種位置故障，后者的工作空間總大于前者。

圖6 案例1的工作空間Fig.6 Workspace of case 1

圖7 案例2的工作空間Fig.7 Workspace of case 2

5 結(jié)論

（1）設(shè)計了一種機(jī)架可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)——2-PRRR+RRR機(jī)構(gòu)，機(jī)架重構(gòu)過程是利用離合器系統(tǒng)與齒輪傳動系統(tǒng)相配合來實現(xiàn)1個驅(qū)動輸入2個運(yùn)動輸出，且機(jī)構(gòu)可同時對稱地改變可重構(gòu)的2條支鏈，機(jī)構(gòu)運(yùn)動靈活、控制相對簡單。

（2）在運(yùn)動學(xué)建模的基礎(chǔ)上，以同時考慮全局靈巧度及離散程度和工作空間的函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，計算出了機(jī)構(gòu)桿件尺寸，分析了其可達(dá)工作空間，驗證了提出的機(jī)構(gòu)性能更加優(yōu)良。

（3）由位置奇異分析可知，該機(jī)構(gòu)可規(guī)避奇異位形區(qū)域，便于軌跡規(guī)劃，通過轉(zhuǎn)動能力分析表明該機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動性能較強(qiáng)，借助于機(jī)架重構(gòu)功能，當(dāng)部分關(guān)節(jié)發(fā)生故障時動平臺能達(dá)到比3-RRR機(jī)構(gòu)更多的位姿，可靠性較高。

（4）如前所述的優(yōu)點，該機(jī)構(gòu)可用于物料拾取，后續(xù)也將探索配合具有可動的工件平臺組成4/5/6自由度的機(jī)構(gòu)，擴(kuò)大該機(jī)構(gòu)的應(yīng)用范圍。

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