徐燕玲

摘要：零點，方程根的個數(shù)方面問題的，往往轉(zhuǎn)化成兩個易作圖像的函數(shù)公共點個數(shù)問題。如何選取這兩個函數(shù)，對稱問題，縱坐標(biāo)相等問題如何轉(zhuǎn)化為零點問題。本文主要對這幾個問題進行闡述和分析。

關(guān)鍵詞：零點；圖像交點；對稱問題；縱坐標(biāo)相等

中圖分類號：G633.6文獻標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2018）15-0149-01

函數(shù)的零點是考綱上要求的基本內(nèi)容，也是高中新課程標(biāo)準(zhǔn)新增內(nèi)容之一，是函數(shù)的重要性質(zhì)，是聯(lián)系函數(shù)，方程，圖像的一個重要媒介。另外，函數(shù)的零點是最近幾年數(shù)學(xué)高考出題的熱點，無論是選擇題，填空題，解答題的壓軸題出現(xiàn)這個知識點的頻率都很高。較簡單的類型零點可直接求出，零點問題變化較多，但尋求f（x）=g（x） 的零點個數(shù)主要方法還是轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)y=f（x），y=g（x） 的公共點個數(shù)，關(guān)鍵在于y=f（x），y=g（x） 的函數(shù)圖像在同一個直銷坐標(biāo)系中容易畫出，有時需要進行變形整理。有些對稱問題和縱坐標(biāo)相等的問題我們都可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點問題來解決。

1.零點個數(shù)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)公共點個數(shù)

例1：函數(shù)f（x）=2x|log12x|-1的零點個數(shù)是。

分析：直接畫f（x） 的函數(shù)圖像顯然行不通，分成y=2x|log12x|，y=1 ， 再畫圖找公共點也行不通；函數(shù)的零點即是2x|log12x|-1=0 的根，移項得到2x|log12x|=1 ，|log12x|=12x=（12）x ，此時兩個函數(shù)找到了，y=|log12x| 與y=（12）x 的公共點顯然有2個。

例2：函數(shù)f（x）=1-|x+1|，x<1x2-4x+2，x≥1 ，則函數(shù)g（x）=2|x|f（x）-2 的零點個數(shù)為個。

分析：g（x） 的解析式太復(fù)雜，不適合直接畫其圖像。像例1一樣把2|x|f（x）-2=0 處理成f（x）=22|x|=12x-|x|=（12）|x|-1 ，再把 與 的圖像在同一個直角坐標(biāo)系中畫出，可發(fā)現(xiàn)公共點個數(shù)為3。

2.對稱點的問題轉(zhuǎn)化圖像交點

例3：若函數(shù)f（x）=x2+In（x+a）與g（x）=x2+ex-12（x<0） 的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍是。

分析：這道題的兩個函數(shù)僅是存在一對對稱點，兩個函數(shù)圖像本身并沒有對稱關(guān)系。只能考慮設(shè)點M（x0，y0），N（-x0，y0），x0>0 分別在y=f（x），y=g（x）上，代入可得

y0=x20+In（x0+a），y0=（-x0）2+e-x0-12

即x20+In（x0+a）=（-x0）2+e-x0 -12

In（x0+a）=e-x0-12 此時問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x0 的方程In（x0+a）=e-x0-12 在（0，+∞） 上有解。

y=In（x+a） ，y=e-x-12在同一個直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖像，若在（0，+∞） 有交點，只需Ina

例4：若函數(shù)y=f（x） 圖象上不同兩點M，N 關(guān)于原點對稱，則稱點對[M，N] 是函數(shù)y=f（x） 的一對"和諧點對"（點對[M，N] 與[N，M] 看作同一對"和諧點對"），已知函數(shù)f（x）=ex，x<0x2-4x，x>0 ，則此函數(shù)的"和諧點對"有（）。

A.3對B.2對C.1對D.0對

分析：這道題是一個函數(shù)自身存在一對關(guān)于原點對稱的點，跟例3相差無幾。

設(shè)M（x0，y0），N（-x0，-y0），x0<0

分別在y=ex，y=x2-4x 上，代入得y0=ex0-y0=（-x0）2-4（-x0） ，

代入消去y0 得ex0=-x20-4x0（x0<0）（*） ，題目轉(zhuǎn)化為方程（*） 根的個數(shù)，畫圖可得兩個函數(shù)y=ex，y=-x2-4x 的交點個數(shù)為2。

3.縱坐標(biāo)相等的條件轉(zhuǎn)化

例5：f（x）=|lgx|，010 ，若a，b，c 互不相等，且 f（a）=f（b）=f（c），則abc 的范圍是（）。

A.（1，10）B.（5，6）C.（10，12）D. （20，24）

分析：由條件f（a）=f（b）=f（c） 可把a，b，c 看作常數(shù)函數(shù)y=m 與 y=f（x）的三個公共點橫坐標(biāo)。

A（a，|lga|） ，0

C（c，-12c+6），10

-lga=lgb，lg（ab）=0，ab=1，所以abc=c∈（10，12） 。

由以上幾個例子我們可以發(fā)現(xiàn)，零點個數(shù)，對稱點，縱坐標(biāo)相等的問題我們都可以轉(zhuǎn)化成尋找兩個函數(shù)的圖像公共點的問題。要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，更要懂得從條件中分析出內(nèi)在的聯(lián)系以便將問題的有效轉(zhuǎn)化。